三年级奥数教材第六讲之数图形.pdf

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1、-三年级奥数教材第六讲之数图形三年级奥数教材第六讲之数图形第六讲第六讲数图形数图形采用鲜艳的颜色采用鲜艳的颜色,从最简单的视觉角度入手，从最简单的视觉角度入手，用心理学的方法用心理学的方法让你对数图形感兴趣让你对数图形感兴趣,并爱上它。并爱上它。知识要点:同学们，在数图形时,一定要按顺序仔细数,如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。例例 11数一数图中共有几个三角形？数一数图中共有几个三角形？这样想这样想:数之前数之前,先将每个图形编号，编好后先将每个图形编号，编好后,先数单个三角形先数单个三角形 1 1、4 4、3 3 号号,共共 3 3 个。个。再数两个图形合成的三角

2、形，再数两个图形合成的三角形，1+21+2 号，号，2+32+3 号号,+4+4 号，号，4+14+1 号，按顺序两个两个合并号，按顺序两个两个合并,共共 4 4 个三角形。最后数由个三角形。最后数由 1+21+2+4+4号组成的大三角形号组成的大三角形,有个。所以有个。所以 3+4+13+4+18,8,共共 8 8 个三角形。个三角形。例例 数一数图中有西红柿的正方形有几个？数一数图中有西红柿的正方形有几个？-这样想：先数单个正方形这样想：先数单个正方形,有西红柿的正方形有有西红柿的正方形有 1 1 个。再数四个正方个。再数四个正方形合成的大正方形形合成的大正方形,有西红柿的大正方形有个。最

3、后数由个小正有西红柿的大正方形有个。最后数由个小正方形组成的大正方形，有方形组成的大正方形，有 1 1 个。所以个。所以 1 1+1=6,+1=6,有西红柿的正方形有西红柿的正方形共共 6 6 个。个。例例 3 3 数一数图中共有几个正方形？数一数图中共有几个正方形？这样想这样想:先数单个正方形先数单个正方形 1 1、2 2、4 4、5 5、号，共、号，共 6 6 个。再数四个个。再数四个正方形合成的大正方形，正方形合成的大正方形，1 1+4+45 5 号，号，2+2+5+5+号，按顺序四号，按顺序四个四个合并，共个四个合并，共 2 2 个正方形。所以个正方形。所以 6+6+=，共，共 8 8

4、 个正方形。个正方形。例例 44 数一数图中共有几个正方形数一数图中共有几个正方形?这样想：这样想：先数小正方形先数小正方形,共共 4 4 个。再数稍大的正方形，共个。再数稍大的正方形，共 5 5 个。最个。最后数大正方形，有后数大正方形，有 1 1 个。个。5+1=105+1=10，所以图中共有，所以图中共有 1010 个正方形。个正方形。例例 5 5 数一数图中共有几个圆形？数一数图中共有几个圆形？-这样想：先数小圆这样想：先数小圆,共共 5 5 个。再数大圆有个。再数大圆有 1 1 个。图中共有个圆。个。图中共有个圆。数图形数图形晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目:数数窗户上一

5、共有多少个正方形。小小一看,立即回答：“窗户上一共有个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。小朋友,你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。典型例题典型例题例【例【6 6】下图中有多少条线段下图中有多少条线段?ABCD-E-分析分析我们把图中的线段 AB、BC、CD、DE 看作是基本线段，那么：由 1 条基本线段构成的线段有 AB、BC、DE 条；由 2 条基本线段构成的线段有 AC、CE 3 条;由 3 条基本线段构成的线段有D、B 条;由 4 条基本线段构成的线段有 A

