空间中的垂直关系教案.docx

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1、空间中的垂直关系教案空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 第三课时空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1学问与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培育学生的空间想象实力. 2过程与方法 （1）学生通过视察与类比加深了对这些位置关系的理解、驾驭； （2）让学生利用已有的学问与阅历归纳整理本节所学学问. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生视察事物、思索等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标

2、. 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？ 问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？ 生1：平行、相交、异面 生2：有三种位置关系： （1）直线在平面内 （2）直线与平面相交 （3）直线与平面平行 师确定并板书，点出主题. 复习回顾，探究求真，激发学习爱好. 探究新知 1直线与平面的位置关系. （1）直线在平面内有多数个公共点. （2）直线与平面相交有且仅有一个公共点. （3）直线在平面平行没有公共点. 其中直线与平面相交或平行的状况，统称为直线在平面外，记作a. 直线a在面内的符号语言是a.图形语言是： 直线a与面相交的

3、a=A.图形语言是符号语言是： 直线a与面平行的符号语言是a.图形语言是： 师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？ 生：直线在平面内时二者有多数个公共点. 直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点. 直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书） 师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的状况统称为直线在平面外. 师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和书写一下. 学生上台画图表示. 师；好.应当留意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外. 加强对学问的理解培育，自觉钻研的学习习

4、惯.数形结合，加深理解. 探究新知 2平面与平面的位置关系 （1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）问题2：如图所示，围成长方体ABCDABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？ （2）平面与平面的位置关系 平面与平面平行没有公共点. 平面与平面相交有且只有一条公共直线. 平面与平面平行的符号语言是.图形语言是： 师：下面请同学们思索以下两个问题（投影） 生：平行、相交. 师：它们有什么特点？ 生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书） 师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来

5、 师：下面我们来看几个例子（投影例1） 通过类比探究，培育学生学问迁移实力.加强学问的系统性. 典例分析 例1下列命题中正确的个数是（B） 若直线l上有多数个点不在平面内，则l. 若直线l与平面平行，则l与平面内的随意一条直线都平行. 假如两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. 若直线l与平面平行，则l与平面内的随意一条直线没有公共点. A0B1C2D3 例2已知平面，直线a，求证a. 证明：假设a，则a在内或a与相交. a与有公共点. 又a. a与有公共点，与面面冲突. . 学生先独立完成，然后探讨、共同探讨，得出答案.老师利用投影仪给出示范. 师解：如图，我们借助

6、长方体模型，棱AA1所在直线有多数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1明显不平行于BD，所以命题不正确；A1B1AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以命题不正确；l与平面平行，则l与无公共点，l与平面内全部直线都没有公共点，所以命题正确，应选B. 师投影例2，并读题，先学生尝试证明，发觉正面证明并不简单，然后老师赐予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解. 例1老师通过示范传授学生一个通过模型来探讨问题的方法，同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的敏捷，并

7、加深对面面平行、线面平行的理解. 随堂练习 1如图，试依据下列条要求，把被遮挡的部分改为虚线： （1）AB没有被平面遮挡； （2）AB被平面遮挡. 答案：略 2已知，直线a，b，且，a，a，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？ 答案：平行或异面 3假如三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 答案：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条. 4空间的三个平面的位置关系有几种情形？请画图表示全部情形. 答案：5种图略 学生独立完成 培育识图实力，探究意识和思维的严谨性. 归纳总结 1直线与平面、平面与平面的位置关系. 2“正难到反”数学思想与反证法解题步骤. 3“分类探讨

8、”数学思想 学生归纳总结、老师赐予点拨、完善并板书. 培育学生归纳整合学问实力，培育学生思维的敏捷性与严谨性. 作业 2.1第一课时习案 学生独立完成 固化学问 提升实力 备用例题 例1直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A一条直线不相交 B两条直线不相交 C随意一条直线都不相交 D多数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的随意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的（）. A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 【解析】假如直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但

