2022年三年级奥数教材第六讲之数图形 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三年级奥数教材第六讲之数图形第六讲数图形采用鲜艳的颜色，从最简单的视觉角度入手，用心理学的方法让你对数图形感兴趣，并爱上它。知识要点： 同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。例 1 数一数图中共有几个三角形？这样想： 数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、4、3 号，共 3 个。再数两个图形合成的三角形，1+2 号，2+3号，3+4号，4+1 号，按顺序两个两个合并， 共 4 个三角形。最后数由 1+2+3+4号组成的大三角形，有1 个。所以 3+4+1=8 ，共 8 个三角形。例 2 数一数图中有西

2、红柿的正方形有几个？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这样想：先数单个正方形， 有西红柿的正方形有1 个。再数四个正方形合成的大正方形， 有西红柿的大正方形有4 个。最后数由 9 个小正方形组成的大正方形，有1 个。所以 1+4+1=6 ，有西红柿的正方形共6 个。例 3 数一数图中共有几个正方形？这样想：先数单个正方形1、2、3、4、5、6 号，共 6 个。再数四个正方形合成的大正方形，1+2

3、+4+5号，2+3+5+6号，按顺序四个四个合并，共 2 个正方形。所以6+2=8，共 8 个正方形。例 4 数一数图中共有几个正方形？这样想：先数小正方形，共4 个。再数稍大的正方形，共5 个。最后数大正方形，有1 个。4+5+1=10 ，所以图中共有10 个正方形。例 5 数一数图中共有几个圆形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这样想：先数小圆，共5 个。再数大圆有1 个。图中共有 6 个

4、圆。数图形晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。小小一看，立即回答：“窗户上一共有6 个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑” 。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。典型例题例【 6】下图中有多少条线段？ABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - -

5、 学习好资料欢迎下载分析我们把图中的线段AB、BC、CD、DE 看作是基本线段，那么：由 1 条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4 条；由 2 条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3 条；由 3 条基本线段构成的线段有AD、BE 2 条；由 4 条基本线段构成的线段有AE 1 条。另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以 A 为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4 条；以 B 为左端点的线段有BC、BD、BE 3 条；以 C 为左端点的线段有CD、CE 2 条；以 D 为左端点的线段有DE 1 条。解432110（条）所以图中有 10 条线段。例【 7】下面图形中有几个

6、角？ODCBA分析我们把图中的AOB、BOC、COD 看作基本角，那么：由 1 个基本角构成的角有AOB、BOC、COD 3 个；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由 2 个基本角构成的角有AOC、BOD 2 个；由 3 个基本角构成的角有AOD 1 个。我们也可以从角的两条边出发来数：以 OA 为一边的角有AOB、AOC、AOD 3 个；以 OB 为一边的角有BOC、BOD 2 个；以 OC

7、为一边的角有COD 1 个。解3216（个）所以图中有 6 个角。例【 8】下图中共有多少个三角形？ABCDE分析我们把图中ABC、ACD 、ADE 看作基本三角形，那么：由 1 个基本三角形构成的三角形有ABC、ACD、ADE；由 2 个基本三角形构成的三角形有ABD 、ACE；由 3 个基本三角形构成的三角形有ABE。解3216（个）所以图中有 6 个三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下

8、载例【 9】下图中有多少个正方形？AB分析我们把最短的一条线段如AB 看作基本线段，那么：边长为 1 条基本线段的正方形有9 个；边长为 2 条基本线段的正方形有4 个；边长为 3 条基本线段的正方形有1 个。解94114（个）所以图中有 14 个正方形。例【 10】数一数图中共有多少个三角形？CABCDABCABDDB123分析我们可以将图形分成上面三个部分来数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎

9、下载在图 1 中，一共有 5432115（个）三角形；在图 2 中，一共有 5432115（个）三角形；在图 3 中，一共有 5 个三角形。解1515535（个）所以图中一共有35 个三角形。小结要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：（1） 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。（2） 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。（3） 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和。课后练习：数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时

10、还要掌握一定的方法和技巧。 几何中的计数问题包括： 数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯， 同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为

11、线段的端点.线段是组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素。 因此，观察图形中的线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。例 1、 数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以 A 点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5 条；以 B 点为共同端点的线段有： BC BD BE BF 4条；以 C 点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3 条；以 D 点为共同左端点的线段有：DE DF 2 条；以 E 点为共同左端点的线段有：EF 1 条；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载总数为： 5+4+3+2+1=15 条。用图示法表示更为直观明了，如右图。想一想： 由例 1 可知，一条线段 AF 上有六个点，就有：总数 =5+4+3+2+1 条线段。由此猜想如下规律（见右图） ：还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论： 当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从 1 开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少

13、1. 如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从 1 开始的一串连续自然数之和， 其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。基本线段数线段总条数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。二、数角例 2、 数一数，图中共有多少个角？分析与解：通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有O 点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序

