2012年考研数学二试题及答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线221xxyx渐近线的条数 ()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：（i）当曲线上一点 M 沿曲线无穷远离原点时，若是 M 到一条直线的距离无穷趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐近线分为水平渐近线（l

2、im()xf xb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxf x）和斜渐近线（lim()()0 xf xaxb，,a b为常数）。（iii）注意：若是（1）()limxf xx不存在；（2）()limxf xax，但lim()xf xax不存在，可判定()f x不存在斜渐近线。在本题中，函数221xxyx的中断点只有1x .由于1limxy，故1x 是垂直渐近线.（而11(1)1limlim(1)(1)2xxx xyxx，故1x 不是渐近线）.又211limlim111xxxyx，故1y 是水平渐近线.（无斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.(2)设函数2()(1)(2)()x

3、xnxf xeeen,其中n为正整数,则(0)f ()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！设acb，则()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx.在本题中，210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330sinxIexdx 222121sin0 xIIexdxII，2332322sin0 xIIexdxII，222323312sinsinsinxxxIIexdxexdxexdx 2233()22sin()sint

4、xetdtexdx223()312sin0 xxeexdxII 因此213III.故选 D.（5）设函数(,)f x y可微，且对任意的,x y都有(,)0f x yx，(,)0f x yy，则使不等式1122(,)(,)f x yf xy成立的一个充分条件是()（A）12xx，12yy （B）12xx，12yy （C）12xx，12yy （D）12xx，12yy 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：函数单调性的判定法 设函数()yf x在,a b上持续，在(,)a b内可导.若是在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a

5、b上单调增加；若是在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调减少.在本题中，因(,)0f x yx，当y固按时对x单调上升，故当12xx时1121(,)(,)f x yf xy 又因(,)0f x yy，当x固按时对y单调下降，故当12yy时2122(,)(,)f xyf xy 因此，当12xx，12yy时112122(,)(,)(,)f x yf xyf xy 故选 D.（6）设区域D由曲线sinyx，2x，1y 围成，则5(1)Dx ydxdy()（A）（B）2（C）-2（D）【答案】D【考点】二重积分的计算 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系

6、删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yxy对 或 为奇函数，对 或 为偶函数 在本题中，11555222sinsin221(1)(1)()2xxDx ydxdydxx ydyx yydx 5222221(1sin)(1sin)2xx dxx dx 其中521(1sin)2xx，sin x均为奇函数，因此 52221(1sin)02xx dx，22sin0 xdx 故选（D）(7)设1100c,2201c,3311c ,4411c,其中1234,c c c

7、 c为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,(B)124,(C)134,(D)234,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：n个n维向量相关12,0n 在本题中，显然 134123011,0110ccc ，因此134,必线性相关.故选 C.(8)设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且1100010002p AP.若 P=（123,），1223(,)，则1Q AQ()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(A)100020001 (B)100010002 (C)200

8、010002 (D)200020001 【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：设A是一个mn矩阵，对A实施一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以相应的m阶初等矩阵；对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.在本题中，由于P经列变换为Q，有 12100110(1)001QPPE，那么111112121212(1)(1)(1)()(1)Q AQPEA PEEP AP E 100110011101110100120012 故选 B.二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设 yy x

9、是由方程21yxye 所确信的隐函数，则220 xd ydx .【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：隐函数求导的经常使用方式有：1.利用复合函数求导法，将每一个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），现在必然要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2.利用一阶全微分形式的不变性，对每一个方程两边求全微分，现在各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或方程式，球的相应的隐函数的全微分。关于多元隐函数来讲，若题目中求的是全数偏导数或全微分，往往是用方式 2 比较简单些，若只

10、求某个偏导数，则方式 1 和方式 2 的繁简程度差不多。在本题中，令0 x，得(0)0y.等式两边同时对x求导，得 2yxye y （*）令0 x，0y 得 (0)(0)yy，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！于是(0)0y.再将（*）是对x求导得 22yyye ye y 令0 x，0y，0y 得 2(0)(0)yy 于是(0)1y（10）22222111lim12nnnnnn .【答案】4【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：利用定积分概念求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限确

11、实是一个定积分）.专门是关于n项和数列的极限，应该注意到：1011lim()()nniiff x dxnn 在本题中，由积分概念，22222221111111limlim1212()1()1()1nnnnnnnnnnnn 110201arctan14dxxx（11）设1(ln)zfxy，其中函数()f u可微，则2zzxyxy 【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：二元函数(,)zf u x y（是一元函数()f u与二元函数(,)uu x y的复合函数），在变量替换(,)uu x y下，取得z对x，y的偏导数为()zuf uxx，()zuf uyy.