6、 1 条。另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以为左端点的线段有B、AC、AD、E 条；以 B 为左端点的线段有 B、BD、BE 条;以 C 为左端点的线段有 CD、CE 2 条;以 D 为左端点的线段有E 1 条。解解+2+21 1（条（条)所以图中有所以图中有 1010 条线段。条线段。例【例【7 7】下面图形中有几个角下面图形中有几个角?DCBOA分析分析我们把图中的AOB、OC、本角，那么:由个基本角构成的角有O、O、-COD 看作基O 3-个;由 2 个基本角构成的角有AC、OD 2 个;由 3 个基本角构成的角有OD 1 个。我们也可以从角的两条边出发来数:以 OA 为一边的

7、角有AOB、AOC、AO 个；以 OB 为一边的角有OC、BO 个;以C 为一边的角有COD 个。解解3+23+21 16(6(个）个）所以图中有所以图中有 6 6 个角。个角。例【例【8 8】下图中共有多少个三角形下图中共有多少个三角形?AB本三角形,那么：CDE分析分析我们把图中ABC、ACD、DE 看作基由 1 个基本三角形构成的三角形有ABC、ACD、ADE；由 2 个基本三角形构成的三角形有AB、AE；由个基本三角形构成的三角形有ABE。解解3+2+13+2+16 6（个）（个）-所以图中有个三角形。所以图中有个三角形。例【例【9 9】下图中有多少个正方形？下图中有多少个正方形？AB

8、分析分析我们把最短的一条线段如 AB 看作基本线段，那么:边长为条基本线段的正方形有 9 个；边长为条基本线段的正方形有 4 个;边长为 3 条基本线段的正方形有个。解解1 1（个（个)所以图中有所以图中有 1414 个正方形。个正方形。例【例【1010】数一数图中共有多少个三角形数一数图中共有多少个三角形?ABDCADB1BA2CB-3DC-分析分析我们可以将图形分成上面三个部分来数：在图中，一共有 54+1=15(个）三角形;在图 2 中,一共有 5+4+321=5(个）三角形；在图中，一共有 5 个三角形。解解151515+5=15+5=(个个)所以图中一共有所以图中一共有 3535 个

9、三角形。个三角形。小结小结要想正确数出图形的个数，关键是从基本要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：图形入手：（1 1）弄清楚图形中包含的基本图形是什么弄清楚图形中包含的基本图形是什么,有多少个。有多少个。（2 2）从各图形中所包含基本图形的个数多少出发从各图形中所包含基本图形的个数多少出发,依次数出它们的依次数出它们的个数个数,并求出它们的和是多少。并求出它们的和是多少。（3）有些图形被分成乐几个部分有些图形被分成乐几个部分,可以先从各部分的基本图形出发可以先从各部分的基本图形出发,数出所含图形的个数数出所含图形的个数,再求各部分的总和。再求各部分的总和。课后练习：课后练习：数出某种

10、图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误,在细心的同时还要掌握一在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。几何中的计数问题包括定的方法和技巧。几何中的计数问题包括:数线段、数角、数长方形、数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习,可以帮助可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯,同时提高我同时提高我-们通过观察、思考去探寻

11、事物规律的能力。要想有条理、不重复、不们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数遗漏地数出所要图形的个数,最常用的方法就是分类数。最常用的方法就是分类数。一、数线段一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段我们把直线上两点间的部分称为线段,这两个点称为线段的端点这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、线段是组成三角形、正方形、正方形、长方形、长方形、多边形等最基本的元素。多边形等最基本的元素。因此，因此，观察图形中的线段观察图形中的线段,探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很

12、重要的。系，对于了解图形、分析图形是很重要的。例、例、数一数数一数,图中有多少条线段？图中有多少条线段？分析与解分析与解:如果我们按照一定的顺序从左往右数如果我们按照一定的顺序从左往右数,就会发现：就会发现：以以 A A 点为共同端点的点为共同端点的线段有：线段有：ABAB C AD AC AD A AF AF条条;以以 B B 点为共同端点的点为共同端点的线段有线段有:BC BD:BC BD E BF 4E BF 4条；条；以以 C C 点为共同左端点的线段有点为共同左端点的线段有:D CE CF 3D CE CF 3条；条；-以点为共同左端点的线段有以点为共同左端点的线段有:D:D DF