14、数，就会发现：以射线 OA 为角的一边的角有： AOB，AOC，AOD，AOE，AOF 共 5 个；以射线 OB 为角的一边的角有： BOC，BOD，BOE，BOF 共 4 个； （不包括已经数过的 AOB，即数过的不算，下同）以射线 OC 为角的一边的角有： COD ，COE，COF 共 3个；以射线 OD 为角的一边的角有： DOE，DOF 共 2 个；以射线 OE 为角的一边的角有： EOF 1 个. 角的总数： 5+4+3+2+115（个） . 数的过程用图示法表示如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

15、师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载想一想：由例 2 可知：由一点引出 6 条射线，所组成的角的总数为： 5+4+3+2+1（个） ，由此猜想出如下规律： （见下图）由一点引出的两条射线组成1 个角：由一点引出的三条射线组成2+1=3 个角：由一点引出的四条射线组成3+2+1=6 个角：由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10 个角：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共

16、20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：角的总数是从1 开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。与数线段有类似的地方， 即为：如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角，那么角的总数也是从1 开始的一串连续自然数之和，而其中最大的自然数等于基本角个数. 注意，例 1 和例 2 的情况极其相似。 虽然例 1 是关于线段的，例2 是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。三、数三

17、角形例 3、 数出下面图中三角形的个数。分析与解：仔细观察图形，我们可以发现，图形中所构成的每个三角形，都有两条边是由 A 点引出的，而第三条边不在线段BC 就在线段 DE 上，并且通过我们去按顺序数，会发现BC 和 DE 上有多少条线段就对应有多少个三角形， 这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。根据例1 可知， BC 边上的线段有 15 条，那么，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎

18、下载以 BC 边上的线段作为第三边的三角形就有15个。同理，DE 边上的线段也有 15 条，以 DE 边上的线段作为第三边的三角形也有15 个。所以，图中共有三角形15 2=30（个）例 4、数出下图中三角形的个数。分析与解：明显地， 这个图形不具有例3 中三角形的特点， 所以例 3 中的解法不适合此题， 为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。 怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图所示。明显的，由 1 个三角形构成的三角形有6 个。由 2 个三角形构成的三角形有2 个，即（ 1，2） ， （4，5）名师资料总结 - - -精品资料

19、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由 3 个三角形构成的有4 个，即（1，2，3） ， （4，5，6） ， （6，1，2） ， （3，4，5）所以，此图中共有三角形：624=12（个）四、数长方形例 5、如下图，数一数各图中包含的长方形个数？分析与解：图（ ）中长方形的个数与AB 边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段总条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）. 图（）

20、中 AB 边上共有线段 4+3+2+1=10 条。 BC 边上共有线段：2+1（条） ，把 AB 边上的每一条线段作为长，BC 边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（）中共有长方形为：（4+3+2+1） （2+1）=10 3=30（个） . 图（）中，依据计算图（ ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1） （3+2+1）=60（个） . 知识小结：一般情况下，对于类似图（）的图形中所包含的长方形的个数，我们就可以用外围大长方形中：长边上的线段总条数宽边上的线段总条数，求得。五、数正方形例 6、如下图，数一数图中包含的正方形个数？名师资料总结 - -

21、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载分析与解：为方便起见,我们把小正方形的边长设为1,则正方形的边长可分别为 1、2、3、4、5，我们可以借助分类的思想来数，按大小不同将图形中正方形分为如下几类：边长为 1 的正方形有 25 个；边长为 2 的正方形组成的正方形有16 个；边长为 3 的正方形组成的正方形有9 个；边长为 4 的正方形组成的正方形有4 个；边长为 5 的正方形组成的正方形有1 个；正方形总数： 25

22、+16+9+4+1=55个. 例 7在下图中，包含 “*”号的长方形和正方形共有多少个？分析与解：按包含的小块分类计数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载包含 1 小块的有 1 个；包含 2 小块的有 4 个；包含 3 小块的有 4 个；包含 4 小块的有 7 个；包含 5 小块的有 2 个；包含 6 小块的有 6 个；包含 8 小块的有 4 个；包含 9 小块的有 3 个；包含 10 小块的

23、有 2 个；包含 12 小块的有 4 个；包含 15 小块的有 2 个。所以共有14472643242=39(个)。六、练习题1、数一数下图中共有多少条线段？2、 数一数下图中共有多少个三角形？3、数出下图中锐角的个数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4、数一数下图中一共有多少个长方形？5、下图中有多少个正方形？6、 数一数图中有多少个三角形？7、下图中有多少个正方形？例题与方法例1下图中有

24、多少条线段？A B C D E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例2下面图形中有几个角？例3下图中共有多少个三角形？例4右图中有多少个正方形？例5数一数图中共有多少个三角形？练习与思考1下图中各有多少条线段？O D C B A A B E D C A B A B C D A B C A B D D B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

25、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1）（2）（3）2下图中有多少个角？3下图中各有多少个三角形？(1) (2) A B C D E F A B C D E F F G H I A B C E F D E F D A B C O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）（4）4下图中各有多少个长方形？(1) (2) (3) 5下图中有多少个正方形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -