2008-2011年全国硕士分析研究生入学统一考试数学一真命题.doc

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1、#*2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数20( )ln(2)xf xt dt则( )fx的零点个数(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)函数( , )arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于(A)i(B)-i (C)j(D) j(3)在下列微分方程中,以123cos2sin2xyC eCxCx(12

2、3,C C C为任意常数)为通解的是(A)440yyyy(B)440yyyy(C)440yyyy(D)440yyyy(4)设函数( )f x在(,) 内单调有界, nx为数列,下列命题正确的是(A)若 nx收敛,则()nf x收敛 (B)若 nx单调,则()nf x收敛(C)若()nf x收敛,则 nx收敛(D)若()nf x单调,则 nx收敛(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若30A,则(A)EA不可逆,EA不可逆(B)EA不可逆,EA可逆(C)EA可逆,EA可逆 (D)EA可逆,EA不可逆 (6)设A为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程( , , )1xx y zyz A在正

3、交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3#*(7)设随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为 F x,则max,ZX Y分布函数为(A) 2Fx(B) F x F y(C) 211F x(D) 11F xF y(8)设随机变量0,1XN,1,4YN且相关系数1XY,则(A)211P YX (B)211P YX(C)211P YX (D)211P YX二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程0xyy满足条件 11y的解是y . (

4、10)曲线 sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.(11)已知幂级数02n n nax在0x 处收敛,在4x 处发散,则幂级数03n n nax的收敛域为.(12)设曲面是224zxy的上侧,则2xydydzxdzdxx dxdy.(13)设A为 2 阶矩阵,12, 为线性无关的 2 维列向量,12120,2AA,则A的非零特征值为.(14)设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布,则2P XEX.三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或

5、演算步骤.) (15)(本题满分 10 分)求极限40sinsin sinsinlim xxxxx.(16)(本题满分 10 分)计算曲线积分2sin221 Lxdxxydy,其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段.#*(17)(本题满分 10 分)已知曲线22220:35xyzCxyz,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.(18)(本题满分 10 分)设 f x是连续函数,(1)利用定义证明函数 0xF xf t dt可导,且 Fxf x.(2)当 f x是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 2002( )( )xG xf t dtxf t dt也是以 2 为周期的周期函数.

6、 (19)(本题满分 10 分) 21(0)f xxx ,用余弦级数展开,并求 12 11nnn的和.(20)(本题满分 11 分)TTA,T为的转置,T为的转置.证明:(1)( )2rA.(2)若, 线性相关,则( )2rA.(21)(本题满分 11 分)设矩阵2221 2 1 2n na aaaa A ,现矩阵A满足方程AXB,其中1,T nxxX,1,0,0B,(1)求证1nnaA.(2)a为何值,方程组有唯一解,求1x.(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分)设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为11,0,13P Xii ,Y的概率密度为 1010Y

7、yfy 其它,记ZXY,(1)求102P ZX.#*(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设12,nXXX是总体为2( ,)N 的简单随机样本.记11ni iXXn,2211()1ni iSXXn,221TXSn(1)证明T是2的无偏估计量.(2)当0,1时 ,求DT.#*2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.

8、)(1)当0x 时, sinf xxax与 2ln 1g xxbx等价无穷小,则(A)11,6ab (B)11,6ab(C)11,6ab (D)11,6ab (2)如图,正方形,1,1x yxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk ,coskk DIyxdxdy,则 14maxkkI (A)1I (B)2I(C)3I (D)4I(3)设函数 yf x在区间1,3上的图形为则函数 0xF xf t dt的图形为1( )f x-2023x-1O#*(A)( )f x023x1-2-11(B) ( )f x023x1-2-11(C)( )f x023x1-11(D)( )f x023x1-2

9、-11(4)设有两个数列 ,nnab,若lim0nna ,则#*(A)当1n nb收敛时,1nn na b收敛.(B)当1n nb发散时,1nn na b发散. (C)当1n nb收敛时,221nn na b收敛.(D)当1n nb发散时,221nn na b发散.(5)设123, 是 3 维向量空间3R的一组基,则由基12311,23到基122331, 的过渡矩阵为(A)101 220033 (B)120 023103 (C)111 246 111 246 111 246 (D)111 222 111 444 111 666 (6)设,AB均为 2 阶矩阵,*,A B分别为,AB的伴随矩阵,

10、若2,3AB,则分块矩阵OA BO 的伴随矩阵为(A)*32OBAO (B)*23OBAO (C)*32OABO (D)*23OABO (7)设随机变量X的分布函数为 10.30.72xF xx,其中 x为标准正态分布函数,则EX (A)0(B)0.3 (C)0.7(D)1 (8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为1012P YP Y,记 ZFz为随机变量ZXY的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为 (A)0(B)1 #*(C)2(D)3二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案