13、2 DF 2 条；条；以点为共同左端点的线段有：以点为共同左端点的线段有：EFEF 条；条；总数为：总数为：5 54+4+2+1=12+1=1条。条。用图示法表示更为直观明了用图示法表示更为直观明了,如右图。如右图。想一想想一想:由例由例1 1 可知可知,一条一条线段线段 AFAF 上有六个点，上有六个点，就有：就有：总总数数+4+3+2+1+4+3+2+1 条线段。由此条线段。由此猜想如下规律猜想如下规律(见右图）见右图）：还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数,经过验证后，能经过验证后，能从中得出这样一个结论：从中得出这样一个结论：当一个图形中包含

14、的所有线段都在同一条直当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从线上时，线段总条数是从 1 1 开始的一串连续自然数之和开始的一串连续自然数之和,其中最大的其中最大的自然数比图形中的总端点数少自然数比图形中的总端点数少 1.1.如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条那么线段的总条数也是从数也是从 1 1 开始的一串连续自然数之和开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图线段的条数（见下图)。基本线段数基本线段数线段总条数线段总条数-是不是存在这样的规律是不是存在这样的规律

15、,同学们可以自己再举些例子试试看。同学们可以自己再举些例子试试看。二、数角二、数角例例 2 2、数一数，图中共有多少个角？数一数，图中共有多少个角？分析与解：通过观察分析与解：通过观察,我们可以知道我们可以知道,图中包含的所有角都具有图中包含的所有角都具有 O O点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序数点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序数,就会发现就会发现:以射线以射线 OAOA 为角的一边的角有：为角的一边的角有：AOBAOB，AOCAOC，ODOD，AOEAOE，A AF F 共共 5 5 个；个；以射线以射线 OBOB 为角的一边的角有为角的一边的角有:BOC,BOC,D,D,O O

16、，BOFBOF 共共 4 4 个个;（不包括已经数过的（不包括已经数过的AOAO,即数过的不算，下同）即数过的不算，下同）以射线以射线 OCOC 为角的一边的角有为角的一边的角有:COD,COD,COECOE，COFCOF 共共 3 3 个；个；以射线以射线 ODOD 为角的一边的角有：为角的一边的角有：D DE,E,DOFDOF 共共 2 2 个个;以射线以射线 OEOE 为角的一边的角有：为角的一边的角有：EOFEOF 个个.角的总数：角的总数：5+5+3+3+1=1+1=1(个）个）.-数的过程用图示法表示如下数的过程用图示法表示如下:想一想想一想:由例由例 2 2 可知：由一点引出可知

17、：由一点引出 6 6 条射线，所组成的角的总条射线，所组成的角的总数为数为:5+:5+3+2+3+21 1（个（个)，由此猜想出如下规律，由此猜想出如下规律:（见下图）（见下图）由一点引出的两条射线组成由一点引出的两条射线组成 1 1 个角个角:由一点引出的三条射线组成由一点引出的三条射线组成 2+1=2+1=个角：个角：由一点引出的四条射线组成由一点引出的四条射线组成 3+2+1=63+2+1=6 个角：个角：由一点引出的五条射线组成由一点引出的五条射线组成+3+32+12+10 0 个角个角:-还可以一直找下去还可以一直找下去,并且通过实际去按顺序数并且通过实际去按顺序数,经过验证后，能从

18、经过验证后，能从中得出这样一个结论中得出这样一个结论:角的总数是从开始的一串连续自然数之和角的总数是从开始的一串连续自然数之和,其其中最大的自然数比图形中射线的总条数少中最大的自然数比图形中射线的总条数少1 1。与数线段有类似的地方，与数线段有类似的地方，即为：即为：如果把相邻两条射线所组成的如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角角叫做基本角,那么角的总数也是从那么角的总数也是从 1 1 开始的一串连续自然数之和开始的一串连续自然数之和,而而其中最大的自然数等于基本角个数其中最大的自然数等于基本角个数.注意注意,例和例例和例 2 2 的情况极其相似。虽然例的情况极其相似。虽然例 1 1 是关于

