矩阵的相似对角化.ppt

《矩阵的相似对角化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的相似对角化.ppt（18页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性代数下页结束返回矩阵的相似对角化 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数下页结束返回2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.例如例如，5-1 3 1A=0-2 4 0B=，1-5 1 1P=，因为因为 1-5 1 1-1 1-5-116=-P-1AP 5-1 3 1 1-5 1

2、 1 2-2-20-416=-0 12-24 0=-16 0-2 4 0=，所以所以AB.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性：自反性：A A 对称性：对称性：若若AB，则则BA 传递性传递性：若若AB，BC，则则 AC下页线性代数下页结束返回 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值.证明：证明：因为因为P-1AP B，A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式，|l lE-B|P-1(l lE)P-P-1AP|l lE-P-1AP|P-1(l lE-A)

3、P|P-1|l lE-A|P|l lE-A|，所以它们有相同的特征值所以它们有相同的特征值.下页 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 线性代数下页结束返回 相似矩阵还具有下述性质：相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；相似矩阵有相同的秩；(r(A)=r(B)(2)相似矩阵的行列式相等；相似矩阵的行列式相等；(|A|=|B|)(3)相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相等；(tr(A)=tr(B)(4)相似矩阵或都可逆

4、或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似的逆矩阵也相似.下页 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值.易见，|A|=|B|，且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P.线性代数下页结束返回注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似反例反例注意：单位矩阵只能和它自己相似注意：单位矩阵只能和它自己相似线性代数下页结束返回解解：由于由于A和和B相似，所以相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|

5、,即即 解解：由于矩阵由于矩阵A和和D相似相似，所以所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.下页 例例1.若矩阵若矩阵相似，求相似，求x,y.解得解得例例2.设设3阶方阵阶方阵A相似于相似于,求求|A|.线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.必要性必要性.设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵P(x x1,x x2,x xn)使使 P-1APLL，则有则有可得可得 Ax xi l lix xi (i 1,2,n)

6、.因为因为P可逆可逆，所以所以x x1,x x2,x xn 都是非零向量都是非零向量，因而都是因而都是A的特征向量的特征向量，并且这并且这n个特征向量线性无关个特征向量线性无关.l l1 10 00l l2 2 000 l ln A(x x1,x x2,x xn)(x x1,x x2,x xn)，证明：证明：=(l l1 1 x x1,l l2 2 x x2,l lnx xn)2.22.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax x1,Ax x2,Ax xn)引理：引理：n阶方阵阶方阵Adiag(l l1 1,l l2 2,l ln）则）则l l1 1,l l2 2,

7、l ln是是A的特征值的特征值线性代数下页结束返回 充分性充分性.设设x x1，x x2，x xn为为A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为它们所对应的特征值依次为l l1，l l2，l ln，则有则有 Ax xi l lix xi (i=1,2,n).令令 P(x x1,x x2,x xn)，则则(l l1x x1,l l2x x2,l ln x xn)A(x x1,x x2,x xn)(Ax x1,Ax x2,Ax xn)AP (x x1,x x2,x xn)l l1 10 00l l2 2 000 l ln PL L.因为因为x x1,x x2,x x

8、n线性无关线性无关,所以所以P可逆可逆.用用P-1左乘上式两端得左乘上式两端得 P-1APLL，即矩阵即矩阵A与对角矩阵与对角矩阵L L相似相似.下页线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.讨论：讨论：根据定理证明，怎样取可逆矩阵根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵及对角矩阵L L？提示：提示：设设 1，2，n为为A 的的 n个线性无关特征向量，它们所个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为对应的特

9、征值依次为l l1，l l2，l ln，则取，则取 P(1,2,n)，LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)。下页线性代数下页结束返回 例如，矩阵例如，矩阵A 有两个不同的特征值有两个不同的特征值l l1 4,l l2-2,5-1 3 1 其对应特征向量分别为其对应特征向量分别为x x1 ，x x2 .1 1-5 1 取取P(x x1,x x2)，则则 1-5-5 1 1所以所以A与与对角矩阵相似对角矩阵相似.P-1AP-1 1-5-116-5-1 3 1 1-5 1 1 0-2 4 0，问题问题：若取若取P(x x2,x x1)，问问LL？下页线性代数下页结束返回 推论推论 若