11、写在答题纸指定位置上.)(9)设函数,f u v具有二阶连续偏导数,zf x xy,则2zx y .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12exyCC x,则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y .(11)已知曲线2:02L yxx,则 Lxds .(12)设222, ,1x y z xyz ,则2z dxdydz.(13)若 3 维列向量, 满足2T ,其中T为的转置,则矩阵T的非零特征值为 .(14)设12,mXXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本,X和2S分别为样本均值和样本方差.若2XkS为2np的无偏估计量,则k .三、解答题三、解答

12、题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分)求二元函数22( , )2lnf x yxyyy的极值.(16)(本题满分 9 分)设na为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积,记1221 11,nn nnSa Sa ,求1S与2S的值.(17)(本题满分 11 分)椭球面1S是椭圆22 143xy绕x轴旋转而成,圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22 143xy相切的直线绕x轴旋转而成.(1)求1S及2S的方程.(2)

13、求1S与2S之间的立体体积.(18)(本题满分 11 分)#*(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x在, a b上连续,在( , )a b可导,则存在, a b,使得 f bf afba.(2)证明:若函数 f x在0x 处连续,在0,0内可导,且 0lim xfxA ,则 0f存在,且 0fA.(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分 3 2222xdydzydzdxzdxdyI xyz A,其中是曲面222224xyz的外侧. (20)(本题满分 11 分)设111111042 A,1112 (1)求满足21A的2.2 31A 的所有向量2,3.(2)对(1)中的任意向量2,3证明1

14、23, 无关.(21)(本题满分 11 分)设二次型222 1231231323,122f x x xaxaxaxx xx x.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为22 12yy,求a的值.(22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以, ,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求10p XZ.(2)求二维随机变量,X Y概率分布.(23)(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为2,0( )0,xxexf x 其他,其中参数(0) 未知,1X,2X,nX是来自总体X的

15、简单随机样本.(1)求参数的矩估计量.#*(2)求参数的最大似然估计量. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2 lim()()xxx xa xb =(A)1(B)e(C)ea b(D)eb a(2)设函数( , )zz x y由方程(, )0y zFx x确定,其中F为可微函数,且20,F 则zzxyxy=(A)

16、x(B)z (C)x(D)z (3)设,m n为正整数,则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性(A)仅与m取值有关(B)仅与n取值有关 (C)与,m n取值都有关(D)与,m n取值都无关(4)22 11lim()()nnxijn ni nj= #*(A)12001 (1)(1)xdxdyxy(B)1001 (1)(1)xdxdyxy(C)11001 (1)(1)dxdyxy(D)112001 (1)(1)dxdyxy(5)设A为m n型矩阵,B为n m型矩阵,若,ABE则(A)秩( ),mA秩( )mB(B)秩( ),mA秩( )nB (C)秩( ), nA秩( )mB(D)秩(

17、), nA秩( )nB(6)设A为 4 阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为 3,则A相似于(A)1 1 1 0 (B)1 1 1 0 (C)1 1 1 0 (D)1 1 1 0 (7)设随机变量X的分布函数( )F x 00 101,2 1 e2xxxx则1P X =(A)0(B)1 (C)11e2(D)11 e(8)设1( )f x为标准正态分布的概率密度2,( )fx为 1,3上均匀分布的概率密度,12( )( )af xbfx00xx(0,0)ab( )f x 为概率密度,则, a b应满足(A)234ab(B)324ab (C)1ab(D)2ab#*二、填空题二、填空题(9-14 小题

18、小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设20e ,ln(1),ttxyudu求22 0td y dx= .(10)20cosxxdy= .(11)已知曲线L的方程为1 1,1,yx x 起点是( 1,0),终点是(1,0),则曲线积分2Lxydxx dy= .(12)设22( , , )|1,x y zxyz 则的形心的竖坐标z= .(13)设123(1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1, ) ,TTT若由123, 形成的向量空间的维数是 2,则= .(14)设随机变量X概率分布为(0,1,2,),

19、!CP Xkkk则2EX= .三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分)求微分方程322 exyyyx的通解.(16)(本题满分 10 分)求函数221( )()extf xxtdt的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分)(1)比较10ln ln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n 的大小,说明理由.(2)记10ln ln(1)(1,2,),n nuttdt n求极限lim.n

