《含参变量的积分》PPT课件.ppt

《《含参变量的积分》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《含参变量的积分》PPT课件.ppt（48页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、前面：讨论过函数项级数 用来表示和研究一些 非初等函数（复杂函数）：当把求和看成连续量求和时就是本章内容。第十九章 含参变量的积分学习方法：强调与Ch12 对应。1 含参变量的正常积分在a,b 连续定理 在 上连续，则 若 等价于等价于：而 即积分运算与极限运算可以交换次序即积分运算与极限运算可以交换次序。例例 求：（积分下求导数）设和在上连续，则在有连续的导函数，且 即 定理例例1.求：其中解：对任意 存在b使得，于是 都在 连续，由定理得 当 时 令 则(万能公式）因此 积分得又由 及 的连续性，得：因此1）函数的范围 满足的条件 3）积分求出，确立常数 2）求出 最后求得：方法步骤：例例

2、2.计算定积分 这个积分并不带参变量，但如果直接求，很难积出来，我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：解：将参数加在将参数加在这这里是因里是因为为如果将参数加在其如果将参数加在其他地方都会他地方都会变变得更加得更加的复的复杂杂而不能解决而不能解决问问题题，所以把它加在，所以把它加在x x这这里里 则它们都在 上连续，根据定理，有 注意到 I(0)=0，故从而 1）引入参变量，考察含参变量积分 验证 在 0,10,13）求 2）求出上满足。方法步骤：定理 设函数f(x,y)在矩形区域 上连续，则（1）在 连续；在 连续，则 在 有连续偏导数。（2）若

3、对各变元定理：设函数 f(x,y)在 c(x)，d(x)都在a,b上连续，并且有 上连续，当则 在a,b连续。定理设函数 f(x,y)，都在 上连续，又 和 在a,b存在，且当 时，有 ,，则在a,b可导，且定理例例3.设 ，求解:这个积分积不出来，但由定理有例4.设 f(x)在 x=0=0 的某邻域内连续，则微分方程附近可表成其中n是任意正整数。的解在 x=0 证明:利用定理，则一般地有从而显然 的可积性（积分问题）的可积性（积分问题）在a,b 可积.通常记 最后讨论最后讨论记号：若称为先对y后对x的累次积分（积分交换次序）在a,b 可积，且 即 设 f(x,y)在 a,b c,d 连续，则

4、 定理证明：1.先证明：2.确定 中的常数c=0（取u=a）中令 u=b 得证.令3.在解：，令在 连续，则 积分交换次序，在例1中已求出 故，用变量代换，例例5.求 其中2含参变量的广义积分1.1.一致收一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.

5、设f(x,y)定义在a,b c,，且对任意xI(x)=收敛。若对任意的都成立，则称含参变量的广义积分在a,b一致收敛.a,b,无穷积分或，存在，当时，有定义对xa,b例1.证明：含参变量的广义积分一致收敛.其中a 0；,而 ,所以对任给的,存在,当A时有,从而当时，对任意的有 这就证明了（1）在不一致收敛.证明:(1)因为（2）在在一致收敛。含参变量的广义积分 在a,b一致收敛的充要条件是对任给的，存在正数，当时，对任意的a,b，有 定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：一致收敛判别法：定理（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）与常数Bc，使得当与a,b时，有 而广义

6、积分是收敛的，则在a,b一致收敛。设存在函数设（1）含参变量的正常积分在与a,b有界，即存在M0，(2)对每个固定的a,b，函数g(x,y)关于 y 是单调的，时，g(x,y)在 a,b 一致地趋向于0。则在a,b一致收敛。对任意的Ac及任意a,b有且当含参变量广义积分定理（狄利克雷判别法）设（1）在a,b一致收敛；a,b，函数g(x,y)关于y单调，a,b,则含参变量广义积分 在a,b一致收敛。（2）对每一个固定的且g(g(x,y )在有界。定理（阿贝尔判别法）例例2.2.证明在一致收敛对与成立，而广义积分收敛，因此在一致收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法 由于 例例3.3.证明在一致收敛.在

7、若含参变量广义积分在a,b上一致收敛，设则 I(x)在a,b连续。2 含参变量广义积分的分析性质定理（积分号下取极限）上连续，设在在a,b上一致收敛，则即 定理（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分设和都在上连续，在a,b上收敛，在a,b上一致收敛，在a,b可导，且 即 交换 x,y结论依然成立则定理（积分号下求导）若例例4 4.求狄利克雷积分例例6.6.计算积分解：令，则例例5.5.计算积分解：利用例4.解：注意到定理(迪尼)设f(x,y)在连续，非负.若在收敛，且作为 y 的函数在 连续，则在是一致收敛的.定理设在连续且非负都收敛，且分别在和连续，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相

8、等.若例例7.计算概率积分 含参变量广义积分 它的定义域就是积分的收敛域：易知（二）性质在其定义域内连续且（一）定义：1.它为无穷限广义积分 2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：3 欧拉积分1.函数：函数(三)递推公式特别：为正整数时可见 函数是阶乘n!的延拓称 （一）定义：含参变量的广义积分（二）性质：2.B函数1.它的定义域就是积分的收敛域2.当a 1,b 1时积分是正常积分 3.当a 1或b 1时积分是瑕积分为B函数，定义域为 a0,b0对称性（a0,b0)（四）与 函数的关系（狄利克雷公式）(三)递推公式：（a0,b1）（a1,b0）内容小结含参变量的正常积分的定义及其性质含参变量广义积分的判别法、性质及其计算欧拉积分的计算习题1.记.则2.求，其中解解：.再对积分，得，得 又故3.应用对参数求导法计算积分（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）解：令，则故，补充题1.设，求解解：由于函数，都在上连续，又，在存在，且当时，于是在可导，且故.，作业P269 1(1),(3);2(1),(4);6(1);9;11P282 1(1),(4);9(2);12(5);13(1);14(1)P290 1(1),(1),(3);2(2),(4)