第一章-集合与~命题.doc

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1、-_第一章 集合与命题（一）集合的概念与运算【集合的基本概念】知识点归纳1.集合的定义: 2.集合的特征:3.集合的表示法:4.集合的分类:5.数集:6.集合的关系:7.集合的运算:8.集合的运算性质:例题讲解例 1(1)已知集合3Mx xnnZ，31Nx xnnZ，31Px xnnZ，且aM，bN，cP，设dabc，则().A. dMB. dNC. dPD. 以上都不正确(2)若集合2442kkAx xkBx xkZZ，则().A. ABB. BAC. ABD. AB 例 2写出满足,Ma b的所有集合 M.例 3已知集合2340Ax xxxR，求AN的真子集的个数.例 4已知全集1,2,3

2、,4,5,6,7,8,9U ， 2AB ， ()1,9UAB ，4,6,8UAB ，求集合 A、B.例 5已知下列两集合 A、B，求AB；(1)2223213Ay yxxxBy yxxx RR，；-_(2)22( , )23( , )213Ax y yxxxBx y yxxx RR，；(3)2223213Ay yxxxBy yxxx ZZ，.例 6同时满足下列两个条件: 1,2,3,4,5M ，若aM，则6aM，这样的集合 M 有多少个? 写出这些 集合.例 7已知集合222280320Ax xxxBx xaxax RR，(1)实数 a 在什么范围内取值时，BA? (2)实数 a 在什么范围内

3、取值时，AB .回顾反思1.主要方法: 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； 抓住集合中元素的 3 个性质，对互异性要注意检验； 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； 借助数轴和文氏图进行求解.2.易错、易漏点: 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。数集与点集的区别； 进行集合的运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况； 解决集合与方程有关的问题时要注意检验.课后练习1.设 U 为全集，A、B 是两个非空集合，以下命题中正确的有_(1) 若ABU，则ABU(2) 若ABA，则AB (3) 若AB ，则AUB(4

4、) 若ABU，则UAB 2.已知集合24Mx x，2230Nx xx，则集合MN等于().-_ A. 2x x B. 3x x C. 12xx D. 23xx3.设集合1,2,3,4,5,6P ，2,6Q ，那么下列结论正确的是().A. PQPB. PQQC. PQQD. PQP 4.若非空集合2135Axaxa ，322Bxx，则能使AB成立的所有实数 a 的集合是().A. 19aaB. 69aaC. 9a a D. 5.已知 S、T 是两个非空集合，定义集合STx xSxT，则()SST为().A. TB. SC. STD. ST6.已知集合1 6Mx xmmZ，1 23nNx xnZ

5、，1 26pPx xpZ，则 M、N、P 的关系 是( ).A. MNPB. MNPC. MNPD. NPM 7.如图，U 为全集，M、P、S 是 U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ).A. ()MPSB. ()MPSC. ()MPUSD. ()MPUS8.设全集U R，集合( )0Ax f xxR，( )0Bx g xxR，( )0Cx h xxR，则方程22( )( )0( )fxgx h x的解集是_(用 A、B、C 表示).9.(1)满足条件2,32,3,6A 的集合 A 的个数是_；(2)满足关系, a bA, , ,a b c d的集合 A 的个数是_. 10. 设集合6

6、 3MxxxNZ，用列举法写出M _.11. (1)若21My yxxR，1Nx xtt R，求MN；(2)若2( , )1Mx y yxxR，( , )1Nx y yxxR，求MN.12. 设集合26010Ax xxBx mx ，满足BA，求实数 m 的值. 13. 设集合25,log (3),AaBa b，若 2AB ，求AB.P SMI-_14. 已知集合221,2,(31)(56)i1,3MaaaaN ，其中 i 为虚数单位，且3MN ，求实数 a 的值.15. 已知集合220Ax xx，114Bxx ，20Cx xmxn，满足()ABC ()ABC R求实数 m、n 的值.【集合的运

7、算】知识点归纳9.集合的有关运算:10. 点集与解析几何有关的问题:11. 集合语言的运用:例题讲解例 8若集合2,3 ,21ABaa，. 若AB，求实数 a 的取值范围； 若 A B，求实数 a 的取值范围； 若AB ，求实数 a 的取值范围.例 9已知集合,2Aa ad ad，2,Ba aq aq，a 为非零常数，若AB，求 d、q 的值.例 10设集合240Ax xx，222(1)10Bx xaxa ，若BA，求实数 a 的取值范围.-_例 11若集合22( , ) (2)(3)4Mx yxy，221( , ) (1)()4Nx yxya，且NM，求实数 a 的取值范围.例 12设全集(