20、xu (18)(本题满分 10 分)求幂级数1 21( 1) 21n nnxn 的收敛域及和函数.(19)(本题满分 10 分)设P为椭球面222:1S xyzyz上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹,C并计算曲面积分 22(3)2, 44xyzIdS yzyz 其中是椭球面S位于曲线C上方的部分. (20)(本题满分 11 分)#*设11010 ,1 ,111a Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解.(1)求, . a(2)求方程组Axb的通解. (21)(本题满分 11 分)设二次型123( ,)Tf x xxAxx在正交变换xy Q下的标准形为22 12,yy且Q

21、的第三列为22(,0,) .22T(1)求.A (2)证明AE为正定矩阵,其中E为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分)设二维随机变量()XY的概率密度为2222( , )e,xxy yf x yAxy 求常数及A条件概率密度|( | ).Y Xfy x(23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率分布为 X123P122其中(0,1)未知,以iN来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(1,2,3),i 试求常数123,a a a使31ii iTa N为的无偏估计量,并求T的方差.#*#*2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题

22、一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.)1、 曲线的拐点是（ ）432)4()3()2)(1(xxxxxyA （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0）2、设数列单调减少，且。无界，则幂级数的收 na0lim nna niinaS1nnnxa) 1(1敛域为（ ）A B C D 11（) 11)2020(3、 设函数具有二阶连续的导数，且.。则函数)(xf0)(xf0)0( f在点处

23、取得极小值的一个充分条件是（ ）)()(lnyfxfz )0 , 0(A B 0)0(1)0( ff0)0(1)0( ffC D 0)0(1)0( ff0)0(1)0( ff4、设 ，则 的大4 0sinln xdxI4 0cotln xdxJ4 0cosln xdxKKJI小关系是（ ）A B C D KJIJKIKIJIJK 5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第 3 行得到单位阵 E，记，则 A=（ ） 1000110011P 0101000012PA B C D 21PP21 1PP 12PP11 2PP6、设是 4 阶矩阵，为

24、A 的伴随矩阵。若是的一)(4321A*AT)0 , 1 , 0 , 1 (0Ax个基础解系，则的基础解系可为（ ）0*xA#*A B C D 31213214327、设为两个分布函数，且连续函数为相应的概率密度，则必)()(21xFxF)()(21xfxf为概率密度的是（ ）A B C D +)()(21xfxf)()(212xFxf)()(21xFxf)()(21xFxf)()(12xFxf8、设随机变量相互独立，且都存在，记，YX,EYEX,YXU,maxYXV,min则（ ）EUV A B C D EVEU EYEX EYEU EVEX 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 2

25、4 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。9、曲线的弧长为_)40(tan 0xtdtyx10、微分方程满足条件的解为_xeyyxcos0)0(y11、设函数，则dtttyxFxy 021sin),(_| 2022 yxxF12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为L122 yxyxzzz逆时针方向，则曲线积分_22 dzyxdyxzdx L13、若二次曲面的方程，经正交变换化为42223222yzxzaxyzyx，则42 22 1 yy_a14、设二维随机变量，则)0 ,(),(22NYX_)(2XYE三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应

26、写出文字 说明，证明过程或演算步骤。15、 （本题满分 10 分） 求极限110)1ln(limxexxx16、 （本题满分 9 分）设函数，其中具有二阶连续的偏导数，函数可导且在处取)(,(xygxyfz f)(xg1x得极值.求1) 1 (g 112 | yxyxz17、 （本题满分 10 分）求方程的不同实根的个数，其中为参数。0arctan xxkk 18、 （本题满分 10 分）#*证明：对任意的正整数，都有成立；nnnn1)11ln(11设，证明数列收敛.)2 , 1(ln1.211nnnan na19、 （本题满分 11 分）已知函数具有二阶连续的偏导数，且，),(yxfDadx

27、dyyxfxfyf),(, 0) 1 ,(), 1 (其中计算二重积分10 , 10| ),(yxyxD Dxydxdyyxfxy),(20、 （本题满分 11 分）设向量组，不能由向量组，T) 1 , 0 , 1 (1T) 1 , 1 , 0(2T)5 , 3 , 1 (3T) 1 , 1 , 1 (1，线性表示；T) 3 , 2 , 1 (2Ta), 4 , 3(3（1）求的值；a（2）将用线性表示；321,321,21、 （本题满分 11 分）A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 11001111-0011A求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵 A 22、 （本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为X01 P3132Y-101 P313131且122 YXP求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布；（2）的概率分布XYZ （3）X 与 Y 的相关系数XY23、 （本题满分 11 分）设是来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知.nXXX21,),(2 0N002#*为样本均值和样本方差.2,SX求（1）求参数的最大似然估计2 2(2) 计算 E和 D 2 2