2013年北京市中考数学试卷及答案.pdf

《2013年北京市中考数学试卷及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年北京市中考数学试卷及答案.pdf（17页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷数学试卷解析解析满分 120 分，考试时间 120 分钟一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北京市提出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为A.39.6102B.3.96103C.3.96104D.3.96104答案：B解析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 9603.961032.3的倒数是4433

2、4A.B.C.D.3443答案：D解析：a(a 0)的倒数为134，所以，的倒数是a433.在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为A.1234B.C.D.555535答案：C解析：大于 2 的有 3、4、5，共 3 个，故所求概率为4.如图，直线a，b被直线c所截，ab，1=2，若3=40，则4 等于A.40B.50C.70D.80答案：C解析：12470。1（18040）70，由两直线平行，内错相等，得25.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC

3、，点E 在 BC 上，并且点A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案：B解析：由EABEDC，得：CECD1020，即，解得：AB40=BEAB20AB6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B 既是轴对称图形，又是中心对称图形；C 只是轴对称图形；D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A 符合。7.某中学随机地调查了50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）人数51061572085则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间

4、是A.6.2 小时B.6.4 小时C.6.5 小时D.7 小时答案：B解析：平均体育锻炼时间是50+90+140+406.4 小时。508.如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦 AP的长为x，APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是答案：A解析：很显然，并非二次函数，排除B；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，SPAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，SPAO=0；AHOBP本题最重要的为当AP=x=1时，此时APO为等边三角形，SPAO=31；44排除B、C、D.选择A.【点评】动点函数图象问题选取

5、合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9.分解因式：ab2 4ab+4a=_答案：a(b2)2解析：原式a(b24a+4)a(b2)210.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_答案：yx21解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。11.如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_答案：20解析：由勾股定理，得 AC13，因为 BO 为直角三角形斜边上的中线，所以，BO6.5，由中位线，得 MO2.5，所

6、以，四边形 ABOM的周长为：6.52.5652012.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：t=x1，双曲1。在上取点 A1，过点 A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，x过点 B1作y轴的垂线交于点 A2，请继续操作并探究：过点 A2线y=作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点 B2作y轴的垂线交于点 A3，这样依次得到上的点 A1，A2，A3，An，。记点 An的横坐标为an，若a1=2，则a2=_，a2013=_；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是_答案：解析：根据A1(2,3)求出B12,；根据B12,求出A2,；12123 12 2根据A2,求出B2,；3 12 232

7、23根据B2,求出A3,；3223 1323根据A3,求出B3,3；1323 13根据B3,3求出A4(2,3)；至此可以发现本题为循环规律，3 次一循环，2013=3670+3；13a2013=a3=；1重 复 上 述 过 程，可 求 出A1(a1,a11)、B1a1,a、A2a,a、111131 a+1 1 a1+1a1a111B2,A,B,a 1、331a、A4(a1,a11)；a+1a+1a+1a+111111由上述结果可知，分母不能为0，故a1不能取0和1.【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.三、解答

8、题（本题共 30 分，每小题 5 分）13.如图，已知 D 是 AC 上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE。求证：BC=AE。解析：14.计算：(13)0+2 2cos45+()1。解析：143x x 216、解不等式组：x+1 2x3解析：16.已知x2 4x 1=0，求代数式(2x 3)(x+y)(x y)y的值。解析：2217.列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。解析：18已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k 4=0有两

9、个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。解析：四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长BC 到点 E，使 CE=（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；（2）若 AB=4，AD=6，B=60，求 DE 的长。解析：1BC，连结 DE，CF。220如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E。（1）求证：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=解析：3，求 OE 的长。421第九届中国国际

10、园林博览会（园博会）已于2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡丹园面积为_平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位

11、数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表第七届第八届日均接待游客量（万人次）0.82.3单日最多接待游客量（万人次）68.2停车位数量（个）约 3 000约 4 000第九届第十届解析：8（预计）1.9（预计）20（预计）7.4（预计）约 10 500约_22阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为a(a2)的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形 MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得RQ

12、F，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若SRPQ=解析：3，则 AD 的长为_。3五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8分）23在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点 A，其对称轴与x轴y=mx22mx 2（m 0）交

13、于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在2 x 1这一段位于直线的上方，并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。解析：【解析】（1）当x=0时，y=2.A(0，2)抛物线对称轴为x=2m=12mB(1，0)2)（2）易得A点关于对称轴的对称点为A(2，则直线l经过A、B.没直线的解析式为y=kx+b2k+b=2k=2则，解得b=2k+b=0直线的解析式为y=2x+2（3）抛物线对称轴为x=1抛物体在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的

14、上方在1x0这一段位于直线l的下方；抛物线与直线l的交点横坐标为1；当x=1时，y=2x(1)+2=+4则抛物线过点（-1，4）当x=1时，m+2m2=4，m=2抛物线解析为y=2x24x2.【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线AB关于对称轴对称，抛物线在2x3这一段位于直线AB的下方，关于对称轴对称后抛物线在1x0这一段位于直线l的下方；再结合抛物线在2x1这一段位于直线l的上方;从而抛物线必过点(1,4).24在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD。（1）如图 1，直接写出ABD的大小（

15、用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45，求的值。1解析：【解析】（1）302（2）ABE为等边三角形证明连接AD、CD、ED线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD则BC=BD，DBC=60又ABE=601ABD=60DBE=EBC=302且BCD为等边三角形.在ABD与ACO中AB=ACAD=ADBD=CDABDACD（SSS）11BAD=CAD=BAC=22BCE=15011BEC=180(30)150=22A在ABD与EBC中BEC=BADEBC=ABDBC=BDDEBCABDEBC