19、线段的是关于线段的,例例 2 2是关于角的，但求总数时，是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们也可以它们有同样的数学表达式。同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力。这就是数学的魔力。三、数三角形三、数三角形例例 3 3、数出下面图中三角形的个数。数出下面图中三角形的个数。分析与解：仔细观察图形分析与解：仔细观察图形,我们可以发现我们可以发现,图形中所构成的每个三图形中所构成的每个三角形，角形，都有两条边是由都有两条边是由 A A 点引出的，点引出的，而第三条边不在线段而第

20、三条边不在线段 BCBC 就在线就在线段段 D D上，并且通过我们去按顺序数上，并且通过我们去按顺序数,会发现会发现C C 和和 D D上有多少条上有多少条线段就对应有多少个三角形线段就对应有多少个三角形,这样我们就可以把数三角形问题转化为这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。根据例数线段的问题了。根据例 1 1 可知，可知，BCBC 边上的线段有边上的线段有 1515 条，那么条，那么,以以-BCBC 边上的线段作为第三边的三角形就有边上的线段作为第三边的三角形就有 1515 个。同理，个。同理，DEDE 边上的线边上的线段也有段也有 1515 条条,以以 DEDE 边上的线段作

21、为第三边的三角形也有边上的线段作为第三边的三角形也有 1 1个。个。所以所以,图中共有三角形图中共有三角形 15152 23 3（个）（个）例例 4 4、数出下图中三角形、数出下图中三角形的个数。的个数。分析与解分析与解:明显地明显地,这个图形不具有例这个图形不具有例 3 3 中三角形的特点，所以例中三角形的特点，所以例3 3 中的解法不适合此题，中的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数为了便于数出三角形的个数,我们可以用分类我们可以用分类的方法来数。的方法来数。怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙为了叙述方便述方便,我们把图中三角形编

22、上号码，如图所示。我们把图中三角形编上号码，如图所示。明显的明显的,由由 1 1 个三角形构成的三角形有个三角形构成的三角形有 6 6 个。个。由由 2 2 个三角形构成的三角形有个，即个三角形构成的三角形有个，即(，2),(2),(,5,5）由由 3 3 个三角形构成的有个个三角形构成的有个,即即(1,2(1,2，3),3),（4,5,6),(64,5,6),(6，1 1，),),（3 3，4,5)4,5)-所以，此图中共有三角形所以，此图中共有三角形:6:62+2+=12=12（个（个)四、数长方形四、数长方形例例 5 5、如下图，数一数各图中包含的长方形个、如下图，数一数各图中包含的长方

23、形个数数?分析与解分析与解:图（图（）中长方形的个数与）中长方形的个数与 A A边上所分成的线段的边上所分成的线段的条数有关条数有关,每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于A A边上线段总条数边上线段总条数,即长方形个数为即长方形个数为:+3+32+1=2+1=0 0（个（个).).图图()中中B B 边上共有线段边上共有线段+2+1=1+2+1=1条。条。BC BC 边上共有线边上共有线段段:2+1(:2+1(条条)，把，把 ABAB 边上的每一条线段作为长，边上的每一条线段作为长，C C 边上每一条线段边上每一条线段作为宽作为宽,每一个

24、长配一个宽每一个长配一个宽,就组成一个长方形，所以图就组成一个长方形，所以图()中共有长中共有长方形为方形为:(4+3+:(4+3+1)1)(+1+1）=30(=30(个）个）.图（图（)中中,依据计算图（依据计算图（）中长方形个数的方法：可得长方形）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：个数为：(4(43+3+1)+1)（2+1)=602+1)=60（个）（个）.知识小结知识小结:一般情况下，对于类似图一般情况下，对于类似图(）的图形中所包含的长方）的图形中所包含的长方形的个数形的个数,我们就可以用外围大长方形中我们就可以用外围大长方形中:长边上的线段总条数长边上的线段总条数 宽边宽边上的线

