立体几何——2023届高考数学一轮复习学案.docx

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1、高考数学一轮复习立体几何立体几何目录【知识点讲解】2【例题讲解】一、 表面积10二、 体积10三、 外接球12四、 内切球12五、 截面问题13六、 轨迹问题17七、 动态问题19八、 翻折问题20九、 立体几何大题角度21十、 立体几何大题求长度24十一、 立体几何大题求体积26十二、 立体几何大题求距离28【对点训练】 选填题29 大题40【参考答案】-55【知识点讲解】一、空间几何体的结构特征、表面积与体积1.简单几何体（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形（2）

2、旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球1图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图（1）画法：常用斜二测画法。（2）规则原图形中，x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45 （或135 ），z 轴与x 轴和y 轴所在平面垂直。原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴。平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧= 2 r

3、l S圆锥侧= rl S圆台侧= r+rl 4.柱、锥、台、球的表面积和体积表面积体积柱体棱柱S棱柱=S侧+2S底 V棱柱=S底 圆柱S圆柱=2 rr+l V圆柱=r2 锥体棱锥S棱锥=S侧+S底 V棱锥=13S底 圆锥S圆锥=rr+l V圆锥=13r2 台体棱台S棱台=S侧+S上+S下 V棱台=13S上+S下+S上S下 圆台S圆台=r2+r2+rl+rl V圆台=13r2+rr+r2 球S球= 4 R2 V球= 43R3 二、空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本事实与推论基本事实：基本事实1 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。基本事实2 :如果一条直线上的两个点在一个平面

4、内，那么这条直线在这个平面内。基本事实3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。推论：推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2 :经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3 :经过两条平行直线，有且只有一个平面。2.空间两直线的位置关系3异面直线所成的角设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围为4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况。（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况。三、直线、平面平

5、行的判定与性质1.直线与直线平行（1）基本事实4 :平行于同一条直线的两条直线平行。（2）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2.直线与平面平行（1）直线和平面平行的判定定理定义：若直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行；判定定理:a ,b ，且a/ba/ ；其他判定方法：/ ，aa/ 。（2）直线和平面平行的性质定理a/ ，a ，=la/l 。3.平面与平面平行（1）两个平面平行的判定定理定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；推论：若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面

6、内的两条相交直线，则这两个平面平行。（2）两个平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。补充：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ，a ，则/ 。（2）平行于同一平面的两个平面平行，即若/ ，/ ，则/ 。（3）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面（4）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等四、直线、平面垂直的判定与性质1.直线与直线垂直（1）异面直线所成的角设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 分别作直线a/a ，b/b ，把直线a 与b 所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）范围是(0,2 。（2）如

7、果两条异面直线所成的角是直角，那么说这两条异面直线互相垂直。2.直线与平面垂直（1）定义如果直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面 互相垂直，记作l ，直线l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l 的垂面。（2）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。范围是0,2 。4.

8、平面与平面垂直（1）二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。二面角的范围：0, 。（2）平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l补充：（1）若两条平行线中的一条垂直于

9、一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）垂直于同一条直线的两个平面平行（3）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面五、空间向量及空间位置关系1.空间向量及其有关概念（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。（2）相等向量：方向相同且模相等的向量。（3）共线向量：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。（4）共面向量：平行于同一个平面的向量。2.空间向量中的有关定理（1）共线向量定理:对任意两个空间向量a ,bb0 ，a/b 存在唯一一个实数 ,使a =b 。（2）共面向量定理:若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ,b 共面

10、存在唯一的有序实数对x,y ,使p =xa+yb 。（3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组x,y,z ，使得p =xa+yb+zc 。3.两个向量的数量积非零向量a ,b 的数量积ab=abcos 。4.空间向量及其运算的坐标表示设a=a1,a2,a3 ,b=b1,b2,b3 ,向量表示坐标表示加法a+b a1+b1,a2+b2,a3+b3 减法ab a1b1,a2b2,a3b3 数乘a a1,a2,a3 数量积ab a1b1+a2b2+a3b3 共线a=bb0 a1=b1 ,a2=b2 ,a3=b3 垂直ab=0 （a0

