空间中的垂直关系带答案.doc

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1、. .空间中的垂直关系 专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，那么称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_，那么称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面互相垂直，记作l.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义

2、：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面，互相垂直，记作.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一 线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC

3、=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【变式1】：正方体ABCDA1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点 求证：B1D1AE； 求证：AC平面B1DE【解答】连接BD，那么BDB1D1，ABCD是正方形，AC BDCE平面ABCD，BD平面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACEAE面ACE，BDAE，B1D1AE5分证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF E、F是C1C、B1B的中点， CEB1F且CE=B1F， 四边形B1FCE是平行四边形， CF B1E 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点， EFBC且EF

4、=BC又 BCAD且BC=AD， E FAD且EF=AD 四边形ADEF是平行四边形，可得AFED， AFCF=C，BEED=E， 平面ACF平面B1DE 又 AC平面ACF，AC面B1DE 【变式2】如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1 证明：EA PB； 证明：BG 面AFC【解答】证明：因为面ABCD为菱形，且ABC=60，所以 ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EAAB又PA平面ABCD，所以EAPA 而ABPA=A所以EA面PAB，所以EAPB 取PF中点M，所以PM

5、=MF=FD连接MG，MGCF，所以MG面AFC 连接BM，BD，设ACBD=O，连接OF，所以BMOF，所以BM面AFC而BMMG=M所以面BGM面AFC，所以BG面AFC【变式3】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=，AA1=21证明：AA1 BD2证明：平面A1BD平面CD1B1；3求三棱柱ABDA1B1D1的体积【解答】1证明：底面ABCD是正方形，BDAC，又A1O平面ABCD且BD面ABCD，A1OBD，又A1OAC=O，A1O面A1AC，AC面A1AC，BD面A1AC，AA1面A1AC，AA1BD2A1B1AB，AB

6、CD，A1B1CD，又A1B1=CD，四边形A1B1CD是平行四边形，A1DB1C，同理A1BCD1，A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，CD1平面CD1B1，B1C平面CD1B，且A1BA1D=A1，CD1B1C=C，平面A1BD平面CD1B13A1O面ABCD，A1O是三棱柱A1B1D1ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1在RtA1OA中，AA1=2，AO=1，A1O=，V三棱柱ABDA1B1D1=SABDA1O=2=三棱柱ABDA1B1D1的体积为【变式4】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是

7、BC的中点1求证：AE平面BCC1B12求四棱锥AB1C1FE的体积；3证明：B1EAF【解答】1AB=AC，E是BC的中点，AEBC在三棱柱ABCA1B1C1，中，BB1AA1，BB1平面ABC，AE平面ABC，BB1AE，2分又BB1BC=B，3分BB1，BC平面BB1C1C，AE平面BB1C1C，4分2由1知，即AE为四棱锥AB1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，=SCFE=4=116分=AE=7分3证明：连结B1F，由1得AE平面BB1C1C，B1E平面BB1C1C，AEB1E，8分在正方形BB1C1C，中，B1F=5

8、，B1E=2，EF=，B1F2=B1E2+EF2，B1EEF9分又AEEF=E，10分AE，EF平面AEF，B1E平面AEF，11分AF平面AEF，B1EAF12分【变式5】如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB1求证：PCBC；2求三棱锥CDEG的体积；3AD边上是否存在一点M，使得PA平面MEG？假设存在，求AM的长；否那么，说明理由【解答】1证明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD又PDCD=D，BC平面PCD又PC平面PCD，PCBC2BC平面PCD，GC是三棱锥GDEC的高E是PC

9、的中点，SEDC=SPDC=22=1VCDEG=VGDEC=GCSDEC=1=3连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，那么PA平面MEG证明：E为PC的中点，O是AC的中点，EOPA又EO平面MEG，PA平面MEG，PA平面MEG在正方形ABCD中，O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CBOCGOAM，AM=CG=，所求AM的长为【变式6】如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，A1B1B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点求证：A1BAC1在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E平面A1BD，假设存在，试确定E点的位置；假设不存在

