圆的弦长.ppt

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1、4.2.1直线和圆的位置关系位置位置关系关系图形图形几何特征几何特征方程特征方程特征判定方法判定方法几何法几何法代数法代数法 相交相交有两个有两个公公共点共点方方程程组组有有两两个个不不同同实根实根d0相切相切有有且且只只有有一一个个公公共共点点方方程程组组有有且且只只有有一一个实根个实根 d=r=0相离相离没没有有公公共共点点方程组方程组无实根无实根 dr0(1)证明：无论证明：无论a为何实数，直线为何实数，直线l与圆与圆C恒相交恒相交(2)试求直线试求直线l被圆被圆C截得弦长的最大值截得弦长的最大值 C(2,4)xyAB0dD(1)证明：无论证明：无论a为何实数，直线为何实数，直线l与圆与

2、圆C恒相交恒相交(2)试求直线试求直线l被圆被圆C截得弦长的最大值截得弦长的最大值另解：（另解：（1）因为）因为l：y=a(x-1)+4 过定点过定点N（1，4）N与圆心与圆心C（2，4）相距为）相距为1显然显然N在圆在圆C内部，故直线内部，故直线l与圆与圆C恒相交恒相交（2）在在在在y=ax+4-ay=ax+4-a中中中中,直线恒过定点，直线恒过定点，直线恒过定点，直线恒过定点，弦弦AB的最大值为直径的长，的最大值为直径的长，a为斜率，当为斜率，当a=0时，时，l过圆心，弦长等于过圆心，弦长等于6C(2,4)xyAB0N例例1解法一：（求出交点利用两点间距离公式）解法一：（求出交点利用两点间

3、距离公式）xyOAB例例1 1已已知知直直线线 y=y=x+1 与与圆圆 相相交交于于A,B两两点，求弦长点，求弦长|AB|的值的值解法二：（解弦心距解法二：（解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）半弦及半径构成的直角三角形）设圆心设圆心O O（0 0，0 0）到直线的距离为到直线的距离为d d，则则xyOABdr1 1已已知知直直线线x-y+1=0+1=0与与圆圆 相相交交于于A,B两两点点，求求弦弦长长|AB|的值的值总结:求圆的弦长可以利用圆中半弦长、弦心距d 及半径 r 构成的直角三角形来求,此时弦长=。解法三：（弦长公式）解法三：（弦长公式）xyOAB1 1已已知知直直线线 y=y=

4、x+1+1 与与圆圆 相相交交于于A,B两两点点，求求弦弦长长|ABAB|的值的值方法小结方法小结求圆的弦长方法求圆的弦长方法（1 1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标，用两点间距离公式求交点坐标，用两点间距离公式用弦长公式用弦长公式韦达定理韦达定理（2）代数法：）代数法：例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。.xyOM.EF解解:因为直线因为直线

5、l 过点过点M,可设所可设所求直线求直线l 的方程为的方程为:对于圆对于圆:如图如图:T解得解得:所求直线为所求直线为:.xyOM.EF练习.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 直线的方程.分析:充分利用半径弦弦心距之间的关系.解:如下图所示,作OCAB于C,在RtOAC中,OC=设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y+4=k(x-6),即kx-y-6k-4=0.圆心到直线的距离为即17k2+24k+7=0.k1=-1,k2=所求直线方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 直线的方程.直线与圆相交，求直线

6、方程.xyOM.EFC1.直线直线 截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.圆心到直线距离圆心到直线距离 d=OABMxy得得AOB=2MOA=600练习练习小结方法方法1:根据直线与圆方程组成根据直线与圆方程组成的方程组的解的个数判断；的方程组的解的个数判断；方法方法2:根据圆心到直线的距离根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断与圆半径的大小关系判断.判断直线与圆位置关系判断直线与圆位置关系弦长问题弦长问题求切线方程求切线方程方法方法1:设切线斜率，写出切线设切线斜率，写出切线方程，联立方程，利用判别式方程，联立方程，利用判别式为为0；方法方法2:设切线

7、斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，用圆心到切线距离线方程，用圆心到切线距离等于圆的半径等于圆的半径.(2)由平面解析几何的垂径定理可知由平面解析几何的垂径定理可知rdlAB解：（2）如图，有平面几何垂径定理知）如图，有平面几何垂径定理知xy0rd变式演练变式演练1探究二：直线与圆相交，弦长问题.xyOCABl数形结合数形结合代数运算代数运算D直线与圆相交，求直线方程.xyOM.EFC1.直线直线 截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.圆心到直线距离圆心到直线距离 d=OABMxy得得AOB=2MOA=600练习练习小结方法方法1:根据直线与圆方程组成根据

8、直线与圆方程组成的方程组的解的个数判断；的方程组的解的个数判断；方法方法2:根据圆心到直线的距离根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断与圆半径的大小关系判断.判断直线与圆位置关系判断直线与圆位置关系弦长问题弦长问题求切线方程求切线方程方法方法1:设切线斜率，写出切线设切线斜率，写出切线方程，联立方程，利用判别式方程，联立方程，利用判别式为为0；方法方法2:设切线斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，用圆心到切线距离线方程，用圆心到切线距离等于圆的半径等于圆的半径.圆圆(x-3)2+(y+5)2=50被直线被直线4x-3y=2截得截得 的弦长是的弦长是_.练习练习101.已已知知圆圆C：(x

9、-a)2+(y-2)2=4(a0)及及直直线线l：x-y+3=0当当直直线线l被被C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=()(A)(B)(C)(D)C.CLABD能力提升能力提升:2.直线直线 截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.圆心到直线距离圆心到直线距离 d=OABMxy得得AOB=2MOA=600能力提升能力提升1.已已知知圆圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及及直直线线l：x-y+3=0当当直直线线l被被C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=()(A)(B)(C)(D)C.CLABD能力提升能力提升:1 1、求直线求直线 被圆

10、被圆 截得的截得的弦长。弦长。检测：检测：方法小结方法小结求圆的弦长方法求圆的弦长方法（1 1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标，用两点间距离公式求交点坐标，用两点间距离公式应用提高应用提高用弦长公式用弦长公式韦达定理韦达定理（2）代数法：）代数法：1 1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做和三角形各边都相切的圆叫做三角三角形的内切圆形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条，内切圆的圆心是三角形三条角平角平分线的交点，分线的交点，叫做三角形的内心。叫做三角形的内心。2 2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等内心

11、到三角形三边的距离相等;OAB C内心与顶点连线平分内角。内心与顶点连线平分内角。OAB CD DEF点点O O是是ABCABC的内心的内心 OD=OE=OF=r OD=OE=OF=r AOAO平分平分BACBAC BO BO平分平分ABCABC CO CO平分平分ACBACB AE=AFAE=AF BD=BF BD=BF CD=CE CD=CE思考思考4:4:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0)为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2外一点，过点外一点，过点M M作圆作圆的两条切线，切点分别为的两条切线，切点分别为A A，B B，则直线，则直线ABAB的方程如何？的方程如何？M Mx xo oy yB BA Ax x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2