11、，b0 ）a1b1+a2b2+a3b3=0 模a a12+a22+a32 夹角a,b （a0 ，b0 ）cosa,b=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 5、应用（1）求点到直线的距离如图，直线l 的单位方向向量为u ，向量AP 在直线l 上的投影向量为AQ ，则APQ 是直角三角形。设向量AP=a ，点P 到直线l 的距离为PQ=AP2AQ2= a2au2 。（2）求点到平面的距离如图，已知平面 的法向量为n ，A 是平面 内的定点，P 是平面 外一点。过点P 作平面 的垂线l ，交平面 于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面 的距离就是A

12、P 在直线l 上的投影QP 的长度。因此PQ= APnn 。（3）求线面距离已知直线a 上一点Bx0,y0,z0 ，平面 内一点Ax1,y1,z1 ，平面 的一个法向量n ，且a/ ，则直线a 到平面 的距离为d=BAnn 。（4）求面面距离已知平面 内一点Ax1,y1,z1 ，平面 内一点Bx0,y0,z0 ，平面 （或平面 ）的一个法向量n ，则平行平面 , 间的距离为d=ABnn 。（5）求两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,其夹角为 ,则cos=cos= abab （其中 为异面直线a ,b 所成的角）。（6）求直线和平面所成角的求法如图所示，设

13、直线l 的方向向量为e ,平面 的法向量为n ,直线l 与平面 所成的角为 ，向量e 与n 的夹角为 ，则有sin=cos= nene 。（7）求二面角的大小二面角l为或设二面角大小为，则|cos |cos 补充：最小角定理如图，若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，1为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么cos cos 1cos 2【例题讲解】一、 表面积例1已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，则该四棱锥的表面积是AB CD【答案】D【解析】依题意，正四棱锥的高底面，且，知为等腰直角三角形，则侧

14、棱，且，则底面正方形的对角线，得正方形的边长，从而知正四棱锥的个侧面均是边长为的正三角形；所以底面积为 ；侧面积为 故正四棱锥的表面积为故选D二、 体积例2已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为A B C D【答案】D【解析】如图所示：易知平面时，截面面积最小设外接球的半径为，截面面积最小时截面圆的半径为，外接圆的圆心为，则，所以由，解得，则，解得又正四面体的高为，所以正四面体的体积，故选D例3运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等

15、，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于AB CD【答案】B【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为时，小圆锥的底面半径为，则，故截面面积为，把代入椭圆可得，橄榄球形几何体的截面面积为，由祖暅原理可得橄榄球

16、形几何体的体积故选B三、 外接球例4在三棱锥中，侧棱，两两垂直，、的面积分别为1、3，则三棱锥的外接球的表面积为AB CD【答案】A【解析】三棱锥中，侧棱、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径，设长方体的三度为，由题意得，解得，所以球的直径为，它的半径为，球的表面积为；故选A四、 内切球例5已知四面体中， ，平面PBC，则四面体的内切球半径与外接球半径的比AB CD【答案】C【解析】由已知及勾股定理得，为等边三角形，为等腰三角形，且易得底边的高为5所以，表面积，设内切球半径为，所以，；如图，取的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，由，因此外接球半径故内切球半

17、径与外接球半径的比为故选C五、 截面问题例6.（多选）如图，在长方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有A B三棱锥的体积为C若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面D平面截该长方体所得的截面为五边形【答案】BCD【解析】连接DE， ，如图所示，因为E为AB的中点，所以EB=BC=2，所以，同理，又DC=4，所以，即，因为底面ABCD，底面ABCD，所以，所以平面，即，又，即与不平行，所以CE不垂直，故A错误；由等体积法可得三棱锥的体积，故B正确；作出P，使，取中点G，则P为中点，连接FP，CP，因为F，P分别为，中点，所以，又，且，所以，所以，所以E、C、P、F四点共面，故C

18、正确；由选项C可得E、C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，作，交于H ，如图所示：所以E、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，所以E、C、P、F、H在同一平面内，所以平面截该长方体所得的截面为五边形，故D正确故选BCD例7（多选）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱，上的动点(点不与点，重合)，若，则下列说法正确的是A存在点，使得点到平面的距离为B用过，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C平面D用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【解析】A连接，如图所示：因为，所以易知，且平面平面，又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱

19、锥为正四面体，所以到平面的距离为，因为平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，同理可得，且，所以平面，因为，所以到平面的距离，且，故正确；B如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接并将其延长与相交于，因为，且，则，所以，所以即为，连接，所以过，的截面为四边形，由条件可知，且，所以四边形为梯形，故正确；C连接，由A可知平面平面，因为平面，平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故错误；D在上取点，过点作交于，过作交于，以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，根据题意可知平面平面，不妨设，所以，所以，所以六边形的周长为，故正确；故选ABD六、 轨迹问题例8在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则

20、以下结论正确的为AB平面与正方体的交点轨迹长度为C平面D正方体外接球表面积为【答案】C【解析】，故A选项错误；、分别为棱、的中点，正方体，故平面与正方体的交点为、，；平面与正方体的交点轨迹长度，故B选项错误；、为和的中点，又面，面，面，故C选项正确；正方体的外接球半径为，则其表面积为，故D选项错误故选C例9在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与正方体外接球的交点轨迹长度为AB CD【答案】C【解析】如图所示，连接，取的中点，的中点，的中点，连接，其中为正方体的中心，作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形且为的中点，为的中点，可得，因为，且平面，所以平面，因为面，所以，又

21、由，且平面，所以平面，因为面和面是同一面，所以平面，在直角中，可得，所以，因为，在中，可得，由平面截球的轨迹为圆，其中是截面圆的圆心，为球心，因为正方体的棱长为，所以外接球的半径，根据截面圆的性质，可得，所以截面的周长为故选C七、 动态问题例10（多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是AA1C平面B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为D用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】连接因为，所以，所以又平面，平面，所

22、以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面易证平面，所以平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得平面，B不正确因为，点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面为梯形，D正确，故选ACD.八、翻折问题例11（多选）在直角梯形中，点为直线上一点，且，将该直角梯形沿折叠成三棱锥，则下列说法正确的是（ ）A存在位置，使得B在折叠的过程中，始终有C三棱锥体积最大值为D当三棱锥体积最大时，【答案】BCD【解析】如图所示，从翻折过程中，点在平面内射影始终

23、落在直线上，假设存在位置，使得，又平面所以，所以平面，因此，与题意不符，选项A错误；因为四边形为菱形，所以，又，所以平面，所以，故B选项正确；当平面平面时，三棱锥体积最大，此时的体积为，故C选项正确；当三棱锥体积最大时，在上的投影为，则，在中，由余弦定理得，所以故选BCD九、立体几何大题角度例12如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接交于点，连接，则为中点，为的中点，所以，平面平面，所以平面； （2）设菱形的边长为， ，则取中点，连接以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，

24、建立如图所示坐标系 ， ，设平面的法向量为，由，得，令，则，平面的一个法向量为，即二面角的余弦值为例13直三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，是中点（1）求证：平面平面；（2）若三棱锥体积为，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，所以，在直三棱柱中，由平面可得，又，所以平面，所以，因为，所以平面，由平面可得平面平面；（2）由题意，解得，以为原点，分别为轴建立直角坐标系，如图，则，设面的一个法向量为，则，取，设面的一个法向量为，则，取，所以，所以二面角的正弦值十、立体几何大题求长度例14如图，平面，点分别为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3

25、）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】（1）连接，因为，所以，因为，所以为平行四边形由点和分别为和的中点，可得且，因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，所以（2）因为，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系依题意可得，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，于是所以，二面角的正弦值为（3）设，即，则从而由（2）知平面的法向量为，由题意，即，整理得，解得或，因为所以，所以十一、立体几何大题求体积例15如图所示，中，四棱锥是由沿其中位线翻折而成，其

26、中为锐角，（1）证明：平面；（2）若，二面角的大小为，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接交与点，连接因为翻折前，为的中位线，所以，且，翻折后，平行关系不变，因此，所以，所以，又平面，平面平面（2）因为中，沿中位线翻折，垂直关系不变，即，因此，以为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，竖直方向为轴建立空间直角坐标系记在底面的投影为，且设则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，所以；设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，即则，化简得，则，则，或（舍），即，则，又四边形的面积为，故十二、 立体几何大题 求距离例16如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点

