2008-2011年全国硕士分析研究生入学统一考试.数学一真题.doc

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1、|2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数20()ln()xftd则 ()fx的零点个数(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函数 (,)arctnxfxy在点 (0,1)处的梯度等于(A)i (B)-i (C) j (D)j(3)在下列微分方程中,以 123cosin2xyCeCx( 123,为任意常数)为通解的是(A) 40y(B) 40yy(C) y(D) (4)设函数 ()fx在 ,)内单调有界, nx为数列,下

2、列命题正确的是(A)若 n收敛,则 (nf收敛 (B)若 nx单调,则 ()nfx收敛(C)若 ()fx收敛,则 x收敛 (D)若 ()f单调,则 收敛(5)设 A为 阶非零矩阵, E为 阶单位矩阵. 若 30A,则(A) E不可逆, 不可逆 (B) E不可逆, A可逆(C) 可逆, 可逆 (D) 可逆, 不可逆(6)设 为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,)1xyz在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A的正特征值个数为(A)0(B)1(C)2(D)3|(7)设随机变量 ,XY独立同分布且 X分布函数为 Fx,则 ma,ZXY分布函数为(A) 2Fx (B) y(C) 21 (D) 1

3、Fx(8)设随机变量 0,1XN, ,4Y且相关系数 XY,则(A) 2PY(B) 21P(C) (D) 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 .)(9)微分方程 0xy满足条件 1y的解是 y. (10)曲线 sinlx在点 0,处的切线方程为 .(11)已知幂级数 02nna在 处收敛,在 4x处发散 ,则幂级数03nnax的收敛域为 .(12)设曲面 是 24zxy的上侧,则 2xydzxdy.(13)设 A为 2 阶矩阵, 12,为线性无关的 2 维列向量, 12120,A,则的非零特征值为 .(14)设随机变量 X服从参数为 1 的泊

4、松分布,则 2PXE.三、解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 10 分)求极限 40sinsinlmxx.(16)(本题满分 10 分)计算曲线积分 2si1Lxdyd,其中 L是曲线 sinyx上从点 0,到点,0的一段.|(17)(本题满分 10 分)已知曲线220:35xyzC,求曲线 C距离 XOY面最远的点和最近的点.(18)(本题满分 10 分)设 fx是连续函数,(1)利用定义证明函数 0xFftd可导,且 Fxf.(2)当 fx是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 2002()()

5、xGtdft也是以 2 为周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分)21(0fxx,用余弦级数展开 ,并求 12n的和.(20)(本题满分 11 分)TA, T为 的转置, T为 的转置.证明:(1) 2r.(2)若 ,线性相关,则 ()2rA.(21)(本题满分 11 分)设矩阵221naa ,现矩阵 满足方程 AXB,其中1,TnxX, 1,0B ,(1)求证 nA.(2)a为何值 ,方程组有唯一解,求 1x.(3) 为何值 ,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X与 Y相互独立, X的概率分布为 1,03PXi,Y的概率密度为 10Yyfy其 它 ,

6、记 ZY,(1)求 2PZX.|(2)求 Z的概率密度 .(23)(本题满分 11 分) 设 1,nX 是总体为 2(,)N的简单随机样本.记 1ii, 221niiSX, 21TSn(1)证明 T是 2的无偏估计量.(2)当 0,时 ,求 DT.|2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当 0x时, sinfxax与 2ln1gbx等价无穷小,则(A) 16ab (B) 6a(C) ,(D) 1,(2)如图,正方形 ,1,xy被其

7、对角线划分为四个区域 234kD,coskIyxd,则 1makI(A) 1I (B) 2(C) 3I (D) 4(3)设函数 yfx在区间 1,3上的图形为则函数 0xFftd的图形为1()fx-2 0 2 3 x-1O|(A)()fx0 2 3 x1-2-11(B) ()fx0 2 3 x1-2-11(C)()fx0 2 3 x1-11(D)()fx0 2 3 x1-2-11(4)设有两个数列 ,nab,若 lim0na,则|(A)当 1nb收敛时, 1nab收敛. (B)当 1nb发散时, 1nab发散. (C)当 1n收敛时, 21n收敛. (D)当 1n发散时, 21n发散.(5)设

8、 23,是 3 维向量空间 3R的一组基,则由基 23,到基121的过渡矩阵为(A)03(B)1023(C)12461246(D)1416(6)设 ,AB均为 2 阶矩阵, *,AB分别为 ,的伴随矩阵 ,若 2,3AB,则分块矩阵 O的伴随矩阵为(A)*32A(B)*23OA(C)*OB(D)*B(7)设随机变量 X的分布函数为 10.3.72xFx,其中 x为标准正态分布函数,则 E(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 (8)设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从标准正态分布 0,1N,Y的概率分布为102PY,记 ZFz为随机变量 Z的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为(

9、A)0 (B)1 |(C)2 (D)3二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 .)(9)设函数 fuv具有二阶连续偏导数 , ,zfxy,则2z.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程 0yab的通解为 12exyC,则非齐次方程 yabx满足条件 02,的解为 .(11)已知曲线 2:L,则 Lxds .(12)设 2,1xyzz,则 2zy .(13)若 3 维列向量 ,满足 T,其中 T为 的转置,则矩阵 T的非零特征值为 .(14)设 12,mX 为来自二项分布总体 Bnp的简单随机样本, X和 2S分别为样本均值和样本方差.若 2kS为

10、np的无偏估计量,则 k .三、解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 9 分)求二元函数 2(,lnfxyy的极值.(16)(本题满分 9 分)设 na为曲线 n与 1,.n所围成区域的面积 ,记121,nnS,求 S与 2的值.(17)(本题满分 11 分)椭球面 1是椭圆243xy绕 x轴旋转而成,圆锥面 2S是过点 4,0且与椭圆243xy相切的直线绕 轴旋转而成.(1)求 1S及 2的方程.(2)求 与 之间的立体体积.(18)(本题满分 11 分)|(1)证明拉格朗日中值定理: 若函数 fx

11、在 ,ab上连续,在 (,)ab可导,则存在,ab,使得 fa.(2)证明:若函数 x在 0处连续,在 ,0内可导,且 0limxfA,则0f存在,且 fA.(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分 322xdyzxzdyI,其中 是曲面 224xyz的外侧.(20)(本题满分 11 分)设1042A, 1(1)求满足 1的 . 31A的所有向量 2, 3.(2)对(1)中的任意向量 2, 证明 23,无关.(21)(本题满分 11 分)设二次型 2212313123,fxaxxx.(1)求二次型 的矩阵的所有特征值 ;(2)若二次型 f的规范形为 21y,求 的值.(22)(本题满分 11

12、 分)袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求 0p.(2)求二维随机变量 ,XY概率分布 .(23)(本题满分 11 分)设总体 的概率密度为2,0()xefx其 他,其中参数 (0)未知, 1X, 2,nX是来自总体 的简单随机样本 .(1)求参数 的矩估计量.|(2)求参数 的最大似然估计量. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim()xxab=(A)1 (B) e(C) eab (D) ba (2)设函数 (,)zxy由方程 (,)0yzFx确定,其中 F为可微函数,且 20,F则zxy=(A) (B) z(C) (D) (3)设 ,mn为正整数,则反常积分210ln()mxd的收敛性(A)仅与 取值有关 (B)仅与 n取值有关(C)与 ,取值都有关 (D)与 ,m取值都无关(4) 21li()nxjij=