12、在本题中，依照题中条件可知，1zfuxx，21zfuyy，因此20zzxyxy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（12）微分方程2(3)0ydxxydy知足条件11xy的解为y 【答案】2xy（或yx）【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：方程()()dyP x yQ xdx叫做一阶线性微分方程，其通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC.在 本题中，方程可整理 为13dxxydyy，将x看 做因变量，一阶线性 非齐次微分 方程 的通 解 为11313dydyyyxeyedyCyCy

13、.又(1)1y，得0C，故2xy（或yx）为所求解.（13）曲线20yxx x上曲率为22的点的坐标为 .【答案】（-1，0）【考点】曲率【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：曲率公式3221yKy.在本题中，21,2yxy，代入曲率公式3221yKy，得3222221(21)x，解得1x 或1x.又0 x，故10 xy .故坐标为(1,0).（14）设A为 3 阶矩阵，3A，*A为A的伴随矩阵，若互换A的第一行与第二行取得矩阵B，则*BA _【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：设A是一个mn矩阵，对A实施一次初等行变换，相当于在A的左

14、侧乘以相应的m阶初等矩阵；对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！在本题中，设12010100001E 则12BE A，从而3*1227BAE AAA .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.（15）已知函数 11sinxf xxx 记 0limxaf x（）求a的值；（）当0 x 时，f xa与kx是同阶无穷小，求常数k的值.【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：当0 x 时

15、，331sin()6xxxo xsin xx，31sin6xxx.（）3222200001sinsin6limlimlim1 lim1sinxxxxxxxxxxxaf xxxxx （）1a 方式一：利用泰勒公式 3323212000166sinsinlimlimlim0sinkkkxxxxxxxxx xo xf xxxxxxxxxx 解得1k.方式二：利用等价无穷小量代换 21sinsinsin1sinsinxxxxxxxxfxxxxx 当0 x 时，3211616xf xxx，因此1k.（16）求函数222(,)xyf x yxe的极值.【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知

16、识点：二元函数取得极值的充分条件：设(,)zf x y在点00(,)xy的某邻域有持续的二阶偏导数，又00(,)0 xfxy，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！00(,)0yfxy，令00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC，则（1）当20ACB时，(,)f x y在00(,)xy取极值，且当0A时取极小值，0A时取极大值；（2）当20ACB时，00(,)xy不是(,)f x y的极值点；（3）当20ACB时，仅此不足以判定00(,)xy是不是是(,)f x y的极值点，还需另作讨论.在本题中，先求函数的

17、驻点.令 2222222222222,10,0 xyxyxyxyf x yexexexxf x yxeyy 解得驻点为(1,0)，(1,0)又 22222222222222222222,21,1,1xyxyxyxyf x yAxeexxxf x yBexyx yf x yCxeyy 依照判定极值的第二充分条件，代入（1，0），得122Ae，0B，12Ce，从而20ACB，0A，因此(,)f x y在（1，0）取得极大值，极大值为12e；代入（-1，0），得122Ae，0B，12Ce，从而20ACB，0A，因此(,)f x y在（-1，0）取得极小值，极小值为12e.（17）过点（0，1）作曲线

18、:lnL yx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：（i）函数()yf x在点0 x处的导数0()fx是曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线的斜率.函数；（ii）函数()f y，()g y在,a b持续，则由曲线()xf y，()xg y及直线ya，yb()ab所围区域的面积()()baSf yg y dy；（iii）曲线()()yf x axb绕x轴旋转一周所得旋转体的体积2()baVfx dx.欢迎您阅读并下载本文档，本

19、文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！在本题中，设切点A坐标为00(,ln)xx，则切线斜率为01x，切线方程为0001ln()yxxxx，代入（0，1）点，解得20 xe，从而切点A坐标为2(,2)e，切线方程为211yxe，B点坐标为(1,0)，因此区域D的面积 2222211111ln(1)2ln(1)2eeeSxdxexxxdxex2222(1)(1)2eee.D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 2222222211114ln2(1)ln2ln(1)33eeeVxdxexxxdxe 2222214242ln2(1)(1)(1)33eexxeee（18）计算二

20、重积分Dxyd，其中区域D由曲线1cos(0)r 与极轴围成.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：(,)(cos,sin)DDf x y df rrrdrd 在本题中，作极坐标变换cosxr，sinyr，则D的极坐标表示是 0，01 cosr，于是 1 cos1 cos2400001cos sincos sin4DIxyddrrdrrd 1440111cos(1cos)coscos(1)44dttt dt 11114555111111 11(1)(1)(1)(1)44 520tt dttdtttt dt 161111321632(1)(32)20

21、620315t（19）已知函数()f x知足方程()()2()0fxfxf x及()()2xfxf xe（）求()f x的表达式；（）求曲线220()()xyf xftdt的拐点.【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：（i）二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy的特点方程20rprq有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r xr xyC eC e.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（ii）拐点的充分判别定理：设()f x在(,)a b内二阶可导，0(,)xa b，则()0f