10、，请说明理由【解答】证明：连接AB1BB1平面A1B1C1B1C1BB1B1C1A1B1且A1B1BB1=B1B1C1平面A1B1BAA1BB1C1. 又A1BAB1且AB1B1C1=B1A1B平面AB1C1 A1BAC1存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E平面A1BD设AB=a，CE=2a，DE=，A1EA1DBDAC，BDCC1，ACCC1=C，BD平面ACC1A1 ， 又A1E平面ACC1A1A1E BD. 又BDA1D=D ，A1E平面A1BD 【变式7】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点1求证：ACBC1； 2求证：A

11、C1平面CDB1【解答】证明：1因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以C1C平面ABC，所以C1CAC又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC又C1CBC=C，所以AC平面CC1B1B，所以ACBC12连结C1B交CB1于E，再连结DE，由可得E为C1B的中点，又D为AB的中点，DE为BAC1的中位线AC1DE。又DE平面CDB1，AC1平面CDB1AC1平面CDB1【变式8】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CDB1D1证明：CDB1C1；2平面CDB1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比【解答】1证明：由

12、题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA1的中点，那么DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，那么CDDC1，而CDB1D，B1DDC1=D，那么CD平面B1C1D，由于B1C1平面B1C1D，故CDB1C1；2解：由1知，CDB1C1，且B1C1C1C，那么B1C1平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方局部的体积，V2是平面CDB1下方局部的体积，那么V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1B1C1=B1C13=B1C13，V=VABCA1B1C1=ACBCCC1=B1C13，那么V2=VV1=B1C13=V1，故这两局部体积的比为1：1【变式9】如下图，在长方体

13、ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB1求证：D1EA1C1；2在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；3求几何体ABED1D的体积【解答】证明：连结B1D1因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1B1D1在长方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1，又A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1因为DD1B1D1=D1，DD1平面BB1D1D，B1D1平面BB1D1D，所以A1C1平面BB1D1D又D1E平面BB1D1D，所以D1EA1C14分解：连结BC1，过E作EFB

14、C1交B1C1于点F因为AD1BC1，所以AD1EF所以A、E、F、D1四点共面即点F为满足条件的点又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以8分解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥ABED1D因为=，点A到平面BED1D的距离h=，所以几何体ABED1D的体积为：=13分题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.1求证：平面PBE平面PAC；2如何在BC上找一点F，使AD平面PEF？并说明理由.【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD证明：平面AEC平面B

15、ED.【解答】证明：四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，那么AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；【变式2】如图，三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点1求证：BD平面FGH；2假设CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH【解答】在三棱台DEFABC中，AB=2DE，G为AC的中点，四边形CFDG是平行四边形，DM=MC又BH=HC，MHBD，又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH；证法二：在三棱台DEFABC中，AB=2DE，H为BC的中点，四边形BHFE为平行四边形BEHF在ABC中，G为AC的中点，H为BC

16、的中点，GHAB，又GHHF=H，平面FGH平面ABED，BD平面ABED，BD平面FGHII证明：连接HE，G，H分别为AC，BC的中点，GHAB，ABBC，GHBC，又H为BC的中点，EFHC，EF=HCEFCH是平行四边形，CFHECFBC，HEBC又HE，GH平面EGH，HEGH=H，BC平面EGH，又BC平面BCD，平面BCD平面EGH【变式3】如下图，AB 平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BCCD求证：平面BCD平面ABC【解答】因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD又CDBC，ABBC=B，所以CD平面ABC又CD平面BCD，所以平面BCD平面ABC【变式4】

17、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点1求证：平面EFG平面PAD；2假设M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积【解答】1平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDADCD平面PAD3分又PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，EFCD，可得EF平面PADEF平面EFG，平面EFG平面PAD；6分2EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，VMEFG=VDEFG，取AD的中点H连

18、接GH、EH，那么EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH，EHD是正三角形点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为，10分因此，三棱锥MEFG的体积VMEFG=VDEFG=SEFG=12分【变式5】如图，AB平面ACD，DEAB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=1求证：AF平面BCE；2求证：平面BCE平面CDE；3求此多面体的体积【解答】证明：1取CE中点P，连接FP、BP，PFDE，且FP=1又ABDE，且AB=1，ABFP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AFB