25、段总条数上的线段总条数,求得。求得。五、数正方形五、数正方形例例 6 6、如下图，数一数图中包含的正方形个数、如下图，数一数图中包含的正方形个数?-分析与解分析与解:为方便起见为方便起见,我们把小正方形的边长设为我们把小正方形的边长设为 1 1，则正方形，则正方形的边长可分别为的边长可分别为 1 1、2 2、3 3、4 4、5,5,我们可以借助分类的思想来数，按大我们可以借助分类的思想来数，按大小不同将图形中正方形分为如下几类：小不同将图形中正方形分为如下几类：边长为的正方形有边长为的正方形有 2525 个；个；边长为的正方形组成的正方形有边长为的正方形组成的正方形有 1616 个个;边长为边

26、长为 3 3 的正方形组成的正方形有的正方形组成的正方形有 9 9 个个;边长为边长为 4 4 的正方形组成的正方形有的正方形组成的正方形有 4 4 个个;边长为边长为 5 5 的正方形组成的正方形有的正方形组成的正方形有 1 1 个；个；正方形总数：正方形总数：25+1625+16+4+4+=55=55 个个.例.在下图中在下图中,包含包含“*”“*”号的长方形和正方形共有多少个？号的长方形和正方形共有多少个？分析与解：按包含的小块分类计数。分析与解：按包含的小块分类计数。包含包含 1 1 小块的有个；包含小块的有个；包含 2 2 小块的有小块的有 4 4 个个;包含包含 3 3 小块的有小

27、块的有 4 4 个个;包含包含 4 4 小块的有小块的有 7 7 个；个；-包含包含 5 5 小块的有小块的有 2 2 个；包含个；包含 6 6 小块的有小块的有 6 6 个个;包含包含 8 8 小块的有小块的有 4 4 个个;包含包含 9 9 小块的有小块的有 3 3 个个;包含包含0 0 小块的有小块的有 2 2 个个;包含包含 1212 小块的有小块的有 4 4 个；个；包含包含 1515 小块的有小块的有 2 2 个。个。所以共有所以共有1+1+4 47 7+4 4+2+24+2=39(4+2=39(个个)。六、练习题六、练习题1 1、数一数下图中共有多少条线段、数一数下图中共有多少条

28、线段?2 2、数一数下图中共有多少个三角形数一数下图中共有多少个三角形?3 3、数出下图中锐角的个数。、数出下图中锐角的个数。、数一数下图中一共有多少个长方、数一数下图中一共有多少个长方形形?-5 5、下图中有多少个正方形、下图中有多少个正方形?6 6、数一数图中有多少个三角形数一数图中有多少个三角形?7 7、下图中有多少个正方形、下图中有多少个正方形?例题与方法例题与方法例1 下图中有多少条线段下图中有多少条线段?例2 下面图形中有几个角下面图形中有几个角?DABCDECBOA-A例3 下图中共有多少个三角形？下图中共有多少个三角形？BCDE例4 右图中有多少个正方形右图中有多少个正方形?例5 数一数图中共有多少个三角形数一数图中共有多少个三角形?BABAAABDCBCDDBC练习与思考练习与思考1.1.下图中各有多少条线段下图中各有多少条线段?()ABCDEF-F（）（）GABCDEFHIA（）（）FEBDC2 2下图中有多少个角？下图中有多少个角？ABCDEOF3.3.下图中各有多少个三角形下图中各有多少个三角形?（1)1)（3)3)-(2)(2)(4)(4)-4 4下图中各有多少个长方形？下图中各有多少个长方形？()(2)(2)()5.5.下图中有多少个正方形？下图中有多少个正方形？-