22、x，若在0 x双侧周围0()fx异号，则点00(,()xf x为曲线的拐点.（）因()f x知足()()2()0fxfxf x ()()2xfxf xe 由得()2()xfxef x，代入得 ()3()2xfxf xe，两边乘3xe得 32()2xxef xe 积分得 32()xxef xeC，即3()xxf xeCe 代入式得3392xxxxxeCeeCee0C，于是()xf xe 代入式自然成立.因此求得()xf xe（）曲线方程为220 xxtyeedt 为求拐点，先求出y.22021xxtyxeedt，2222200242xxxtxtyeedtx eedtx，由于0,0,()0,0,0

23、,0 xy x 因此(0,(0)(0,0)y是曲线的唯一拐点.（20）证明：21lncos1,12xxxxx(11)x 【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：函数单调性的判定法 设函数()yf x在,a b上持续，在(,)a b内可导.若是在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调增加；若是在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调减少.证明：令 21lncos1(11)12xxf xxxxx ，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！则转化为证明()0f x（(1,1

24、)x）因()()f xfx，即 f x为偶函数，故只需考察0 x 的情形.用单调性方式.111111lnsinlnsin111111xxfxxxxxxxxxxxx，221111()cos111(1)(1)fxxxxxx，22331122()sin0(0,1)(1)(1)(1)(1)fxxxxxxx，其中22110(1)(1)xx，331120(1)(1)xx，sin0(0,1)xx 因(0,1)x时(3)()0fx，又()fx在0,1)持续()fx在0,1)，()(0)20fxf（(0,1x），同理()fx在0,1)，()(0)0(0,1)fxfx()f x在0,1)，()(0)0(0,1)f

25、 xfx.又因()f x为偶函数()0(1,1),0)f xxx，(0)0f.即原不等式成立.（21）（）证明：方程11nnxxx（n为大于 1 的整数）在区间1,12内有且仅有一个实根；（）记（）中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限.【考点】闭区间上持续函数的性质【难易度】【证明】本题涉及到的要紧知识点：零点定理：设函数()f x在闭区间,a b上持续，且()f a与()f b异号（即()()0f af b），那么在开区间(,)a b内至少有一点，使()0f.（）转化为证明 11nnf xxxx在1(,1)2有唯一零点.由于 f x在1(,1)2持续，又(1)10fn，欢迎您阅读

26、并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2111112()1101222212nf ，由持续函数的零点存在性定理可知 f x在1(,1)2至少存在一个零点.又 121()(1)210(1)2nnfxnxnxxx，因此()f x在1,12，()f x在1(,1)2的零点唯一，即11nnxxx在1(,1)2内只有一个根.（）记1()1nnnfxxxx，它的唯一零点记为1(,1)2nnxx.现证nx.由于 111()1()nnnnnfxxxxxfx，显然11()02nf，111()0()nnnnnfxxfx在1(,)2nx有唯一零点，此零点必然是1nx，且

27、 112nnxx 因此nx单调下降且有界，故必存在极限1lim(,1)2nnxa a记 因11nnnnnxxx，即111nnnnxxx，令n 011aa12a 即1lim2nnx.（22）设10010101,00100010aaAaa（I）计算行列式A；（II）当实数a取何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,)iiiiininDa Aa Aa Ain，或1122(1,

28、2,)jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn.（ii）设A是mn矩阵，方程组Axb，则方程组有无穷多解()()r Ar An（I）按第一列展开，即得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4 1410001 01(1)10100101aaAaaaaa （）因为0A 时，方程组Ax有可能有无穷多解.由（I）知1a 或1a 当1a 时，1100 11100 10110101101()0011 00011 01001 00000 2A，由于()3r A，()4r A，故方程组无解.因此，当1a 时不合题意，应舍去.当1a 时，1100 110

29、01 0011010101 1()0011 00011 01001 00000 0A，由于()()3r Ar A，故方程组Ax有无穷多解.选3x为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)TTk（k为任意常数）.（23）已知1010111001Aaa，二次型123(,)()TTf x xxxA A x的秩为 2（I）求实数a的值；（II）求正交变换xQy将f化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特点值和特点向量；用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】本题涉及到的要紧知识点：（i）实对称矩阵的特性：不同特点值的特点向量相互正交.（ii）任给二次型,1()nijij

30、ijjii jfa x x aa，总有正交变换xPy，使f化为标准形 2221122nnfyyy，其中12,n 是f的矩阵()ijAa的特点值.（I）二次型()TTxA A x的秩为 2，即()2Tr A A 因为()()Tr A Ar A，故()2r A.对A作初等变换有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1011010110111000101000Aaaa，因此1a .（II）当1a 时，202022224TA A.由 202022(2)(6)224TEA A，可知矩阵TA A的特点值为 0，2，6.对0，由(0)0TEA A x得基础解系(1,1,1)T，对2，由(2)0TEA A x得基础解系(1,1,0)T，对6，由(6)0TEA A x得基础解系(1,1,2)T.实对称矩阵特点值不同特点向量彼此正交，故只需单位化.11(1,1,1)3T，21(1,1,0)2T，31(1,1,2)6T.那么令11223311132611132612036xyxyxy，就有2223()26TTTxA A xyyyy.