16、（AAS）AB=BEABE为等边三角形（3）BCD=60，BCE=150DCE=15060=90又DEC=45DCE为等腰直角三角形DC=CE=BCBCE=150(180150)EBC=1521而EBC=30=152=30【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.25 对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和C，给出如下定义：若C 上存在两个点 A，B，使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（11，），E（0，-2），F（2 3，0）22（1）当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的

17、关联点是_；过点 F 作直线交y轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线上的点 P（m，n）是O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。解析：【解析】(1)D、E；由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60；由图1可知APB=60，则CPB=30，BC=2BC=2r；sinCPB若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0d 2r；P由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图 2；点P到原点的距离OP=21=2；过O作x轴的垂线OH，垂足为H；OF2 3BtanOGF=3；

18、AOG2COGF=60；连接BC，则PC=OH=OGsin60=3；图1OH3；=OP2OPH=60；sinOPH=易得点P1与点G重合，过P2作P2M x轴于点M；易得P2OM=30；OM=OP2cos30=3；从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1P2上；y yG(P1)HP2OMFx x图20m 3；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图 3；即恰好E、F点为圆K的关联时，则KF=2KN=EF=2；此时r=1；故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r1.E图3KN12y

19、yFx x【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.20132013 年北京市中考数学试题难点解析年北京市中考数学试题难点解析2013 年北 京市 中考 试卷数 学试 题整 体难 度较 2012 年有所下 降。从近四 年（2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规律。2013年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对

20、数学思想方法和学生综合素质能 力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明 中C级要求相呼应。一、试题的基本结构：整个试卷五道大题、25 个题目，总分 120 分。其中包括选择题选择题（共 8 个题目，共 32 分）、填空题填空题（共 4 个题目，共 16 分）、解答题解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共 13 个题目，共 72 分）。1.1.题型与题量题型与题量选择题题数82.2.考查的内容及分布考查的内容及分布从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学课程标准所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容都作了重点考查。填空题分值32题数4分值1613解

21、答题题数分值72内容分值数与代数60图形与空间47统计与概率133.3.每道题目所考查的知识点每道题目所考查的知识点题型题号12选择题345678填空题910111213解答题一解答题二解答题1415161718192021222324考查知识点科学记数法有理数的概念（倒数）概率平行线的性质相似三角形轴对称、中心对称平均数圆中的动点的函数图像因式分解（提公因式法、公式法）抛物线的解析式矩形、中位线函数综合找规律（循环规律）三角形全等证明实数运算（0 次幂、-1 次幂、绝对值、特殊角三角函数）解一元一次不等式组代数式化简求值（整体代入）列分式方程解应用题一元二次方程（判别式、整数解）梯形中的计算

22、（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）三25代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）二、命题主要特点：第8、12、22、23、24、25题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布：题

23、型年份2010201120122013第第8 8题题（创新题）立体图形展开立体图形展开图图动点函数图象动点函数图象动点函数图象动点函数图象动点函数图象动点函数图象第第2 22 2题题（操作与探究）轴对称、正方形平移、等积变换正方形、等边三几何坐标化、角形、全等三角方 程与方程组形第第2 23 3题题（综合题）第第2 24 4题题（综合题）第第2 25 5题题（综合题）（代数综合）（代数综合）（代数综合）（代数综合）（代数综合）（代数综合）（代数综合）（代数综合）二次函数、一次二次反比例函数、旋二次函数、一一次函数、函数、等腰直角图形对称转、恒等变形次 函数、一元二函数、三角形、数形结数形结合次

24、 方程、函数图合象 平移、数形结合（代几综合）（代几综合）（几何综合）（几何综合）（几何综合）（几何综合）（几何综合）（几何综合）二次函数、等腰旋转、等腰直角轴对称、等腰三等边三角形、等直角三角形、分三角形、等边三角形、倒角腰直角三角形、类讨论、数形结角形、直角三角旋转、倒角合形、平行四边形（代几综合）（代几综合）（几何综合）（几何综合）（代几综合）（代几综合）（代几综合）（代几综合）一次函数、圆、等腰三角形、轴“新定义”、一次一次函数、圆、平行四边形、分对称、倒角函数、圆、相似特殊直角三角形类讨论特点一、特点一、题目总体难度降低，23 题代数综合和 25 题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难

25、度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。特点二、特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2 题位置调整；第18 题的一次函数综合体换成了一元二次方程；第 19 题回归对梯形的考察；第 20 题第(1)问没有考察切线的证明等。特点三、特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25 题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。特点四、特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25 题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。特点五、特点五、计算量大幅下降，去年计算题19 题、20 题是几何计

26、算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的 19 题、20 题不论解题难度还是计算难度都骤降。特点六、特点六、填空第 12 题考察循环规律，与前 2 年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到A1。特点八、特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第 8 题、解答题第 20 题。解答题第 25 题都涉及圆的知识。特点九、特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23 题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。三、重难易错题目点评：1.1.易错题目易错题目易错题号812172.2.难题难题2

27、2232425总体来看，2013 年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2014 年也会是这种形式。错误原因易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像前 2 年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律）分式方程应用题忘记检验不得分原因没看懂题，不理解图 2 的作用是什么利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证明三角形全等也是本题的难点题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的 2 倍难题题号