电磁场与波绪论电磁场与波 (4).pdf

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1、第第0章章矢量矢量分析与场论分析与场论本章引言矢量分析与场论是电磁场理论分析和计算中的一种重要的数学工具。要学好电磁场与波课程，您必须：一、学习数学；二、学习更多的数学；三、一直坚持下去。0-1 标量场与矢量场标量场与矢量场 0.1.1 标量场与矢量场的概念 0.1.2 标量场的等值面 0.1.3 矢量场的矢量线0.1.1 标量场与矢量场的概念分布着某种物理量的空间区域称为该物理量的场。如果这个物理量是标量，就称为标量场；例如，温度场、压力场等都是标量场。如果这个物理量是矢量，就称为矢量场；例如，速度场、电场、磁场等都是矢量场。不随时间变化的场，称为静态场；反之，则称为动态场或时变场。在标量场

2、中，各点的量值是空间坐标(x,y,z)的一个标量函数，即标量场可用一个标量函数=(x,y,z)来表示。在矢量场中，各点的量值A可用一个矢量函数A=A(x,y,z)来表示。函数(x,y,z)或A(x,y,z)表示了物理量或A在空间区域中的分布情况。可以用等值面来直观形象地描绘出标量场的分布。例如电位场中的等位面，温度场中的等温面。等值面是这样一种空间曲面，在该曲面上任一点的函数值相等，即（0-1-1）式中C是常数。随着C的取值不同，可获得一系列不同的等值面，这一族等值面充满了场所存在的整个空间中。一般情况下，是单值函数，所以这些等值面互不相交。在平行平面标量场中，函数(x,y)具有相同函数值的点

3、所组成的曲线称为等值线；等值线的方程为(x,y)=C。例如在地形图中的等高线，地面气象图上的等温线等。0.1.2 标量场的等值面(),x y zC=0.1.3 矢量场的矢量线在矢量场中，引入矢量线可以形象地描绘出矢量场的分布。例如，在静电场中的电力线，流速场中的流线。矢量线是这样的一条曲线，在其上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同，如图0-1-1所示。矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互不相交。根据矢量线的定义，矢量场A的矢量线的方程为式中dl是矢量线的线元。在直角坐标系中，式（0-1-2）可展开为（0-1-2）（0-1-3）这就是矢量线的微分方程。作出通过场域内某一曲面S上

4、的所有点的矢量线，则它们的全体构成一个管状区域如附图0-1-2所示，称为矢量管。d0=AldddyxzAAAxyz=图0-1-1 矢量线0.1.3 矢量场的矢量线图0-1-2 矢量管zyxOS0-2 标量场的梯度标量场的梯度0.2 标量场的梯度了解一个标量场，不仅要知道物理量在空间的分布情况，更为重要的是要知道它在空间中的变化规律。（1）方向导数方向导数函数(P)从一点沿路径 l 变到另一点的变化率，称为沿 l 的方向导数，记作，即（0-2-1）式中为 l 的方向余弦。即 l 方向的单位矢量可以表示为。方向导数解决了标量场中(P)在给定点处沿某一方向 l的变化率的计算问题。但是，函数(P)从给

5、定点出发有无穷多个变化方向，其中哪个方向的变化率最大？最大变化率是多少？lcoscoscoslxyz=+cos,cos,cos=coscos+coslxyz+eeee（0-2-2）设矢量，那么（0-2-1）式可以上式表明，标量函数 沿 l 方向的方向导数就是矢量 g在 l 上的投影。因 g 在给定点处是一个固定的矢量，所以只0.2 标量场的梯度（1）方向导数方向导数 写成矢量 g 与 el的标积，即 有当 l 的方向与 g 方向一致时，方向gg，e=llcos,1)(导数才取得最大值，此时 增加得最快；当 l 的方向与 g 方向垂直时，方向导数；当 l 的方向与 g 方向相反时，方向导数取最小

6、值，此时 减小得最快。+xyzxyz=+eeeg()()coscos+coscos(,)xyzxyzlllxyz=+=eeeeeeeeggg()cos,0l=eg0l=()cos,1l=g el=g定义矢量函数 g 为标量场 的梯度，记作grad。由上述可知，在直角坐标系中，显然，梯度是一个矢量，它的方向就是使得函数(P)的方向导数取得最大值的那个方向，其模等于这个最大方向导数的值。为了表达方便，我们引进一个矢量性的算子称为哈密尔顿算子。因此，函数 的梯度可以表示为0.2 标量场的梯度（2）梯度梯度（0-2-3）（0-2-4）（0-2-5）gradxyzxyz=+eeexyzxyz+eeegr

