[复变量代换解题探讨]变量代换.docx

《[复变量代换解题探讨]变量代换.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[复变量代换解题探讨]变量代换.docx（4页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复变量代换解题探讨变量代换 摘 要：复变量z=a+bi区分于实变量的显著标记是它由两个变量a与b有序构成，其表现形式是代数运 算、三角运算、几何运算，在数学的很多问题中，通过复变量代换可化繁为简、化难为易。 关键词：复变量代换 三角 解析几何 数学是一门探讨现实世界空间形式和数量关系的学科，也就是探讨“数”与“形”的学科，而复数是沟通“数”与“形”的桥梁。复变量z=a+bi区分于实变量的显著标记是它由两个变量a与b有序构成，又由于复变量自身的多种形式（代数、三角、几何形式）和所用方法的敏捷多样性，使它的应用范围很广泛，在数学许多领域中，都可以通过复变量代换解决相关问题。 一、复变量代换在三角中

2、的应用 例1 求值：cos+cos+cos+cos,（nN） 分析：假如作复变量代换，令z=cos+isin，那么本题就转化为求z+z2+z3+z2n1的实部问题，自然归结为用棣莫佛定理解决高次乘方问题，再由复数相等条件得出结论。 解：令z=cos+isin，（nN）。 A=cos+cos+cos+cos,(nN)。 B=sin+sin+sin+sin,（nN） 则 A+Bi=z+z3+z5+z2n1= 因为 z2n+1=cos+isin=1， 所以 A+Bi= =+coti。 所以 A=。 所以cos+cos+cos+cos=。 例2 已知、为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin22

3、sin2=0，求证：+2=。 分析：此题可作复变量变换求解，令z1=cos+isin，z2=cos+isin。将本题转化为求z1 z22的辐角主值问题便迎刃而解。 证明：设z1=cos+isin（00）。 即+2=。 二、复变量代换在解解析几何中的应用 例3 已知定点A（-2，0）和圆x2+y2=1上的动点B，点A，B，C按逆时针方向排列，且|AB|:|BC|:|CA|=3:4:5，求点C的轨迹方程。 分析：先弄清复数乘法的几何意义：若u=zr（cos+isin），则只需将（P为z在复平面内的对应点）绕原点逆转角，并将 扩大到原来的r倍，即得复数u的对应向量。 作复变量代换，设点与复数对应，再

4、利用复数乘法的几何意义求出。 解：如图1，设C，B分别对应复数z，z0， 因为 |AB|:|BC|:|CA|=3:4:5，所以ABC是直角三角形。 因为是绕B点顺时针旋转且模扩大倍得到的。 所以=（2z0）-（cos+isin）=（2z0）（i）。 又因为=+ ， 所以 z=z0+（2z0）（i）=z0+iz0+i, 所以（1+i）z0=zi， 于是 |1+i|z0|=|zi|，又|z0|=1， 所以|zi|=，即点C的轨迹是以（0，）为圆心，为半径的圆。 例4 已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上的随意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当点B在抛物线上变动时，求点

5、P的轨迹方程，并指出这个轨迹是属于哪种曲线。 解：如图2，作复变量代换，设zA=3+i，zB=x1+y1i，zP=x+yi，分别表示点A、B、P所对应的复数，则向量可看做是由向量按逆时针方向绕点P旋转180，并把模缩小到原来的而得到的向量。 于是有：=（cos+isin）。 所以zBzp=（zAzP）（1）, 所以（2x13x+3）+（2y13y+1）i=0 依据复数相等的充分必要条件： 2x13x+3=0，2y13y+1=0。 即x1=（x-1），y1=（3y-1）。 因为B（x1,y1）在抛物线y2=x+1上， 所以（3y1）2=（x1)+1， 所以x=y2y+，此轨迹为抛物线。 三、复变

6、量代换在求函数的极值中的应用 例5 求函数y=+的最小值（a0）。 分析：作复变量变换，令z1=x+2ai， z2=ax+ai，那么本题就转化为求|z1|+|z2|的最小值，再应用不等式|z1|+|z2| |z1+z2|z1|+|z2|求得。 解：令z1=x+2ai， z2=ax+ai ， 则y=|z1|+|z2|z1+z2|=|a+2ai|=a。 当且仅当argz1=argz2=arg（z1+z2）时，上式等号成立， 所以 当=，即x=时，函数y有最小值a 四、复变量代换在解方程和不等式问题中的应用 例6 解方程 2+= 分析：无理方程一般解法是去根号化为有理方程再求解，但平方后次数高，项数

7、多，求解更加困难，由于根号里面可配方，类似复数的模，故可化繁为简洁转化为复数问题来解决。 解：原方程可化为：+=， 设z1=2x+2i， z2=1x+i， 则z1+z2=1+x+3i, 所以原方程化为|z1|+|z2|=|z1+z2|。 明显当且仅当，共线且同向时上式才成立，从而=1x， 所以x=时等号成立，即x=是方程的根。 例7设a,b,x,y皆为正实数，且x2+y2=1，试证：+a+b。 证明：作复变量变换，z1=ax+byi，z2=bx+ayi， +=z1+z2。 而z1+z2z1+z2=（a+b）x+（a+b）yi=|（a+b）（x+yi）|=a+b=a+b。 所以+a+b。 总之，在解决数学的很多问题中，通过复变量代换可化繁为简、化难为易。 参考文献 1傅荣强.复数M.北京：龙门书局，2001. 2江兵.复变量代换在解题中的妙用J.浙江丽水师范专科学校学报，1993，（5）. (作者单位：辽宁省营口职业技术学院) 责任编辑：周瑜芽