含参变量正常积分.ppt

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1、第十九章含参量积分第十九章含参量积分1 1 含参量正常积分含参量正常积分2 2 含参量反常积分含参量反常积分3 3 欧拉积分欧拉积分上的连续函数上的连续函数,确定了一个定义在确定了一个定义在a,b上的函数上的函数,x 称为参变量称为参变量,上式称为含参变量的积分上式称为含参变量的积分.则积分则积分 1 1 含参量正常积分含参量正常积分一般地，设一般地，设 f(x,y)为区域为区域上的二元函数上的二元函数,c(x),d(x)在在 a,b 连续，定连续，定义义含参量的积分含参量的积分下面讨论含参量积分的连续性、下面讨论含参量积分的连续性、可微性和可积性可微性和可积性.在在a,b上连续上连续.上连续

2、上连续,则函数则函数若若 在矩形区域在矩形区域 连续性定理连续性定理分析分析对任何对任何 x a,b,要证要证：就有就有 即即定理定理19.1 (连续性连续性)(积分号下取极限积分号下取极限)证证设设 x,x+x a,b,在闭区域在闭区域 R 上连续上连续,所以一致连续所以一致连续,由于由于即即只要只要就有就有就有就有 所以，所以，这说明这说明连续连续同理可证同理可证,续续,则含参变量的积分则含参变量的积分即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序是可交换的，或说可在积分号下取极限是可交换的，或说可在积分号下取极限.上连续上连续,则则若若 定理定理19

3、.1 19.1 表明表明,在矩形区域在矩形区域 在在a,b上连续上连续.定理定理19.219.2（连续性）（连续性）如果函数如果函数 在区域在区域上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，则函数则函数在在 a,b 上连续上连续.证证对积分用换元积分法，令对积分用换元积分法，令于是于是从而从而因为因为在矩形在矩形 a,b 0,1 上连续，由定理上连续，由定理 19.1得得在在 a,b 上连续上连续都在都在可微性定理可微性定理定理定理19.3(19.3(可微性可微性)（积分号下求导数（积分号下求导数)分析分析:要证要证 即即使得当使得当时，有时，有对任意的对任意的由拉格朗日

4、中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在使得使得证证:所以所以因此因此从而一致连续，即从而一致连续，即只要只要，有，有因此因此故故 I(x)在在 x 可导，且可导，且由由 x 的任意性，及定理的任意性，及定理 19.1知知I(x)在在 a,b有连续的导函数有连续的导函数.在定理的条件下在定理的条件下,求导和求积分可交换次序求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数也说可在积分号下求导数定理定理19.419.4（可微性）（可微性）如果函数如果函数在矩形在矩形上连续，上连续，在在 a,b 上可微，且上可微，且证证:把把 F(x)看作复合函数：看作复合函数：由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法

5、则，有由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有 定理定理19.5 (19.5 (可积性可积性)在在a,b上可积上可积.上连续上连续,则函数则函数若若 在矩形区域在矩形区域 在在c,d上可积上可积.可积性定理可积性定理记记统称为累次积分或二次积分统称为累次积分或二次积分.问：问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有累次积分与积分顺序有关吗？即是否有上连续上连续,则则若若 在矩形区域在矩形区域 定理定理19.6 19.6（积分交换顺序）（积分交换顺序）其中其中 证证 记记 于是于是 所以所以 从而从而 (k 为常数为常数)当当 u=a 时时，于是，于是，k=0 即得即得 取取 u=b,就得就得

6、 例例1 1求求解：解：记记因为因为都是都是的连续函数的连续函数所以所以在在连续，从而连续，从而例例2.2.解解:考虑含参变量考虑含参变量 t 的积分所确定的函数的积分所确定的函数显然显然,于是由定理于是由定理19.3故故因此得因此得例例3.验证当验证当|x|充分小时充分小时,函数函数的的 n 阶导数存在阶导数存在,且且证证:令令 在原点的某个闭矩形邻域内连续在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理由定理19.4 可得可得即即同理同理当当 x=0 时，有时，有例例4.4.解解:由被积函数的特点想到积分由被积函数的特点想到积分:例例5.5.解解:内容小结内容小结在在a,b上连续、可积上连续、可积.若若 上连续上连续,则函数则函数在矩形区域在矩形区域 在在c,d上连续、可积上连续、可积.且且上连续上连续,则函数则函数在矩形区域在矩形区域 若若 在在a,b上可微，且上可微，且.上连续上连续,则函数则函数在矩形区域在矩形区域 若若 在在c,d上可微，且上可微，且.