7、ad=例如，点电荷 q 产生的电位和电场强度分别为和由此可见，电位与电场强度满足的关系。0.2 标量场的梯度（2）梯度梯度 而 04qr=204rqreE=()22202222001()4()44xyzxyzrqxyzxyzqqrxyz=+=+=+eeeeeeeE=0-3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度引言为了描述矢量场在空间中的变化情况，引入矢量场的散度和旋度的概念。0.3.1 矢量场的通量 0.3.2 矢量场的散度0.3.1 矢量场的通量在矢量场中，矢量 A穿过曲面 S 的通量为在直角坐标系下，有（0-3-1）（0-3-2）以流速场为例，来说明通量的意义。对于流速场 v 来说，在单位

8、时间内流体穿过 S 的流量为 如果 S 为一闭合曲面，表示穿出闭合面 S 的净流量，它等于流体从 S 内流出的流量与从外流入 S 的流量之差。当0时，表示流出多于流入，说明 S 所包围的区域 V内必有产生流体的“源”。当0，则说明该点有发出通量线的正源；若divA0，则表明该点有汇集通量线的负源；若divA=0，则表明该点既没有正源也没有负源，如附图0-3-1所示。图0-3-1 散度的意义MMMA 0A 0A=0V1ddivlimdlimdSVVVV =AAS0-4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 0.4.1 矢量场的环量 0.4.2 矢量场的旋度0.4.1 矢量场的环量在矢量场中，矢量

9、 A沿有向闭曲线 L 的环量为（0-4-1）环量的物理意义由具体的场而定。例如，在力场 F 中，环量表示力沿闭合路径所作的功。在流速场 v 中，环量表明流体作无涡旋运动，如在水管中的水流沿平行于水管轴线的方向流动。若环量不等于零，表明流速场中必定有产生涡旋的源，流体做涡旋运动。dS=Al0.4.2 矢量场的旋度在直角坐标系中，环量可以写成（0-4-2）利用斯托克斯公式，则有穿过曲面 S 的通量，称这个矢量为矢量场 A 的旋度，记作rotA。即这里，S 是以闭合曲线 L 为周界的曲面，L 的绕行方向与 S的法向方向符合右手螺旋关系。上式右边的面积分可看作是矢量（0-4-3）或者用哈密顿算子表示为

10、（0-4-4）()ddddxyzSLA xA yA z=+Ald()d d()d d()d dyyxxzzLSAAAAAAy zz xx yyzzxxy=+Al()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxy+eeerot=()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxy+eeeArot=AA0.4.2 矢量场的旋度（0-4-6）因此，环量可以写成其中 rotnA 表示 rotA 在 S 的法线方向 en上的投影。利用中值定理，得到从物理意义上看，旋度也可以极限表达式来定义。设P 为场域 V 中的一点，作任一个经过 P 点，并以 en为该点的曲面元的法线方向的曲面 S，其周界为 L

11、，则矢量 A 沿L 的环量 为（0-4-5）式中 M 为 S 中的某一点，令 S 向 P 点收缩，则有旋度定义的极限形式 drotdLS=AlASdrotdrotdnLSSS=AlASA()rotdrotnnMSS=SAA001drotlimdlimdnLSSSSS =AAl0.4.2 矢量场的旋度由此可见，矢量场 A 在 P 处的环量密度即为 rotnA。显然，它与该点的曲面元的法线方向 en有关，当 en与 rotA的方向相同时，环量密度取最大值。综上所述，旋度的方向就是使得环量密度取最大值时曲面元S 的方向，其模等于环量密度的最大值。例如，一半径为 a，载流 I 的无限长直导线产生的磁场

12、强度 H 的分布为：不难求得，在区域，H=Hle=aIaIzLd22220,2,2IaaIa=eeHH000.4.2 矢量场的旋度在区域，0H=Hl=IL0d由此看出，沿围绕电流的闭合环路 L 的环量不为零，表明必定有产生磁场的旋涡源，这个旋涡源就是电流。在存在电流的区域中，磁场强度 H 的旋度不为零而等于电流密度。在无电流区域中，H 的旋度等于零。0-5 无源场和无旋场无源场和无旋场 0.5.1 无源场 0.5.2 无旋场 0.5.3 调和场0.5.1 无源场设有矢量 A，如果在场域中每一点处，都恒有（0-5-1）那么称 A为无源场。性质性质1在无源场中，穿过场域 V 中任一个矢量管的所有截

