考研数学二试题及答案.pdf

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1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :18 小题，每小题4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1) 曲线221xxyx渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】 C 【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果 M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim( ) xf xb，b为常数）、垂直渐近线（0lim( ) xxf x

2、）和斜渐近线（lim( )()0 xf xaxb，,a b为常数）。（iii）注意：如果（1）( )lim xf x x不存在；（2）( )lim xf xax，但lim( ) xf xax不存在，可断定( )f x不存在斜渐近线。在本题中，函数221xxyx的间断点只有1x. 由于 1lim xy，故1x是垂直渐近线. （而 11(1)1limlim(1)(1)2xxx xyxx，故1x不是渐近线）. 又211 limlim111xxxyx，故1y是水平渐近线. （无斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是2. 故选 C. (2) 设函数2( )(1)(2)()xxnxf xeeen, 其中n为正

3、整数 , 则(0)f ( ) (A) 1( 1)(1)!nn (B) ( 1) (1)!nn (C) 1( 1)!nn (D) ( 1)!nn【答案】 A 【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点：00 000()()()limlim xxf xxf xyfxxx. 在本题中，按定义200( )(0)(1)(2)()(0)limlim0xxnxxxf xfeeenfxx1( 1)( 2) (1)( 1)(1)!nnn. 故选 A. 【详解二】本题涉及到的主要知识点：( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )fxu x v xu x v xu x v x. 在本题中，

4、用乘积求导公式. 含因子1xe项在0x为 0，故只留下一项. 于是20(0)(2)()xxnxxfe een1( 1)( 2) (1)( 1)(1)!nnn故选（ A）. (3) 设0(1,2,)nan，123nnSaaaa，则数列nS有界是数列na收敛的 ( ) （A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件【答案】 B 【考点】数列极限【难易度】【详解】因0(1,2,)nan，所以123nnSaaaa单调上升 . 若数列nS有界，则limnnS存在，于是11limlim()limlim0nnnnnnnnnaSSSS反之，若数列na收敛，则数列nS不一定

5、有界 .例如，取1na(1,2,)n，则nSn是无界的 . 因此，数列nS有界是数列na收敛的充分非必要条件. 故选（ B）. (4) 设20sin(1,2,3)kx Kexdx kI则有 ( ) (A)123III (B) 321III (C) 231III (D)213III【答案】 D 【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设acb，则( )( )( )bcbaacf x dxfx dxf x dx. 在本题中，210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330sinxIexdx222121sin0xIIexdxII，2332322sin0xIIe

6、xdxII，222323312sinsinsinxxxIIexdxexdxexdx2233()22sin()sintxetdtexdx223() 312sin0xxeexdxII因此213III. 故选 D. （5）设函数( ,)f x y可微，且对任意的, x y都有( , )0f x yx，( , )0f x yy，则使不等式1122(,)(,)f x yf xy成立的一个充分条件是( ) （A）12xx，12yy（B）12xx，12yy（C）12xx，12yy（D）12xx，12yy【答案】 D 【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调

7、性的判定法设函数( )yf x在 , a b上连续，在( , )a b内可导 . 如果在( , )a b内( )0fx，那么函数( )yfx在 , a b上单调增加；如果在( , )a b内( )0fx，那么函数( )yfx在 , a b上单调减少 . 在本题中，因( ,)0f x yx，当y固定时对x单调上升，故当12xx时1121(,)(,)f x yfxy又因( , )0f x y y，当x固定时对y单调下降，故当12yy时2122(,)(,)f xyf xy因此，当12xx，12yy时112122(,)(,)(,)f xyf xyf xy故选 D. （6）设区域D由曲线sinyx， 2

8、x，1y围成，则5(1)Dx ydxdy( ) （A）（B）2 （C）-2 （D）【答案】 D 【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：10,( , ) ( , )2( , ),( , ) DDf x yxy f x y dxdyf x y dxdyf x yxy对 或 为奇函数，对 或 为偶函数在本题中，11555222sinsin221(1)(1)()2xxDx ydxdydxx ydyx yydx5222221(1sin)(1 sin )2xx dxx dx其中521(1 sin)2xx，sin x均为奇函数，所以52221(1sin)02xx dx，22sin0

