第四章-12.8.ppt

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1、第四章第四章-12.8-12.8Evans所所从从事事的的是是飞飞机机导导航航和和控控制制，其其中中涉涉及及许许多多动动态态系系统统的的稳稳定定问问题题，因因此此其其已已经经又又回回到到70多多年年前前Maxwell和和Routh曾曾做做过过的的特特征征方方程程的的研研究究工工作作。但但Evans用用系系统统参参数数变变化化时时特特征征方方程程的的根根变变化化轨轨迹迹来来研研究究，开开创创了了新新的的思思维维和和研研究究方方法法 开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。-第一节第

2、一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念1.1.根轨迹的概念根轨迹的概念-特征方程为：特征方程为：闭环传递函数：闭环传递函数：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：特征根为：特征根为：例：如图所示二阶系统例：如图所示二阶系统特征根为：特征根为：当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点 当当K=0.32时，时，s1=-0.4,s2=-1.6 当当K=0.5时，时，s1=-1,s2=-1 当当K=1时，时，s1=-1+j,s2=-1-j 当当K=5时，时，s1=-1+3j,s2=-1-3j 当当K=时，时，s1=-1+j,s2=-1-j讨论讨论：v稳定性稳定性 当当开开环环增增益益从

3、从零零变变到到无无穷穷时时，根根轨轨迹迹不不会会越越过过虚虚轴轴进进入入右右半半s s平平面面，因因此此系系统统对对所所有有的的K K值值都都是是稳稳定定的的。如如果果分分析析高高阶阶系系统统的的根根轨轨迹迹图图，那那么么根根轨轨迹迹有有可可能能越越过过虚虚轴轴进进入入s s右右半半平平面面，此此时时根根轨轨迹迹与虚轴交点处的与虚轴交点处的K K值，就是临界开环增益。值，就是临界开环增益。根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能v稳态性能稳态性能 由图可见，开环系统由图可见，开环系统在坐标原点有一个极点在坐标原点有一个极点，所，所以系以系统统属属I I型系统型系统，根轨迹上的，根轨迹上的K值就是静态速

4、度值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。开环增益和根轨环增益，而是所谓根轨迹增益。开环增益和根轨迹增益之间，仅相差一个比例常数，很容易进行迹增益之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情况是类换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情况是类似的。似的。根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能v动态性能动态性能 由图可见，当由图

5、可见，当0 0K K0.50.5时，所有闭环极点位于时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当周期过程；当K K0.50.5时，闭环两个实数极点重合，时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较过程，但响应速度较o oK K0.50.5情况为快；当情况为快；当K K0.50.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随随

6、K K值的增大而加大，但调节时间的变化不会显值的增大而加大，但调节时间的变化不会显著著根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能3.闭环零极点和开环零极点的关系闭环零极点和开环零极点的关系通常，前向通路传递函数通常，前向通路传递函数G(s)G(s)可表示为：可表示为：KG前向通路增益，前向通路增益，KG*前向通路根轨前向通路根轨 迹增益迹增益闭环零极点和开环零极点的关系闭环零极点和开环零极点的关系反馈通路传递函数反馈通路传递函数H(s)可表示为：可表示为：KH*为反馈通路根轨迹增益为反馈通路根轨迹增益闭环零极点和开环零极点的关系闭环零极点和开环零极点的关系系统开环传递函数：系统开环传递函数：K*为开环系

7、统根轨迹增益为开环系统根轨迹增益闭环零极点和开环零极点的关系闭环零极点和开环零极点的关系系统闭环传递函数：系统闭环传递函数：闭环零极点和开环零极点的关系闭环零极点和开环零极点的关系闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹增增益益，等等于于开开环环系系统统前前向向通通路路根根轨轨迹迹增增益益；对对于于单单位位反反馈馈系系统统，闭闭环环系系统统根根迹迹增益就等于开环系统根轨迹增益。增益就等于开环系统根轨迹增益。闭闭环环零零点点由由开开环环前前向向通通路路传传递递函函数数零零点点和和反反馈馈通通路路传传递递函函数数极极点点所所组组成成；对对于于单单位位反反馈馈系系统统，闭环零点就是开环零点。闭环零点就是开环零点

8、。闭闭环环极极点点与与开开环环零零点点、开开环环极极点点以以及及根根轨轨迹迹增增益均有关。益均有关。4、根轨迹方程、根轨迹方程特征方程特征方程：1+G(s)H(s)=0或表示为：或表示为：上式称为根轨迹方程上式称为根轨迹方程根轨迹方程可用如下两个方程描述：根轨迹方程可用如下两个方程描述：根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1j=1mnK*=1 ss-zjpii=1-1K*=mnj=1 s-zj s-pii=1(s-zj)(s-pj)=(2k+1)k=0,1,2,j=1i=1mnK*=mnj=1 s-zj s-pii=1相角条件相角条件:模值条件模值条件:模值条

9、件与相模值条件与相角条件的应用角条件的应用-1.5-1-20.5-0.825=0.466 n=2.34s1=-0.825s2,3=-1.09j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.262.112.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180o模值方程与相角方程的应用S1=1.5+j1.2553Lik*=0.2643.826i39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3o4.2

10、 4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则法则法则1:根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极环极 点，终止于开环零点；点，终止于开环零点；根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则法则法则2:根轨迹的分支数、对称性和连续性：根根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点和有限极点数数n中的大者相等，他们是连续的并且对称于中的大者相等，他们是连续的并且对称于实轴实轴法则法则3:根轨迹的渐近线：当开环有限极点数根轨迹的渐近线：当开环有限极点数n大于有限零点数大于有限零点数m时，有时，有n-m条根轨迹分

11、支沿条根轨迹分支沿着与实轴交角为着与实轴交角为 、交点为交点为 的一组渐的一组渐近线趋于无穷远处近线趋于无穷远处渐近线与实轴交点的坐标渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角而渐近线与实轴正方向的夹角K=0,1,2,n-m-1设控制系统如图所示：设控制系统如图所示：-确定根轨迹的渐近线确定根轨迹的渐近线其开环传递函数：其开环传递函数：开环零点：开环零点：z=-1开环极点：开环极点：p1=0，p2=-4，p3=-1+j，p4=-1-j由法则由法则1：根轨迹起于开环极点根轨迹起于开环极点p10，p2-4，p3-1+j和和p4=-1-j；终于开环有限零点；终于开环有限零点z-l以及无穷远处。

12、以及无穷远处。v由法则由法则2，根轨迹的分支数有，根轨迹的分支数有4 4条，且对称于实轴。条，且对称于实轴。v由法则由法则3，有，有n-mn-m3 3条根轨迹渐近线，其交点条根轨迹渐近线，其交点根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则法法则则4：根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分布布。实实轴轴上上的的某某一一区区域域，若若其其右右端端开开环环实实数数零零极极点点个个数数之之和和为为奇数，则该区域必为根轨迹奇数，则该区域必为根轨迹例：例：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。解解：零极点分布如下：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：红线

13、所示为实轴上根轨迹，为：-10-10，-5-5和和-2-2，-1-1。注。注意在原点有两个极点，双重极点用意在原点有两个极点，双重极点用“”“”表示。表示。5L L为来会合的根轨迹条数为来会合的根轨迹条数根轨迹的分离点根轨迹的分离点k=0,1,2,倒数法倒数法两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s s平面上相遇又平面上相遇又分开的点称为跟轨迹的分离点分开的点称为跟轨迹的分离点。分离点的坐标分离点的坐标d d是下列方程的解是下列方程的解:求分离点的几个例题求分离点的几个例题(补充补充)-1-201j-2-50j-2-40j错啦！错啦！应该是应该是-10jj-3-20-5-2a-a

14、+jb0j关于分离点(补充)a=bab对应的根轨迹对应的根轨迹a=2n-m=2，则有，则有 各种说法各种说法(补充补充)已知单位反馈系已知单位反馈系j01-1-2d1=0.366k1=0.0718d2=-1.37k2=13.9s=0.7jk1=0.332统根轨迹如图所示统根轨迹如图所示1 1 求闭环出现重根时求闭环出现重根时(s)的零极点表达式的零极点表达式2 2 求欠阻尼状态下单位斜坡输入时求欠阻尼状态下单位斜坡输入时ess的范围的范围解解：12k=-2k*ess=1/k-1.5ess-0.036k1=0.0718 k2=0.332 k3=13.9绘制绘制的根轨迹。的根轨迹。火星漫游车火星漫

15、游车PIDPID校正校正(补充补充)PIDPID控制器在工业生产过程中得到了控制器在工业生产过程中得到了广泛的应用，它能在不同的工作条件下保广泛的应用，它能在不同的工作条件下保持较好的工作性能，而且功能简单，便于持较好的工作性能，而且功能简单，便于使用。使用。“逗留者号逗留者号”传递函数为：传递函数为：授控对象授控对象PIDPID控制器控制器称称k k3 3为控制器增益为控制器增益，试研究控制器增益，试研究控制器增益k k3 3对系统性能的影响对系统性能的影响漫游车数学模型漫游车数学模型MATLAB研究过程研究过程(补充补充)回车回车选中选中抓住抓住边拖动边看图边拖动边看图根轨迹作图步骤根轨迹

16、作图步骤（1 1）标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；）标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；（2 2）实轴上的根轨迹；）实轴上的根轨迹；（3 3）n-mn-m条渐近线；条渐近线；（4 4）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点（5 5）根轨迹的起始角与终止角；）根轨迹的起始角与终止角；（6 6）根轨迹与虚轴的交点；）根轨迹与虚轴的交点；结结合合根根轨轨迹迹的的连连续续性性、对对称称性性、根根轨轨迹迹的的支支数数、起起始始点点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。v对于特定对于特定K K值下的闭环极点，可用模值条件确定

17、。值下的闭环极点，可用模值条件确定。一般说来，比较简单的方法是先用试探法确定实一般说来，比较简单的方法是先用试探法确定实数闭环极点的数值，然后用综合除法得到其余的数闭环极点的数值，然后用综合除法得到其余的闭环极点。如果在特定闭环极点。如果在特定K K值下，闭环系统只有一对值下，闭环系统只有一对复数极点，那么可以直接在概略根轨迹图上，用复数极点，那么可以直接在概略根轨迹图上，用上述方法获得要求的闭环极点。上述方法获得要求的闭环极点。2.闭环极点的确定闭环极点的确定-3-2.5j1.1-j1.1-1.25K*=8.16例例45 在图在图413上，上，试确定试确定K4的的闭环极点。闭环极点。图图41

18、3根轨迹示例1(补充)j0j0j0j00j0j根轨迹示例2(补充)j0j00jj00j根轨迹示例3(补充)j0j0j00jj0j0根轨迹示例4(补充)j0j00jj00jj0同学们，头昏了吧？同学们，头昏了吧？根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj04.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹v参数根轨迹参数根轨迹v附加开环零点的作用附加开环零点的作用1.参数根轨迹参数根轨迹 在负反馈系统中，在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义

19、根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。参数根轨迹参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。根轨迹称为参数根轨迹。-1解解题题关关键键：将将开开环环传传函函变变形形，将将非非开开环环增增益益的的参数变换到开环增益的地位。参数变换到开环增益的地位。p1p2例例4-6:4-6:设位置随动系统如图设位置随动系统如图4l 6所示。图中，所示。图中，系统系统I为比例控制系统，系统为比例控制系统，系统为比例为比例微分控微分控制系统，系统制系统，系统为测速反馈控制系统，为测速反馈控制系统，Ta表示表示微分器时间常数或测速反馈系数。试

20、分析微分器时间常数或测速反馈系数。试分析Ta对对系统性能的影响，并比较系统系统性能的影响，并比较系统和和在具有相在具有相同阻尼比同阻尼比0.5时的有关特点。时的有关特点。解解:原系统的闭环特征方程为原系统的闭环特征方程为 G G1 1(s)H(s)H1 1(s)(s)就就是是新新的的开开环环传传函函 ，而而T Ta a相相当当于于新新的的开开环增益。环增益。将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为 D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=05s2+s+5+5Tas=0令：令：0j11-1-1=0.5T Ta a=0.8Ta=1.

21、82.附加开环零点的作用附加开环零点的作用 在控制系统设计中，附加位置适当的开环在控制系统设计中，附加位置适当的开环零点可改善系统的性能零点可改善系统的性能例：设开环系统传递函数为：例：设开环系统传递函数为：令令z1为不同数值可得闭环根轨迹如下：为不同数值可得闭环根轨迹如下：j(a)Z 0-1+j-1-jj0 0-1+j-1-jz1=-3(b)Z1=-3j0-1+j-1-jz1=-2(c)Z1=-2j0-1+j-1-j(d)Z1=0附加开环零点的作用附加开环零点的作用v附附加加开开环环负负实实数数零零点点，可可使使根根轨轨迹迹向向s坐坐半半平平面面弯弯曲曲，或或者者说说，附附加加开开环环负负实

22、实数数零零点点，可可使使根根轨轨迹迹图图发发生生曲曲向向附附加加零零点点方方向向的的变变形形，从从而而改改善善系系统统性性能能。附附加加具具有有负负实实部部的的共共轭轭零零点点，其其作作用用与与负负实实数数零零点点的作用完全相同。的作用完全相同。v开开环环零零点点的的位位置置应应兼兼顾顾系系统统的的稳稳定定性性和和动动态态性性能能两两方面。方面。jj1.增加开环极点：重心向右移，相对稳定性变差。增加开环极点：重心向右移，相对稳定性变差。增加开环增加开环零极点零极点对根轨迹的影响对根轨迹的影响2.增加开环零点：增加开环零点：重心向左移，相对稳定性变好。重心向左移，相对稳定性变好。4-4 系统性能