8、 , )Ux y xyR、，集合2( , )12yMx yx，( , )4Nx y yx，求UM UN.例 13设集合( , )1Ax y yax，( , )Bx y yx，若AB是单元素集合，求实数 a 的取值范围.例 14设2( , )1Ax y yx，( , )Bx y yxm. 若AB是单元素集合，求实数 m 的取值范围； 若AB是含有两个元素的集合，求实数 m 的取值范围.例 15已知集合11( , )22yMx yx ，( , ) (1)(1)1Nx yaya ax，且MN ，求实数 a 的值.回顾反思1.主要方法: 解决集合与不等式问题，要借助于数轴进行交、并、补的运算； 与点集

9、有关的问题，可以用数形结合的思想或方程组的方法； 集合语言的理解.2.易错、易漏点:-_ 集合与不等式问题中，区间的开、闭容易出错，要特别注意检验区间的端点； 集合运算时，要注意同解变形问题以及空集这一特殊情况.课后练习16. 已知集合2( , )93Ax y yxx，( , )Bx y yxb，若AB ，求实数 b 的取值范围.17. 已知集合1, ,Aa b，2,Ba aab，且AB，求实数 a、b 的值.18. 已知集合2310Ax axxx R，. 若 A 中只有一个元素，求实数 a 的值； 若 A 中至少有一个元素，求实数 a 的取值范围.19. 已知集合2320Ax xx，240B

10、x xaxxR，若BA，求实数 a 的取值范围.20. 已知集合220Ax xx，240Bx xxp，且ABA，求实数 p 的取值范围.21. 已知集合22190Ax xaxa，2 2log (58)1Bxxx，2262Cx xxxR，若AB ，AC ，求实数 a 的值.22. 已知集合3( , )12yAx yx，( , )2Bx y yax，且AB ，求实数 a 的值.-_23. 对集合 A、B，定义ABAUB，其中 U 表示全集，而 A、B 的对称差记为()()A BABBA，若集 合2(1)1 03Ay yxx，2113By yxx，求A B.24. 若集合3( , )12yAx ya

11、xyxR，、，2( , ) (1)(1)15Bx yaxayxyR，、，且AB ，求实数 a的值.增补习题25. 已知集合22(3)2(1)02(31)20Ax xmxmmBxxnxnRR，.求 m、n 分使 (1)ABA(2)ABA时的值。26. (1)已知集合2,4,8,16A ，令( )X表示 A 的非空子集 X 中所有元素之积，求所有这些( )X的积；(2)已知集合2*10Bx xnnnN，令( )Y表示 B 的非空子集 Y 中所有元素之和，求这些( )Y的和.27. 设集合1,2,3,4,5,6M ，1s、2s、ks都是 M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的,iiisa b，,j

12、jjsa b ij且1,2,3,i jk ，都有min,min,jjiiiijjabab babamin, x y表示 x、y 中较小，则 k 的最大值是A. 10B. 11C. 12D. 1328. 已知集合 A 满足以下条件: 若aA()aN，则( )21af aAa且( )ff aA，依此类推.(1)若集合 A 为单元素集，求 a 与集合 A；(2)请用描述法写出一个满足条件的集合 A，要求集合 A 不是单元素集，且不含字母 a. -_（二）命题和充要条件 知识点归纳 1.命题: 2.命题的四种形式:3.等价命题: 4.充分条件和必要条件:5.子集与推出关系:例题讲解 例 1写出下列命题

13、的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1)若0ab ，则0a 或0b ；(2)两个有理数的和是有理数.例 2有下列四个命题: 命题“若1xy ，则 x、y 互为倒数”的逆命题是假命题； 命题“面积相等的三角形全等”的否命题是假命题； 命题“若1m ，则2230xx有实根”的逆否命题是真命题； 命题“若ABB，则AB”的逆否命题是真命题. 其中是真命题的是_(填上你认为正确命题的序号). 例 3命题 : tan()0AB，命题 : tantan0AB，则 是 的(). A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件例 4设函数( )f x的定义域为

14、 R，有下列三个命题: 若存在常数 M，使得对任意xR，有( )f xM，则 M 是函数( )f x的最大值； 若存在0x R，使得对任意xR，0xx，有0( )()f xf x，则0()f x是函数( )f x的最大值； 若存在0x R，使得对任意xR，有0( )()f xf x，则0()f x是函数( )f x的最大值. 这些命题中，真命题的个数是(). A. 0B. 1C. 2-_D. 3 例 5下列各题中， 是 的什么条件?(1): xy；: 0xy(2): 0xy；: xyxy.例 6(1)写出3x 一个充分条件和一个必要条件；(2)写出2210axx 至少有一个负的实根的充要条件.

