2018年度江苏苏锡常镇四市高三调研(一~)数学试题-及其答案~.doc

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1、#*2017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学数学试题试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题请把答案填写在答题卡相应位置上卡相应位置上. .1.已知集合，则集合 1,1A 3,0,1B AB 2.已知复数满足（ 为虚数单位） ，则 z34z ii iz 3.双曲线的渐近线方程为 22 143xy4.某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，1800600n其中高二年级被抽取的人数为，

2、则 21n 5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 ，）先后抛掷次，12342观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为 66.如图是一个算法的流程图，则输出的值是 S7.若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 2cm28cm3cm8.设是等差数列的前项和，若，则 nSnan242aa241SS10a9.已知，且，则的最小值是 0a 0b 23ababab10.设三角形的内角，的对边分别为，已知，则ABCABCabctan3 tanAcb Bbcos A #*11.已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，,1 ( )4,1xaex f xxxx e( )yf

3、 x4则实数的取值范围为 a12.在中，点是边的中点，已知，则ABCPAB3CP 4CA 2 3ACBCP CA 13.已知直线 ：与轴交于点，点在直线 上，圆：l20xyxAPlC上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为 22(2)2xyBABBPP14.若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的2( )f xaxbxc(0)a 1,2(1)f a取值范围为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答，解答请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .15.

4、已知向量，.( 2sin,1)a(1,sin()4b（1）若角的终边过点，求的值；(3,4)a b（2）若，求锐角的大小./ /ab16.如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱111ABCABC62MN，的中点，点是棱上靠近的三等分点.11ACACD1CCC求证：（1）平面；1/ /B M1ABN（2）平面.AD 1ABN#*17.已知椭圆：经过点，点是椭圆的下顶点.C22221xy ab(0)ab1( 3, )23(1,)2A（1）求椭圆的标准方程；C（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知A1l2lyxEF，求直线的斜率.OEOF1l18.如图，某景区内有一

5、半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在AB6OOCAB上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记OCQ2 3AQCBCP.(0)2POB（1）当时，求的大小；3OPQ（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效OPQPP果最佳时，角的正弦值.19.已知函数，.32( )f xxaxbxc( )lng xx（1）若，且恒成立，求实数的取值范围；0a 2b ( )( )f xg xc（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.3b ( )yf x( 1,1)求实数的值；a当时，求函数的值域.2c ( ),( )( )( )( ),( )( )f xf xg xh xg xf

6、 xg x20.已知是数列的前项和，且.nSnan13a 123nnSa*()nN（1）求数列的通项公式；na（2）对于正整数 ，已知，成等差数列，求正整数，ij()k ijkja6iaka的值；#*（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式 nbnnTn成立.求满足等式的所有正整数.12132nnnaba ba b1 13nna b33n1 3nnT an2017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学数学（附加题）（附加题）21.【21.【选做题选做题】在在 A A，B B，C C，D D 四小题中只能选

7、做两题，每小题四小题中只能选做两题，每小题 1010 分，共计分，共计 2020分分. .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .A. 选修 4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点ABODODOAB，且满足.CDADC（1）求证：；2ABBC（2）若，求线段的长.2AB CDB. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵，列向量.4001A1205BaXb （1）求矩阵；AB（2）若，求，的值.115 1B A X abC. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系

8、中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交C(2 2,)4Psin()33 点，求圆的极坐标方程.CD. 选修 4-5：不等式选讲已知，都是正数，且，求证：.xy1xy 22(1)(1)9xyyx#*【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在答题卡指定区域内请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于底面，PABCDABCDPDABCD，点为线段（不含端点）上一点.2PDADABQPA（1）当是线段的

9、中点时，求与平面所成角的正弦值；QPACQPBD（2）已知二面角的正弦值为，求的值.QBDP2 3PQ PA23.在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，n1,2, nAnn1a2a）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合na(1,2, )iai innA，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记31,2,3A (2,3,1)3A(1,3,2)3A集合的所有错位排列的个数为.nAnD（1）直接写出，的值；1D2D3D4D（2）当时，试用，表示，并说明理由；3n 2nD1nDnD（3）试用数学归纳法证明：为奇数.* 2()nDnN#*2017-20182017-2

10、018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学数学试题参考答案试题参考答案一、填空题一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 153 2yx 633 166. 7. 8. 9. 10. 254 3 382 61 311. 12. 13. 14. 4ae61,530,1)二、解答题二、解答题15.解：（1）由题意，4sin53cos5所以2sinsin()4a ba2sinsincos4cossin4.4 242 552323 2 522（2）因为，所以，即/ /ab2sinsin()14a2sin，所以，(sincoscossin)1442sinsi