23、的分析系统性能的分析v主导极点与偶极子主导极点与偶极子v系统性能的定性分析系统性能的定性分析1.主导极点与偶极子主导极点与偶极子（1）主导极点：）主导极点：对整个时间响应过程起主要对整个时间响应过程起主要作用的极点作用的极点（2）偶极子偶极子定义：定义：相距很近的闭环零极点称为偶极子。分实相距很近的闭环零极点称为偶极子。分实数偶极子和复数偶极子。数偶极子和复数偶极子。条件：条件：如果闭环零极点之间的距离比他们本身的如果闭环零极点之间的距离比他们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零极点就构成模值小一个数量级，则这一对闭环零极点就构成偶极子。偶极子。对系统性能的影响：对系统性能的影响：接近原点的

24、偶极子对系统动接近原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。远离原点的偶极子可忽态性能的影响必须考虑。远离原点的偶极子可忽略略增加开环偶极子：增加开环偶极子：在原点附近增加开环偶极子，系在原点附近增加开环偶极子，系统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。（3）主导极点法）主导极点法v主导极点法：主导极点法：采用主导极点代替系统全部闭环极点估算系统采用主导极点代替系统全部闭环极点估算系统性能指标的方法。性能指标的方法。v主导极点的确定：主导极点的确定：在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环

25、极点作为主导极点，不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远六略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远六倍以上的闭环零、极点倍以上的闭环零、极点注：在应用主导极点法分析系统性能时不能改变注：在应用主导极点法分析系统性能时不能改变系统的稳态误差系统的稳态误差2.系统性能的定性分析系统性能的定性分析v稳定性：稳定性：如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统左半平面，则系统是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点的位置无关。与闭环零点的位置无关。v运动形式

26、：运动形式：如果闭环系统无零点，且闭环极点均为如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点为复数极点，则时间响应一般是震荡的。点为复数极点，则时间响应一般是震荡的。系统性能的定性分析系统性能的定性分析v超超 调调 量量：取取 决决 于于 闭闭 环环 复复 数数 主主 导导 极极 点点 的的 衰衰 减减 率率 ，并并与与 其其他他闭闭环环零零极极点点接接近近坐坐标标原原点点的的程程度度有有关。关。v调调节节时时间间：取取决决于于最最靠靠近近虚虚轴轴的的闭闭环环极极点点的的绝绝对值（附近没有相应的闭环零点）对值（附近没

27、有相应的闭环零点）v实数零极点的影响：实数零极点的影响：零点减小系统阻尼，使峰值时零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。他们的作用，随着其本身时间滞后，超调量减小。他们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强接近坐标原点的程度而加强v偶极子的处理：偶极子的处理：远离原点的偶极子，影响可忽略；远离原点的偶极子，影响可忽略；靠近原点的偶极子，影响必须考虑。靠近原点的偶极子，影响必须考虑。系统性能的定性分析系统性能的定性分析v主导极点：主导极点：在在s平面上，最靠近虚轴而附近又无其他平面上，最靠近虚轴

28、而附近又无其他闭环零极点的闭环极点称为主导极点。范比主导极闭环零极点的闭环极点称为主导极点。范比主导极点实部大六倍以上的其他闭环零极点，其影响均可点实部大六倍以上的其他闭环零极点，其影响均可忽略。忽略。系统性能的定性分析系统性能的定性分析根轨迹局限根轨迹局限v无闭环零点信息无闭环零点信息v表达稳态误差不直观表达稳态误差不直观零度根轨迹特征方程为以下形式时，特征方程为以下形式时，绘制绘制零度零度根轨迹根轨迹请注意：请注意：G(s)H(s)的分子分母均的分子分母均首一首一1、K*:0 +12、K*:0 1+零度根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1 s-zj s-pii=1模值条件模值条件:(

29、s-zj)(s-pj)=(2k+1)k=0,1,2,j=1i=1mn相角条件相角条件:2k零度零度绘制0度根轨迹的基本准则：v 对称性和连续性同常规根轨迹；v 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；v 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为：，有n-m个角度。v 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数（包括0）的区域。v分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；v 与虚轴的交点：同常规根轨迹；v 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。v 出射角和入射角：与相角条件有关的需要修改规则：规则4:实轴上的根轨迹：凡右边具有偶数个零极点 的线段是根轨迹。j 规则5：根轨迹的渐近线：共有（

30、nm）条渐近线与实轴夹角规则8：出射角和入射角出射角和入射角-3-2-1p2p3k1p1Kc=3例：设单位正反馈系统的开环传递函数为：，试绘制系统的根轨迹。v 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。v 渐进线：与实轴的交点倾角：v 实轴上根轨迹区间：-5，-1，0，）v 分离角（点）：由 得：显然，不在根轨迹上。分离点为：。解：比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的 从 时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，左图为正反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180度）根轨迹图；将例题给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：