浙江大学概率论与数理统计复习题.docx

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1、武汉大学遥感信息学院函授概率论与数理统计复习题一.随机事件与概率11 .五卷文集按任意次序排列到书架上，那么第一卷及第五卷分别在两端的概率为()102 .假设ZuB,那么八 B是(8).事件A、B、C至少有一个不发生可表示为 (耳 B C )3 .设 A 8 为两个独立事件，P(A) = 07 , 0 P(B) 4) = 0.181 8.设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男 人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。解(”抽至人管人匕口讨到手一7为盲强那么P A = , P BA =,P A = ,=5100 205 H 100

2、00 400于是，由全概率公式，有31Toob31ToobMb）= F（A）F（BA）+ 心）用/）= 3 12 115 20 5 4009. (1)尸(Z) = 0.5,尸(切=0.6,尸(8|4) = 0.8,求尸(VuB).(2)门(N)=0.4, 尸(8) = 65,尸(4冏 =0.8,求尸(川B)。解 (1)利用加法公式、乘法公式计算事件概率P(AB) = P(B | A)- P(Z) = 0.4 , P(Au B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7 o(2)易知尸= 0.6, P(B) = 0.5,由P(AB) = P(B)尸(/1|8) = 0.4=尸(八)P(A8

3、), 可得?(28) = 02,从而P(AB) 0.2P(A B)=0.4。P(B) 0.510.某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报， 5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求：(1)只读甲报所占比例；(2)至少读一种报纸所占比例。解设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：ABC 由条件，有尸(4)=0.25, P(B)=0.20,尸(C)=0.16, P(AB) =0.10 , P(AC)= 0.05 , P(BC) = 0.04, P(ABC) = 0.02 ,从而有(1)尸(ABC) = P(Z(B-C) = P(A)-P(A(B

4、C)=P(A) - p(AB AC)= P(A)-LP(AB) + 尸(AC) - P(ABC)=0.25-(0.10 + 0.05 - 0.02)= 0.12(2) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) =0.25 + 0.20 + 0.16-(0.1 + 0.05 + 0.04)+ 0.02 = 0.44 .二.一维随机变量fl （1 + x）e-x1.设随机变量X的分布函数为尸（X）= 0x0,求尸XW1。(1 _ 2e-i )0 x1其它求A。f Ax.随机变量X的密度为f（X）= I 0，由Jr

5、f(x)dx=JiAxdx=-0002可得，=2。2 .随机变量X的概率密度为/(%) =不获求。(1)。其它不3 .假设 X N(2,o 2),且 p2X4=0.3 ,求 P%00解 0.3= P(2 X 4= 42 22V 2 0.5 kJI-J故 o42o.8, px 0求随机变量y = 2x + i的概率密度。解设 y = 2犬 + 1,那么 y = 2 0,(y-1、11 _日于(小团二-)* 2y _ 反函数x =，于是丫 = 2x +1概率密度为:21 _)T1,故 /。)= 一，2y-1 oy 1 y 0 y 16设随机变量X在口,4上服从均匀分布,6设随机变量X在口,4上服从

6、均匀分布,现在对X进行3次独立试验，那么至少有2次观察值大于2的概率为多少？fl 1 x4解X的概率密度为：其他察值大于2的概率为多少？fl 1 x2=141dx=设3次独立试验观察值大于2的次数为丫,(2丫 13PX2 = C2 _ x_+C3| _43 J 331 口23 (力 那么y月3,),i20_ O27从而：7.设随机变量X N(2,o2),且P(2X 4) = 0.3,求P(X0)。解根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有P( X 0) = P( X 2) - P(0 X 2)=0.5-P(2X4) = 0.5 P(2 X 4)=0.5 0.3 = 0.28如果函数/(x)

7、 = Ael, -oox0 , y0其它（1）确定常数k ； （2）求2刀2）。41解(1) 1 =_ k+co e-xdx!+ao e-ydyJ ,故 k = 1；(2) Rtv2,r| 2oJI-oo002 e-xdx!2e-ydy = (1- e-2 )2 o,、 fl 0 x1,0 y 12.设随机变量（x,y）的密度函数为/（兀y）=，其他PX0.5,y0.6。解 RX0.5,y 0,r| 2 0)= 1 -2仁 0) Pg 0) + 叁 0, r| 0)=1 b(o,+oo)尸(+8,o)+尸(o,o)=i = g2 2 32 324.两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别

8、为Ln ,其分布函数均为1-二1000 ,x0求系统的寿命短于1000小时的概率。解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为，p = p仁 1 ooo) + p(r| 1 ooo) - p(g 1 ooo ,n 1 4、从而 E(X + e-2x) =1 + _ =。3 33设随机变量X利iy的相关系数为05 EX=EY = 0 ,欧2=片丫2 = 2 ,求矶X + y) 2。 解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为石(X+ y)2=EX2+2E(Xr) +E/2=4 + 2(COV(X,y)+EX - EK)=4 + 2p Jdx - 4DY = 4 + 2x0.5

9、x2 = 6A1说明：此题的核心是逆向思维，利用公式(xy)= cov(x,y)+ xy。4设两个相互独立的随机变量X和y的方差分别为6和3,求随机变量2 X-3Y的方差。 解由方差的性质，得。(2X3Y) = 4OX+9OY = 24 + 27 = 51。0 x 1解 随机变量X的概率密度为：/(x) = ?(x)=Qx16解e(x y)= o,关键要求x y的方差。D(X- Y)=C0V(X-Y,X- Y)=E cov(x,y)= pjz)xxz)y =o.5jixz O(X-y) = 1-2 + 4 = 3 , 于是尸 ?xy|2 66解e(x y)= o,关键要求x y的方差。D(X-

10、 Y)=C0V(X-Y,X- Y)=E cov(x,y)= pjz)xxz)y =o.5jixz O(X-y) = 1-2 + 4 = 3 , 于是尸 ?xy|2 6 90。n n1,其中。一1,求。的极大似1,其中。一1,求。的极大似5 .设总体X的概率密度为：/(%)=% 0 A 0的极声似然估计。一%乙X6 .设X服从参数为2的指数分布(p (2) -Xe,，不是来自总体X的样本，求力 12n解：似然函数为L(x,x , 12令色 = ：Z%dX 2Z=1=0 得2=1=11n1r x. 5li=i=，于是In L = In 2 - aZx人1/=1，因此，Z= _为义的极大似然估计。x