11、ncos1则，对锐角有，所以，2sincos1 sin 2coscos0tan1所以锐角.416.证明：（1）连结，正三棱柱中，且，则四MN111ABCABC11/ /AACC11AACC边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以11AAC CMN11ACAC且，1/ /MNAA1MNAA又正三棱柱中且，所以且，所111ABCABC11/ /AABB11AABB1/ /MNBB1MNBB以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面1MNBB1/ /B MBN1B M 1ABNBN ，1ABN所以平面；1/ /B M1ABN#*（2）正三棱柱中，平面，111ABCABC1AA ABC平面，所以

12、，BN ABC1BNAA正中，是的中点，所以，又、平面，ABCNABBNAC1AAAC 11AAC C，1AAACA所以平面，又平面，BN 11AAC CAD 11AAC C所以，ADBN由题意，所以，16AA 2AC 1AN 6 3CD 13 2AAAN ACCD又，所以与相似，则，12A ANACD 1A ANACD1AANCAD 所以，1ANACAD112ANAAAN 则，又，平面，1ADAN1BNANNBN1AN 1ABN所以平面.AD 1ABN17.解：（1）由题意得，解得，22223114 1314abab 2211 4 11ab 所以椭圆的标准方程为；C2 214xy（2）由题意

13、知，直线，的斜率存在且不为零，(0, 1)A1l2l#*设直线：，与直线联立方程有，得，1l11yk xyx11yk xyx 1111(,)11Ekk设直线：，同理，2l111yxk 1111(,)1111Fkk因为，所以，OEOF1111| |111k k，无实数解；1111 111k k1 110kk，解得，1111 111k k1 112kk2 11210kk 112k 综上可得，直线的斜率为.1l1218.解：（1）设，由题，中，OPQRt OAQ3OA AQOAQC，2 33所以，在中，3OQ OPQ3OP 2POQ236由正弦定理得，sinsinOQOP OPQOQP即，所以，33

14、 sinsin()6 3sinsin()65sin()6则，所以，53sinsincos65cossin613cossin223sincos因为为锐角，所以，所以，得；cos03tan36（2）设，在中，OPQOPQ3OP 2POQ236#*由正弦定理得，即，sinsinOQOP OPQOQP33 sinsin()2 所以3sinsin()2sin()2cos()，coscossinsin从而，其中，( 3sin )sincoscos3sin0cos0所以，costan3sin记，；cos( )3sinf213sin( )( 3sin )f(0,)2令，存在唯一使得，( )0f3sin30(0

15、,)203sin3当时，单调增，当时，单调减，0(0,)( )0f( )f0(,)2( )0f( )f所以当时，最大，即最大，0( )ftanOPQ又为锐角，从而最大，此时.OPQOPQ3sin3答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.3 319.解：（1）函数的定义域为.当，( )yg x(0,)0a ，2b 3( )2f xxxc恒成立，恒成立，即.( )( )f xg x32lnxxcx3ln2cxxx令，则，3( )ln2xxxx21( )32xxx3123xx x2(1)(1 33)xxx x令，得，在上单调递增，( )0x1x ( )x(0,1令，得，在上单调递减，( )0x1x (

16、)x1,)当时，.1x max ( )(1)1x.1c #*（2）当时，.3b 32( )3f xxaxxc2( )323fxxax由题意，对恒成立，2( )3230fxxax( 1,1)x ，即实数的值为.(1)3230( 1)3230fafa 0a a0函数的定义域为.( )yh x(0,)当，时，.0a 3b 2c 3( )32f xxx，令，得.2( )33fxx2( )330fxx1x x(0,1)1(1,)( )fx-0+( )f xA极小值0A当时，当时，当时，.(0,1)x( )0f x 1x ( )0f x (1,)x( )0f x 对于，当时，当时，当时，( )lng xx

17、(0,1)x( )0g x 1x ( )0g x (1,)x.( )0g x 当时，当时，当时，.(0,1)x( )( )0h xf x1x ( )0h x (1,)x( )0h x 故函数的值域为.( )yh x0,)20.解：（1）由得，两式作差得123nnSa*()nN1223nnSa，即.1212nnnaaa213nnaa*()nN，所以，则，所13a 21239aS13nnaa*()nN0na 13nna a*()nN以数列是首项为公比为的等比数列，na33所以；3nna *()nN（2）由题意，即，2 6jkiaaa332 6 3jki 所以，其中，3312j ik i1ji 2k