15、例 7在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的什么条件?例 8已知0c ，设命题 P: 函数xyc在 R 上单调递减，命题 Q: 不等式21xxc的解集为 R，如果命题 P 和 Q 有且仅有一个正确，求实数 c 的取值范围.回顾反思 1.主要方法: 逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系， 解题时注意类比； 通常复合命题“p 或 q”的否定为“p且q”、“p 且 q”的否定为“p或q”、 “注意”的否定是“存在”、“都是”的否定为“不都是” 等等； 有时一个命题的叙述方式比较简略，应先分清条件和结论，再改写成“若 p，则q”的形式； 原命题与它的逆否命题同

16、真同假，原命题的逆命题与否命题同真同假，所以对一些 命题的真假判断(或推证)，我们可通过对与它同真同假 的命题(具有逆否关系的命题)来判断(或推证)； 判断充要条件的关键是分清条件和结论；说明不充分或不必要时，只要举出反例即 可. 2.易错、易漏点:-_ 判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命 题的真假，再由真值表判断复合命题的真假； 写四种命题时应先分清题设和结论； 要注意一些常用的“结论的否定形式”，如“至少有一个”、“至多有一个”、 “都是”的否定形式是“一个也没有”、“至少有两个” 、“不都是”；复合命题中“且”、“或”的否定；“不都是”与“至多”、

17、“至少”的关系.课后练习 1.下列说法: 若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题； 若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题； 若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题； 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题. 其中正确的说法是().A. B. C. D. 2.设集合23Mx xPx x，那么“xM或xP”是“xMP”的().A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件3.函数2( )(0)f xxbxc x是单调函数的充要条件是().A. 0b B. 0b C. 0b D. 0b 4.“abR

18、、”是“2abab”的(). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5.下列判断中正确的是().A. “12 是偶数且是 18 的约数”是真命题 B. “方程210xx 没有实数根”是假命题C. “存在实数 x，使得23x 且216x ”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120”是假命题6.命题“若xy，则22xy”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为().A. 0 B. 1 C. 2 D. 37.“14ab且03ab”是“01a且13b”成立的 ( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既

19、不充分又不必要条件8.命题甲为: 05x，命题乙为: 23x ，则甲是乙的().A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 9.下列命题中，与命题“a 是一个有理数”是等价命题的是().A. 2a是一个有理数 B. 3a是一个有理数 C. 1 a是一个有理数 D. a是一个有理数10. 如果 A 是 B 的必要条件，B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分条件，则 D 是 A 的(). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 11. 对任意实数 a、b、c，给出下列命题，其中真命题的个数是 ( ).

20、“ab”是“acbc”的充要条件；-_ “5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； “ab”是“22ab”的充分条件； “5a ”是“3a ”的必要条件. A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. “2xy”的_条件是“1x 且1y ”.13. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1)如果0a ，那么0ab ；(2)对顶角相等.14. 已知关于 x 的一元二次方程2440mxx，2244450 ()xmxmmmZ，求方程和都有整数解的充要条件.增补习题 15. 对于非零实数 a、b，以下四个命题都成立:10aa； 222()2abaabb； 若ab，则ab

21、； 2aab，则ab.那么，对于非零复数 a、b 仍然成立命题的所有序号是_.16. 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，已知、是两个相交平面，空间两条直线12ll、在上的射影是12ss、，12ll、在上的射影是12tt、. 用12ss、，12tt、的位置关系，写出一个总能确定12ll、是异面直线的充分条件: _.17. 求证: “数列 na是公比不等于 1 的等比数列”的一个充要条件是“(1)n nSa b”，其中0ab 、且1b .-_【附录】一、集合与命题要求内容记忆性水平解释性理解水平探究性理解水平集合及其表示知道集合的意义。会对集合的意义进行描述。认识一些特殊集合的记

22、号。懂得元素及其与几何的关系符号。初步掌握基本的集合语言。会用“列举法”和“描述法”表示集合。体会数学抽象的意义。掌握用区间表示集合的方法。子集理解集合之间的包含关系。掌握子集的概念。能用集合语言表述和解决一些简单的实际问题。交集、并集、补集知道有关的基本运算性质。掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算。命题的四种形式了解一些基本的逻辑关系及其运用，了解集合与命题之间的联系，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用。理解否命题、逆否命题，明确命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系。领会分类、判断、推理的思想方法。充分条件、必要条件、充分必要条件理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义。能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。子集与推出关系知道子集与推出关系之间的联系。初步体会利用集合知识理解逻辑关系。