9、直线不与平面平行，应选B. 例3求证：假如过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.已知：l，点P，Pm，ml求证：.证明：设l与P确定的平面为，且=m，则lm.又知lm，由平行公理可知，m与m重合.所以.垂直关系的性质 1.6.2垂直关系的性质 一、学习目标：1.理解并驾驭直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线垂直的关系，并会应用。2.通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。二重点，难点重点：垂直关系的判定及性质的应用。难点：线面垂直在线线垂直与面面垂直关系间的转化。三学问链接 四学问应用例1.已知直线a/直线b，a平面，求证：b(A级) 例2.如图

10、所示，P为ABC所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面ABC于H，求证：H是ABC的垂心。（B级） 四自测达标1.如图，假如MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（A级）（）A平行B.垂直相交C.异面D.相交但不垂直2.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（A级）（）A0个B.1个C.多数个D.1个或多数个3已知ABC，直线mAC，mBC，则mAB(填“”或“不垂直”)（B级） 4.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是菱形，SA底面ABCD，E是SC上一点。求证：平面EBD平面SAC（B级） 5.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，平面PAC平

11、面PBC。求证：BC平面PAC（C级） 高考数学（理科）一轮复习空间的垂直关系学案含答案 学案44空间的垂直关系 导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为动身点，相识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简洁命题自主梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论：假如在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线垂直于同一个平面的两条直线_垂直于同始终线的两

12、个平面_2直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角始终线垂直于平面，说它们所成角为_；直线l或l，则它们成_角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直4二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角自我检测1平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线l，l，lB存在一个平面，C存在一个平面，D存在一条直线l，l，l2(2022浙江)设

13、l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm3(2022长沙模拟)对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线l，直线m，使得lm；存在异面直线l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定与平行的条件有()A1个B2个C3个D4个4(2022十堰月考)已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn5(2022大纲全国)已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1

14、上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_探究点一线面垂直的判定与性质例1RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC.求证：BD平面SAC. 变式迁移1在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.证明：ABVD. 探究点二面面垂直的判定与性质 例2(2022邯郸月考)如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC平面ABCD.变式迁移2(2022江苏)

15、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD. 探究点三直线与平面，平面与平面所成的角例3(2022湖北)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，AD2a，点E是SD上的点，且DEa(02)(1)求证：对随意的(0,2，都有ACBE；(2)设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tantan1，求的值 变式迁移3(2022北京)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D、E分别在棱PB、PC上，

16、且DEBC.(1)求证：BC平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由转化与化归思想综合应用例(12分)已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A60的菱形，又PD底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1)证明：DN平面PMB；(2)证明：平面PMB平面PAD.多角度审题(1)在平面PMB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；(2)要证面PMB面PAD，只需证明MB面PAD即可【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QNBCMD，且QNMD，故四边

17、形QNDM是平行四边形，于是DNMQ.又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面PMB.6分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.又因为底面ABCD是A60的菱形，且M为AD中点，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.12分【突破思维障碍】立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：m、n，mnAlm，lnl；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法：(1)

18、定义：两条直线的夹角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1(2022滨州月考)已知直线a，b和平面，且a，b，那么是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，n，则mn.其中正确命题的个数是()A0B1C2D33设

19、，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是()ABCD4(2022浙江)下列命题中错误的是()A假如平面平面，那么平面内肯定存在直线平行于平面B假如平面不垂直于平面，那么平面内肯定不存在直线垂直于平面C假如平面平面，平面平面，l，那么l平面D假如平面平面，那么平面内全部直线都垂直于平面5平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支二、填空题(每小题4分，共12分)6如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的

20、正方形，侧棱PAa，PBPD2a，则它的5个面中，相互垂直的面有_对7(2022金华模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是_8正四棱锥SABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_三、解答题(共38分)9(12分)(2022山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2M

21、A.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比 10(12分)(2022天津)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB22.(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：AC平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值11(14分)(2022杭州调研)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值学案44空间的垂直关系自主梳理1(1)相交垂直(2)随意平行平行

22、2射影直角03.(1)一条垂线(2)交线4.垂直自我检测1D2.B3.B4.D5.23课堂活动区例1解题导引线面垂直的推断方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明(1)取AB中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.SDAC，SDAB，ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.SDB