10、若n阶矩阵阶矩阵A有有n个相异的特征值个相异的特征值l l1，l l2，l ln，则则A与对角矩阵与对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似相似.注意注意 A有有n个相异特征值只是个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件而不是必要条件.且且有有Ax x1 -2x x1，Ax x2 -2x x2，Ax x3 4 4x x3，向向量量组组是是A的的线线性性无关的特征向量无关的特征向量.所以当所以当P(x x1,x x2,x x3)时，有时，有 例如例如，A ，x x1 ，x x2 ，x x3 ，1 6 6 3 -3-6-5 3 4

11、 3 1 0 1-1-1 1 0 1 2 1 P-1AP diag(-2,-2,4).下页线性代数下页结束返回A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10(1)解解：(1)矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为l l-7-12-10 12 24 l l+19+19 -6l l-13-10|l lE-A|矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1,l l3 -1，对于特征值对于特征值l l3-1，解线性方解线性方程组程组(-E-A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3=.356 对于特征值对于特征值l l1 l l211,解线性解线性方程组方程组(E-A)X

12、 o，2 210-101得其基础解系得其基础解系x x1=,x x2=.(l l-1-1)2(l l+1)+1)0，(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0下页 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.线性代数下页结束返回 由于由于A有有3个线性无关的特征个线性无关的特征 向量向量x x1，x x，x x，所以所以A相似相似于对角阵于对角阵L L.所求的可逆矩阵为所求的可逆矩阵为 P=(x x1，x x，x x),2 0 1-1-1 1 1 0 3 6 5对角阵为对角阵为L L ,1 0 0 0

13、0 1 1 0-1 0满足满足 P-1 A P L L.下页(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10(1)线性代数下页结束返回l l+1-1 4 4-1 0l l-3-3 0 0l l-2 0 0|l lE-B|(l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵B的特征值为的特征值为 l l1 l l211,l l3 2.对于特征值对于特征值l l1 l l211,解线性方解线性方程组程组(E

14、-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x1=，12-1 对于特征值对于特征值l l3 2，解线性方解线性方程组程组(2 2E-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x2=.001显然显然，B不能相似于对角阵不能相似于对角阵.下页(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.解解：(2)矩阵矩阵B的特征方程为的特征方程为A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10(1)线性代数下页结束返回(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0

15、2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P-1 A P L L.由由于于B只只有有2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量1，所所以以不不相似于对角阵。相似于对角阵。思考：矩阵和都有重特征值矩阵和都有重特征值为何相似于对角阵，而为何相似于对角阵，而不相似于对角阵不相似于对角阵？下页A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10线性代数下页结束返回 解：解：由由A和和B相似可知相似可知，它们它们的迹、行列式都相等，即的迹、行列式都相等，即 l l1 l l222,l l3 6.对于特征值对于特

16、征值l l1 l l2,解线性解线性方程组方程组(2E-A)X o，-1-110101得其基础解系得其基础解系x x1=,x x2=.对于特征值对于特征值l l3 6，解线性方解线性方程组程组(6 6E-A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3=，1-23 由于由于A和和B相似相似，且且B是一个是一个所以所以下页例例4.4.设矩阵设矩阵A,B相似，其中相似，其中求求x,y的值；的值；求可逆矩阵求可逆矩阵P，使，使P-1AP=B.解得解得对角阵，可得对角阵，可得A的特征值为的特征值为线性代数下页结束返回 解：解：由所给条件知矩阵由所给条件知矩阵A的的特征值为特征值为l l1 1,l l2 0

17、,l l3 -1,a a1,a a2,a a3是是A对应于上述特征对应于上述特征值的特征向量值的特征向量.容易验证容易验证a a1,a a2,a a3是是3阶方阵阶方阵A的的3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，所以所以A相似于对角阵相似于对角阵 L Ldiag(1,0,-1).取取P(a a1,a a2,a a3)，则有则有P-1 A P L L，所以所以 A=P L L P-1 A A 5=PL L 5P-1 PL L P-1=A.下页 例例5.5.设设3阶方阵阶方阵A满足满足Aa a1 1 a a1 1，Aa a2 2 o o，Aa a3 3-a a3 3，其中，其中a a1 1(1,2,2)T,a a2 2(0,-1,1)T,a a3 3(0,0,1)T,求求A和和A5.线性代数下页结束返回作业P128 5.（2）（3）P130 4,5