[函数单调性与奇偶性] 单调性和奇偶性练习.docx

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1、函数单调性与奇偶性 单调性和奇偶性练习教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,驾驭有关证明和推断的基本方法.(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度相识单调性和奇偶性. (3)能借助图象推断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义推断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证实力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育学生的视察,归纳,抽象的实力,同时渗透数形结合,从特别到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论探讨,增学生对数学美的体验

2、,培育乐于求索的精神,形成科学,严谨的探讨看法.教学建议一、学问结构（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与相识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,驾驭单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观视察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用精确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到

3、抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的实力是比较弱的,很多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟识的一次函数,二次函数.反比例函数图象动身,回忆图象的增减性,从这点感性相识动身,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来说明,引导学生发觉自变量与函数值的的改变规律,再把这种规律用数学语言

4、表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,随意,都有)的理解与必要性的相识就可以融入其中,将概念的形成与相识结合起来.（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生根据步骤去做,就必需让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特殊是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 的图象为例,让自变量互为相反数,视察对应的函数值的改变规律,先从详细数值 起先,渐渐让 在数轴上动起来,视察随意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经验了这样的过程,再得到等式 时,就

5、比较简单体会它代表的是多数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发觉定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.函数的奇偶性教学设计方案教学目标1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义推断简洁函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培育学生的视察,归纳实力,同时渗透数形结合和特别到一般的思想方法.3.在学生感受数学美的同时,激发学习的爱好,培育学生乐于求索的精神.教学重点,难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的推断难点是对概念的相识教学用具投影仪,计算机教学方法引导发

6、觉法教学过程一. 引入新课前面我们已经探讨了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量改变而改变的性质,今日我们接着探讨函数的另一特性质.从什么角度呢?将从对称的角度来探讨函数的性质.对称我们大家都很熟识,在生活中有许多对称,在数学中也能发觉许多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特殊是函数中有没有对称问题呢?(学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时老师可以引导学生把函数详细化,如 和 等.)结合图象提出这些对称是我们在初中探讨的关于 轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾探讨过关于 轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个

7、函数图象关于 轴对称的吗?学生经过思索,能找出缘由,由于函数是映射,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不行能关于 轴对称.最终提出我们今日将重点探讨图象关于 轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.二. 讲解新课2.函数的奇偶性(板书)老师从刚才的图象中选出 ,用计算机打出,指出这是关于 轴对称的图象,然后问学生初中是怎样推断图象关于 轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时老师明确提出探讨方向:今日我们将从数值角度探讨图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生起先可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.老师可引

8、导学生先把它们详细化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的运用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来视察,发觉结论,这样的 是不存在的)从这个结论中就可以发觉对定义域内随意一个 ,都有 成立.最终让学生用完整的语言给出定义,不精确的地方老师予以提示或调整.(1) 偶函数的定义:假如对于函数 的定义域内随意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步相识)提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象

9、让学生视察探讨)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给稀奇函数的定义.(2) 奇函数的定义: 假如对于函数 的定义域内随意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)(由于在定义形成时已经有了肯定的相识,故可以先作推断,在推断中再加深相识)例1. 推断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ;(3) ; ;(5) ; (6) .(要求学生口答,选出1-2个题说过程)解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数.(3) , 是偶函数.前三个题做完,老师做一次小结,推断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满足,因为题目要求是推断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第

10、(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思索可以解决问题，指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次相识到定义中随意性的重要)从(4)题起先,学生的答案会有不同,可以让学生先探讨,老师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受随意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于随意性被破坏,所以它不能是奇偶性.老师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发觉在推断中须要留意些什么?(若学生发觉不了定义域的特征,老师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发觉定义

11、域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)协助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由学生小结推断奇偶性的步骤之后,老师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思索,可找到函数 .然后接着提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生来完成)证明:

12、 既是奇函数也是偶函数, = ,且 , = . ,即 .证后,老师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生起先可能认为只有一个,经老师提示可发觉, 只是解析式的特征,若变更函数的定义域,如 , , , ,它们明显是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)例3. 推断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ; (3) .由学生回答,不完整之处老师补充.解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数.(2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数.(3)

13、当 时, 于是 ,当 时, ,于是 = ,综上 是奇函数.老师小结 (1)(2)留意分类探讨的运用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必需 均有 成立,二者缺一不行.三. 小结1. 奇偶性的概念2. 推断中留意的问题四. 作业 略五. 板书设计2.函数的奇偶性例1. 例3.(1) 偶函数定义(2) 奇函数定义(3) 定义域关于原点对称是函数 例2. 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类探究活动(1) 定义域为 的随意函数 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?(2) 推断函数 在 上的单调性,并加以证明.在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:设 为三角形的三条边,求证: .