13、面的通量都相等。在磁场中，这一性质又称为磁通连续性原理。证明：证明：设 A 为无源场，在场域中任取一矢量管，矢量管的上、下端面及侧面分别为 S1、S2和 S3，面的法线方向均由内侧指向外侧，如附图0-5-1所示。由奥氏公式及 A的无源性，有图0-5-1 一段矢量管)1S(1nA)3S()2S(A2nn向量线0=A dd0SVV=AlA0.5.1 无源场由于 S3是矢量管的侧面，所以 An3=0，而 S1的法线方向与 A的方向相反，所以有性质性质2无源场存在着矢势。于是证明：证明：任一矢量场 F 的旋度再取散度恒等于零，即 也就是说旋度场（）一定是无源场。换言之，一个无源场 A，必存在另一矢量场

14、 F，使得 满足上式的矢量场 F 称为 G 的矢势。在恒定磁场中，磁感应强度 B 是一无源场（）它可用磁矢位（矢势）A来表示，即。,1212ddnnSSASAS=123123ddd0nnnSSSASASAS+=0=F0FG=F0=B=BA0.5.2 无旋场性质性质1在无旋场中，F 沿任意闭合路径 L 的环量等于零，即例如，在静电场中，电场强度 E 满足，称 E 为无设有矢量场 F，如果在场域中每一点处，都恒有（0-5-1）那么称 F 为无旋场。它有如下两个重要的性质：旋场（也称保守场）。在静电场中，电场力作功与路径无关。0=Fd0L=Fld0L=El0.5.2 无旋场证明：证明：任意一个标量场

15、的梯度再取旋度后恒等于零，即性质性质2无旋场 F 可以表示为某一函数(P)的梯度场。也就是说所梯度场（）一定是无旋场，反 之，一个无旋场 F 可以表示为某一标量场(P)的梯度场，即。这个矢量场称为位势场，(P)称为 F 的位函数，因此，位势场是无旋场。例如，在静电场中，把电位 称为电场 E 的位函数，它们之间满足的关系。0=0=F=E0.5.3 调和场两个哈密尔顿算子的标积是拉普拉斯算子，即散度和旋度都等于零的矢量场称为调和场。调和场 F 是无源无旋场。因为 F 是无旋场，所以存在一位函数，使，又因 F 是无源场，于是因此，调和场的位函数 必定满足方程 这个二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。满足

16、拉普拉斯方程，且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数。=F0=F2222222xyz=+=22222220 xyz=+=0-6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理0.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理可叙述如下：在空间有限区域 V 内的某一矢量场 F，由它的散度、旋度和边界条件（即包围 V 的闭合面 S 上的矢量场分布）唯一地确定。其中，。由于 F1的散度不为零，设为。它可以表示为一个只有散度而旋度为零的矢量场 F1和另一个只有旋度而散度为零的矢量场 F1之和，即（0-6-1）（0-6-2）从物理意义上来说，任何一个矢量场都是由“源”激发的，一般来说矢量场 F 既有旋度，又有散度=FJ=F12=+FFF10=

17、F20=F1=F0.6 亥姆霍兹定理同理，由于 F1的旋度不为零，设为（0-6-3）和 J 分别是散度和旋度对应的通量源和涡旋源，在电磁场中它们分别是电荷和电流。这就是说，当矢量场的散度和旋度给定后，就相当于确定了“源”的分布，如果场域有限，给定边界条件后，矢量场 F 就唯一地确定了。2=FJ0-7 微分算子及矢量运算微分算子及矢量运算 0.7.1 微分算子 0.7.2 几个重要的矢量运算公式及恒等式0.7.1 微分算子（0-7-3）在直角坐标系中，哈密顿算子定义为矢量场 F 的散度表示成因此，标量场的梯度可以写成（0-7-1）（0-7-2）矢量场 F 的旋度表示成（0-7-4）xyzxyz=+eee(),u x y zgradxyzuuuuuxyz=+eeediv=yxzFFFxyz+FFrot=()()()xyzxyzyyxxzzxyzxyzFFFFFFFFFyzzxxy+eeeeeeFF0.7.1 微分算子拉普拉斯算子作用在标量函数 u 的表达式为在圆柱坐标系中和在球坐标系中的有关公式，这里略去。拉普拉斯算子作用在矢量函数 F 的表达式为（0-7-5）（0-7-6）2222222uuuuxyz=+2222222xyz=+FFFF0.7.2 几个重要的矢量运算公式及恒等式AAAA00AAAAAA=+=+uuuuu2)()()()()()()()(