19、P2分又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE4分2证明：AD=AC，F是CD的中点，所以ACD为正三角形，AFCDAB平面ACD，DEAB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE.3此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高12分【变式6】如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，ABB1CI求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；II假设AB=2，求三棱柱ABCA1B

20、1C1体积【解答】证明：由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1又ABB1C，BB1B1C=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，那么COBB1由知，CO平面AB1B1A，且CO=BC=AB=连接AB1，那么=CO=AB2CO=，V三棱柱=2【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，BAD=ADC=90，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点1求证：平面PBC平面PDE；2线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？假设有，请找出具体位置，并进展证明；假设无，请分析说明理由【

21、解答】1证明：连结BD，BAD=90，；BD=DC=2a，E为BC中点，BCDE；又PD平面ABCD，BC平面ABCD；BCPD，DEPD=D；BC平面PDE；BC平面PBC，平面PBC平面PDE；2如上图，连结AC，交BD于O点，那么：AOBCOD；DC=2AB；在PC上取F，使；连接OF，那么OFPA，而OF平面BDF，PA平面BDF；PA平面BDF题型三：面面垂直性质应用例3.如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，假设G为AD边的中点.1求证：BG平面PAD；2求证：ADPB.【变式1】如图，在四棱锥

22、PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点1求证：平面EFG平面PAD；2假设M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积【解答】1平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD。又PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，EFCD，可得EF平面PAD.EF平面EFG，平面EFG平面PAD。2EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，VMEFG=VDEFG，取AD的中点H连接GH、EH，那

23、么EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH，EHD是正三角形，点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为，因此，三棱锥MEFG的体积VMEFG=VDEFG=SEFG=【变式2】点P是菱形ABCD外一点，DAB60，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点(1)求证：ADPB；(2)假设E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF平面ABCD.并证明你的结论 解析(1)证明：连接BG、PG.四边形ABCD是菱形且DAB60.BGAD. 又PAD为正三角形

24、，且G是AD中点，PGAD.PGBGG，AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB. (2)当F是PC中点时，平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，BGDE.平面DEF平面PGB.平面PAD平面ABCD，PGAD.PG平面ABCD.又PG平面PGB.平面PGB平面ABCD.平面DEF平面ABCD.题型四 求点面的距离例4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A A1=5，AB=12，求直线B1C1到平面A1BC D1的距离.【变式】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，AP=AB=

25、1，E，F分别是PB，PC的中点求证：AEPC；求点A到平面PBD的距离【解答】证明：AP=AB，E是PB的中点，AEPB，PA平面ABCD，PABC，ABBC且PAAB=ABC平面PAB，AE平面PAB，AEBC，PBBC=B，AE平面PBC，AEPC6分解：设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，点A到平面PBD的距离为课后作业1. 对于任意的直线l与平面，在平面必有直线m与l A. 平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线2.假设平面平面，点，那么以下命题中的真命题有 过P垂直于l的平面垂直于； 过P垂直于l的直线在；过P垂直于的直线平行于； 过P垂直于的直线在.A. B. C. D

26、.3.空间四边形ABCD中，假设ADBC,BDAD，那么有A.平面ABC平面ADC B.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面BDC4.假设 m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，那么以下结论中正确的选项是( ) A. 假设m , ，那么m B.假设=m ,=n ，mn, 那么 C. 假设m,m,那么 D.假设，那么6.如下图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，那么它的5个面中，互相垂直的面有对.7.三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3，4，5，那么OP的长为_.8. 空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点.求证：(1)平面ABE平面BCD；(2) 假设F是AB的中点，BC=AD,且AB=8，AE=10，求EF的长.BCDAE9.直角三角形ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.DSCBA 1求证：SD平面ABC； 2假设AB=BC，求证：BD面SAC.10. 在正方体中，M为棱的中点，AC交BD于O， 求证：平面BDM.11. 直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，分别为的中点.1求证：平面；2求三棱锥的体积. .word.