18、i #*所以，333j i399k i，所以，；123312j ik i1ji 2ki 1（3）由得，12132nnnaba ba b1 13nna b33n，11231nnnaba ba b21 1nna bab233(1)3nn，111213(nnnababa b1 21)nnaba b233(1)3nn，1 113(333)n nabn 233(1)3nn所以，即，2 1333(1)n nbn 133(333)nn 1363nbn所以，121nbn*()nN又因为，得，所以，1 1 1 133 1 33ab 11b 21nbn*()nN从而，1 35(21)nTn 2121 2nnn*(

19、)nN2 *()3n n nTnnNa当时；当时；当时；1n 111 3T a2n 224 9T a3n 331 3T a下面证明：对任意正整数都有，3n 1 3nnT a，11nnnnTT aa1 21(1)3n n1 211 33nn n1 221(1)3)3n nn2( 221)nn当时，即，3n 22221(1)nnn (2)0nn110nnnnTT aa所以当时，递减，所以对任意正整数都有；3n nnT a3n 331 3nnTT aa综上可得，满足等式的正整数的值为 和.1 3nnT an132017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）学年度苏锡常

20、镇四市高三教学情况调研（一）数学数学（附加题）参考答案（附加题）参考答案21.【21.【选做题选做题】A. 选修 4-1：几何证明选讲#*证明：（1）连接，.因为是圆的直径，所以，.ODBDABO90ADB2ABOB因为是圆的切线，所以，CDO90CDO又因为，所以，DADCAC 于是，得到，ADBCDO ABCO所以，从而.AOBC2ABBC（2）解：由及得到，.由切割线定理，2AB 2ABBC1CB 3CA ，所以.21 33CDCB CA 3CD B. 选修 4-2：矩阵与变换解：（1）；401248 010505AB（2）由，解得，又因为，所115 1B A X 51XAB 48528

21、 0515 aXb 以，.28a 5b C. 选修 4-4：坐标系与参数方程解：在中，令，得，sin()33 02所以圆的圆心的极坐标为.C(2,0)因为圆的半径，CPC22(2 2)22 2 22 cos24 于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.C4cosD. 选修 4-5：不等式选讲证明：因为，都是正数，xy所以，223130xyxy223130yxyx#*，又因为，22(1)(1)9xyyxxy1xy 所以.22(1)(1)9xyyx【必做题必做题】22.解：（1）以为原点，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；DDADCDP设，则，；ABt(0,0,0)D(2 ,0,0)At(2 ,

22、,0)Bt t(0, ,0)Ct(0,0,2 )Pt( ,0, )Q tt所以，( , )CQtt t (2 , ,0)DBt t (0,0,2 )DPt 设平面的法向量，则，PBD1( , , )nx y z1100DB nDP n 即，解得，所以平面的一个法向量，20 20txty tz 200xyz PBD1(1, 2,0)n ，1 11cos,n CQn CQ n CQ 3 53t t15 5则与平面所成角的正弦值为.CQPBD15 5（2）由（1）知平面的一个法向量为，设，则PBD1(1, 2,0)n (01)PQ PA，PQPA DQDPPQ (0,0,2 )(2 ,0, 2 )t

23、tt(2,0,2 (1)tt，设平面的法向量，则，即(2 , ,0)DBt t QBD2( , , )nx y z 2200DQ nDB n ，解得，所以平面的一个法向量22 (1)0 20t xtz txty (1)020xzxy QBD，2(1,22,)n 由题意得，2 1221 ( )cos,3n n 1212n nn n 2225(1)5 (1)(22)() 所以，即，2255(1) 96105 2(2)()03因为，所以，则.012 32 3PQ PA#*23. 解：（1），10D 21D ，32D ，49D （2），12(1)()nnnDnDD理由如下：对的元素的一个错位排列（，）

24、 ，若，分以下两类：nA1a2ana1(1)ak k若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；1ka 2n2nD若，这种错位排列就是将 ，排列到第到第个位1ka 121k 1k n2n置上， 不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错1k1n位排列，共有个；1nD根据的不同的取值，由加法原理得到；k12(1)()nnnDnDD（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；nD当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，3n n1n12(1)()nnnDnDD又也是偶数，10D 故对任意正奇数，有均为偶数.nnD下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.2nD*nN当时，为奇数；1n 21D 假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，nk2kD1nk，注意到为偶数，又是奇数，所以为2(1)212(21)()kkkDkDD21kD2kD212kkDD奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；21k 2(1)212(21)()kkkDkDD1nk根据前面所述，对任意，都有为奇数. *nN2nD#*