9、xdx故选（ D）(7) 设1100c,2201c,3311c,4411c, 其中1234,c cc c为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A)123, (B) 124, (C)134, (D)234,【答案】 C 【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：n个n维向量相关12,0n在本题中，显然134123011,0110ccc，所以134,必线性相关 . 故选 C. (8) 设 A为 3 阶矩阵， P为 3 阶可逆矩阵，且1100010002pAP. 若 P=（123,） ，1223(, , )，则1Q AQ ( ) (A) 100020001(

10、B) 100010002(C) 200010002(D)200020001【答案】 B 【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 . 在本题中，由于P经列变换为Q，有12100110(1)001QPPE，那么1111 12121212(1)(1)(1)()(1)QAQPEA PEEPAP E100110011101110100120012故选 B. 二、填空题：914 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分. 请

11、将答案写在答题纸指定位置上 . （9）设yy x是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xd ydx.【答案】 1 【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1.利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2.利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全

12、微分，往往是用方法2 比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1 和方法 2 的繁简程度差不多。在本题中，令0x，得(0)0y.等式两边同时对x求导，得2yxye y（*）令0x，0y得( 0 )( 0 )yy，于是(0)0y.再将（ *）是对x求导得22yyye ye y令0x，0y，0y得2( 0)( 0 )yy于是(0)1y（10）22222111lim12nnnnnn. 【答案】 4【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）. 特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：101

13、1lim()( )nniiff x dxnn在本题中，由积分定义，2222 2221111111limlim1212( )1()1()1nnnnnnnnn nnn11 0201arctan14dxxx（11）设1(ln)zfxy，其中函数( )f u可微，则2zzxyxy【答案】 0 【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数 ( ,)zf u x y（是一元函数( )f u与二元函数( ,)uu x y的复合函数） ，在变量替换( , )uu x y下，得到z对x，y的偏导数为( )zufu xx，( )zufu yy.在本题中，根据题中条件可知，1zfu

14、xx，21zfuyy，所以20zzxyxy（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足条件11xy的解为y【答案】2xy（或yx）【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：方程( )( )dyP x yQ xdx叫做一阶线性微分方程，其通解为( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC. 在本题中，方程可整理为13dxxydyy，将x看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为11 313dydy yyxeyedyCyCy.又(1)1y，得0C，故2xy（或yx）为所求解 . （13）曲线20yxx x上曲率为22的点的坐标为. 【答案】（-1，0）【考

15、点】曲率【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：曲率公式3221yK y. 在本题中，21,2yxy，代入曲率公式3221yK y，得3222221(21)x，解得1x或1x.又0x，故10xy.故坐标为( 1,0). （14）设A为 3 阶矩阵，3A，*A为A的伴随矩阵， 若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则*BA_ 【答案】 -27. 【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 . 在本题中，设1201010

16、0001E则12BE A，从而3* 1227BAE AAA. 三、解答题：1523 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数11 sinxfxxx记0lim xafx（）求a的值；（）当0x时，fxa与kx是同阶无穷小，求常数k的值 . 【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，331sin()6xxxo xsin xx，31sin6xxx. （）3 222200001 sinsin6limlimlim1lim1sinxxxxxxxxxxxafxxxxx（）1a方法一：利用泰勒公式33 2321

17、2000166sinsinlimlimlim0sinkkkxxxxxxxxx xo xfxxxxxxxxxx解得1k. 方法二：利用等价无穷小量代换21sinsinsin1sinsinxxxxxxxxfxxxxx当0x时，321 1616x fxxx，所以1k.（16）求函数222( , )xy f x yxe的极值 . 【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设( , )zf x y在点00(,)xy的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0xfxy，00(,)0yfxy，令00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC

18、，则（1）当20ACB时，( , )f x y在00(,)xy取极值， 且当0A时取极小值，0A时取极大值；（2）当20ACB时，00(,)xy不是( , )f x y的极值点；（3）当20ACB时，仅此不足以判断00(,)xy是否是( , )f x y的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点. 令2222222222222,10,0xyxyxyxyfx yexexexxfx yxeyy解得驻点为( 1,0)，(1,0)又222222222 222 22 222 22 2,21,1,1xyxyxyxyfx yAxeexxxfx yBexyx yfx yCxeyy根据判断极值的第二充分

19、条件，代入（ 1，0） ，得122Ae，0B，1 2Ce，从而20ACB，0A，所以( , )f x y在（1，0）取得极大值，极大值为1 2e；代入（-1，0） ，得122Ae，0B，12Ce，从而20ACB，0A，所以( , )f x y在（ -1，0）取得极小值，极小值为1 2e.（17）过点（0，1）作曲线:lnLyx的切线， 切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）函数( )yf x在点0x处的导数0()fx是曲线( )yf x

20、在点00(,()xfx处的切线的斜率. 函数；（ii ） 函数( )fy，( )g y在 , a b连续，则由曲线( )xfy，( )xg y及直线ya，yb ()ab所围区域的面积( )( )baSfyg y dy；（iii ）曲线( )()yf x axb绕x轴旋转一周所得旋转体的体积2( )baVfx dx. 在本题中，设切点A坐标为00(,ln)xx，则切线斜率为01x，切线方程为00 01ln()yxxxx，代入（ 0，1）点，解得2 0xe，从而切点A坐标为2(,2)e，切线方程为211yxe，B点坐标为(1,0)，所以区域D的面积222 2211111ln(1) 2ln(1)2e

21、eeSxdxexxxdxex2222(1)(1)2eee. D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积222 2222211114ln2(1)ln2ln(1)33eeeVxdxexxxdxe2 222214242ln2 (1)(1)(1)33eexxeee（18）计算二重积分Dxyd，其中区域D由曲线1cos (0)r与极轴围成 . 【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：( , )( cos , sin)DDf x y df rrrdrd在本题中，作极坐标变换cosxr，sinyr，则D的极坐标表示是0，01cosr，于是1 cos 1 cos2400001

22、cos sincos sin4DIxyddrrdrrd1440111cos (1 cos )coscos(1)44dtttdt11114555111111 11(1)(1) (1)(1)44 520ttdttdttttdt1 61111321632(1)(32)20620315t（19）已知函数( )f x满足方程( )( )2 ( )0fxfxf x及( )( )2xfxf xe（）求( )f x的表达式；（）求曲线220()()x yf xftdt的拐点 . 【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i） 二阶常系数齐次线性微分方程0yp

23、yqy的特征方程20rprq有两个不同的实根，微分方程的通解形式为12 12r xr xyC eC e. （ ii ）拐点的充分判别定理：设( )f x在( , )a b内二阶可导，0( , )xa b，则( )0fx，若在0x两侧附近0()fx异号，则点00(,()xf x为曲线的拐点. （）因( )f x满足( )( )2 ( )0fxfxf x( )( )2xfxf xe由得( )2( )xfxef x，代入得( )3 ( )2xfxf xe，两边乘3xe得32( )2xxef xe积分得32( )xxef xeC，即3( )xxf xeCe代入式得3392xxxxxeCeeCee0C，

24、于是( )xf xe代入式自然成立. 因此求得( )xf xe（）曲线方程为220xxtyeedt为求拐点，先求出y. 22021xxtyxeedt，2222200242xxxtxtyeedtx eedtx，由于0,0,( )0,0,0,0xyx因此(0,(0)(0,0)y是曲线的唯一拐点. （20）证明：21lncos1,12xxxxx( 11)x【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法设函数( )yf x在 , a b上连续，在( , )a b内可导 . 如果在( , )a b内( )0fx，那么函数( )yfx在 , a b上单调增加；如果在(