23、D，BDAC，SDACD，BD平面SAC.变式迁移1证明平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCD，AD平面VAD平面ABCD，AB平面VAD.VD平面VAD，ABVD.例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行证明如图所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点由棱柱的性质知：A1O1OC，且A1O1OC，四边形A1OCO1为平行四边形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.变式迁移2

24、证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.例3解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查求这两种空间角的步骤：(几何法)依据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找

25、)认(指)求(1)证明如图所示，连接BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE.(2)解如图所示，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD.又SDADD，CD平面SAD.过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角CAED的平面角，即CFD.在RtBDE中，BD2a，DEa，tanDEBD2.在RtADE中，AD2aCD，DEa，AEa22，从而DFADDEAE2a22.在RtCDF中，tanCDDF22，由tantan1，得222122222.由(0,2，解得2，

26、即为所求变式迁移3(1)证明PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解D为PB的中点，DEBC，DE12BC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形AD22AB.在RtABC中，ABC60，BC12AB.在RtADE中，sinDAEDEADBC2AD24.AD与平面PAC所成的角的正弦值为24.(3)解DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面

27、角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角课后练习区1C2.D3.C4D两个平面，垂直时，设交线为l，则在平面内与l平行的直线都平行于平面，故A正确；假如平面内存在直线垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面，垂直时，平面内与交线平行的直线与平行，故D错误5A65解析面PAB面PAD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面ABCD，面PAD面PCD.7解析由于ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AA1BD是一个

28、正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH平面CB1D1，故正确；从而可得AC1平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90.8.62解析如图取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，GF，GE.则AC平面GEF，故动点P的轨迹是EFG的三边又EF12DB2，GEGF12SB62，EFFGGE62.9(1)证明因为MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.(2分)因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDCD，所以BC平面PDC.(4分)在PBC中，因为G、

29、F分别为PB、PC的中点，所以GFBC，所以GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(6分)(2)解因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2，所以VPABCD13S正方形ABCDPD83.(8分)由题意可知，DA平面MAB，且PDMA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以VPMAB131212223.(10分)所以VPMABVPABCD14.(12分)10(1)证明设ACBDH，连接EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE，且PA平面BDE，所以PA平面

30、BDE.(4分)(2)证明因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由()可得，DBAC.又PDDBD，故AC平面PBD.(8分)(3)解由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线BC与平面PBD所成的角由ADCD，ADCD1，DB22，可得DHCH22，BH322.在RtBHC中，tanCBHCHBH13.所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13.(12分)11(1)解连接A1D，则由A1DB1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角(2分)连接A1E，可设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则A1D2a，A1EDE52a，cosA1

31、DEA1D2DE2A1E22A1DDE105.直线B1C与DE所成角的余弦值是105.(6分)(2)证明取B1C的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，CDBF.又BFB1C，CDB1CC，BF平面B1CD.(8分)又GF綊12CD，BE綊12CD，GF綊BE，四边形BFGE是平行四边形，BFGE，GE平面B1CD.GE平面EB1D，平面EB1DB1CD.(10分)(3)解连接EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，GEB1C.又GEGFG，B1C平面GEF，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角(12分)设正方体

32、的棱长为a，则在EFG中，GF12a，EF32a，GEGF，cosEFGGFEF33，二面角EB1CD的余弦值为33.(14分) 高三数学下册空间中的平行学问点 高三数学下册空间中的平行学问点 一、直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 二、线线平行线面平行 线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 三、平面与平面平行的判定及其性质 假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 (线面平行面面平行)， 假如在两个平面内，

33、各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 (线线平行面面平行)， 垂直于同一条直线的两个平面平行， 四、两个平面平行的性质定理 假如两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行线面平行) 假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行线线平行) 练习题： 1已知m、n、l1、l2表示直线，、表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是() Am且l1 Bm且n Cm且nl2 Dml1且nl2 2平面平面，AB、CD是夹在和间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与() A平行 B相交 C垂直 D不能确定 3若不共线的三点到平面的距离相等，则这三点确定的平面与之间的关系为() A平行 B相交 C平行或相交 D无法确定 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页