27、，是与的交点，是与的交点.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求直线与平面的距离.例17已知三棱柱的侧棱垂直于底面，分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.【答案】1(3) 2(2). 【对点训练】一、单选题1已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（）AB2CD42三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、两两垂直，且，则该球的表面积为（）ABCD3若底面边长为，高为的正四棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD4已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD5在正方体

28、中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为ABCD6已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为ABCD7如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线8设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面9若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）ABCD10在如图（1）所示的四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面，水平放置的侧面的斜二测直观图如图（2）所示，已知，则四棱锥的侧面积是（）

29、ABCD11如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（）A该八面体的体积为B该八面体的外接球的表面积为C到平面的距离为D与所成角为二、多选题12已知，是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则13如图，点，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（）ABCD14下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）ABCD15如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（）ABCD16已知菱形ABCD中，BAD=60，AC与BD相交于点O将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在

30、折起的过程中，下列结论正确的是（）ABDCMB存在一个位置，使CDM为等边三角形CDM与BC不可能垂直D直线DM与平面BCD所成的角的最大值为6017为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确的是（）A经过三个顶点的球的截面圆的面积为B异面直线与所成的角的余弦值为C直线与平面所成的角为D球离球托底面的最小距离为18已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A若，则满足条件的点有且只有一

31、个B若，则点的轨迹是一段圆弧C若平面，则长的最小值为2D若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为19如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥，的体积分别为，则（）ABCD20已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（）A点到平面的距离为B直线与平面所成角的余弦值为C若、分别是、的中点，直线平面，则D为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值21已知正方体，为对角线上一点（不与点，重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（）A只可能为三角形或六边形B直线与直线BD所成的角为C当且仅当为对角线中点时，的周长最大D当且仅当为对角线中点时，的面积最

32、大22在棱长为的正方体中，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（）A点到平面的距离B三棱锥的体积C直线与平面所成的角D二面角的大小23棱长为2的正方体中，是线段上的动点，下列正确的是（）A的最大值为90BC三棱锥的体积为定值D的最小值为424已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）A直线与平面所成角的正弦值范围为B点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D已知为中点，当的和最小时，为的中点25如图，在平行四边形中，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列

33、说法正确的有（）A平面平面B三棱锥四个面都是直角三角形C与所成角的余弦值为D过的平面与交于，则面积的最小值为26如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（）A无论点在线段上如何移动，都有B四面体的体积为24C直线与所成角的余弦值为D直线与平面所成最大角的余弦值为27正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（）A侧面上存在点F，使得B直线与直线所成角可能为C平面与平面所成锐二面角的正切值为D设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为28已知直三棱柱中，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（）A

34、当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B无论点在上怎么运动，都有C当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是3029如图，正方体的棱长为1，E是的中点，F是侧面上的动点，且平面，下列说法正确的是（）AF是轨迹长度为B与是异面直线C三棱锥的外接球表面积的最大值为D过A作平面与平面平行，则正方体在内的正投影为正六边形30如图，四棱柱底面是边长为1的正方形，点是直线上一动点，下列说法正确的是（）A若棱柱是直棱柱，其外接球半径为2，则；B若棱柱是正方体，分别为棱，中点，则四棱锥的体积为；C不论取何值，一定存在点使得直线平面；D若直线，与平面所成角分

35、别是，则.31如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为32在棱长为1的正方体中，点满足，则以下说法正确的是（）A当时，平面B当时，存在唯一点使得与直线的夹角为C当时，长度的最小值为D当时，与平面所成的角不可能为三、填空题33将边长为2的正水平放置后，利用斜二测画法得其直观图，则的面积为_.34在三棱锥中，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是_.35已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为_36设有下列四个命题：p1：两两相交且

36、不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_.四、解答题37如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积38如图，在三棱柱ABC中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交39如图：在正方体中，为中点，与平面交于点（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为

37、，求的值40（2017新课标全国理科）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.41如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由42如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC

38、，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值43图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的二面角BCGA的大小.44如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值45如图，在三

39、棱锥中，平面平面，若为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.46如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 47如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值48已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?49如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离50如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.