25、 , )a b内( )0fx，那么函数( )yfx在 , a b上单调减少 . 证明：令21lncos1( 11)12xxfxxxxx，则转化为证明( )0fx（( 1,1)x）因( )()f xfx，即fx为偶函数，故只需考察0x的情形 . 用单调性方法. 111111lnsinlnsin111111xxfxxxxxxxxxxxx，221111( )cos111(1)(1)fxxxxxx，22331122( )sin0(0,1)(1)(1)(1)(1)fxxxxxxx，其中22110(1)(1)xx，331120(1)(1)xx，sin0(0,1)xx因(0,1)x时(3)( )0fx，又(

26、 )fx在0,1)连续( )fx在0,1)，( )(0)20fxf（(0,1x） ，同理( )fx在0,1)，( )(0)0(0,1)fxfx( )f x在0,1)，( )(0)0(0,1)f xfx.又因( )f x为偶函数( )0( 1,1),0)f xxx，(0)0f.即原不等式成立 . （21）（）证明：方程11nnxxx（n为大于 1 的整数） 在区间1,1 2内有且仅有一个实根；（）记（）中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限. 【考点】闭区间上连续函数的性质【难易度】【证明】本题涉及到的主要知识点：零点定理：设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且( )f a与

27、( )f b异号（即( )( )0f af b） ，那么在开区间( , )a b内至少有一点，使( )0f. （）转化为证明11nnfxxxx在1(,1)2有唯一零点 . 由于fx在1(,1)2连续，又(1)10fn，21 11112( )1101222212nf，由连续函数的零点存在性定理可知fx在1(,1)2至少存在一个零点.又121( )(1)210(1)2nnfxnxnxxx，所以( )f x在1,12，( )f x在1(,1)2的零点唯一，即11nnxxx在1(,1)2内只有一个根. （）记1( )1nn nfxxxx，它的唯一零点记为1( ,1)2nnxx.现证nx.由于11 1(

28、 )1( )nnn nnfxxxxxfx，显然11( )02nf，1 11()0( )n nnnnfxxfx在1(,)2nx有唯一零点，此零点必然是1nx，且112nnxx因此nx单调下降且有界，故必存在极限1lim(,1)2nnxa a记因11nn nnnxxx，即1 11n nnnxx x，令n011a a1 2a即1lim2nnx. （22）设10010101,00100010aaAaa（I ）计算行列式A；（II ）当实数a取何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解. 【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】 【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）

29、行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain，或1122(1,2, )jjjjnjnjDa AaAa Ajn. （ii ）设A是mn矩阵，方程组Axb，则方程组有无穷多解()()r Ar An（I ）按第一列展开，即得4 1410001 01( 1)10100101aaAaaaaa（）因为0A时，方程组Ax有可能有无穷多解. 由（ I ）知1a或1a当1a时，1100 11100 10110101101()0011 00011 01001 00000 2A，由于()3r A，()4r

30、A，故方程组无解. 因此，当1a时不合题意，应舍去. 当1a时，110011001 00110101011()0011 00011 0100100000 0A，由于()( )3r Ar A，故方程组Ax有无穷多解 . 选3x为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)TTk（k为任意常数）. （23）已知1010111001Aaa，二次型123(,)()TTf x xxxA A x的秩为 2 （I ）求实数a的值；（II ）求正交变换xQy将f化为标准形 . 【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点

31、：（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1()nijijijji i jfa x x aa，总有正交变换xPy，使f化为标准形222 1122nnfyyy，其中12,n是f的矩阵()ijAa的特征值 . （I ）二次型()TTxA A x的秩为 2，即()2Tr A A因为()()Tr A Ar A，故()2r A. 对A作初等变换有1011010110111000101000Aaaa，所以1a. （II ）当1a时，202022224TA A. 由202022(2)(6)224TEA A，可知矩阵TA A的特征值为0，2，6. 对0，由(0)0TEA A x得基础解系( 1, 1,1)T，对2，由(2)0TEA A x得基础解系( 1,1,0)T，对6，由(6)0TEA A x得基础解系(1,1,2)T. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化. 11( 1, 1,1) 3T，21( 1,1,0) 2T，31(1,1,2) 6T. 那么令112233111326 111326120 36xyxyxy，就有22 23()26TTTxA A xyyyy.