第四章振动.ppt

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1、座钟的钟摆座钟的钟摆心电图心电图第四章第四章 振动振动 (Vibration) 物体物体(物理量物理量)在某一位置（在某一位置（定值定值）附近）附近的往复运动的往复运动(变化变化)。 包括：包括：（1） 物体在某一位置附近来回的周期性物体在某一位置附近来回的周期性的运动的运动 机械振动机械振动 （2） 位移位移X、速度、速度V、交流电流、交流电流I交流电流交流电流U等等 电、磁、电流、电压的振动电、磁、电流、电压的振动弹簧振子弹簧振子: :由由轻弹簧轻弹簧(k)(k)和和振子振子(m)(m)组成的理想模型，组成的理想模型， 所受所受弹性力弹性力满足胡克定律满足胡克定律: : 返返回回第一节第一

2、节 简谐振动简谐振动 （simple harmonic motion）kmxkxF弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数表示表示F与与x方向相反方向相反回复力回复力1.弹簧振子的运动弹簧振子的运动kxFmakx 22dtxda kxdtxdm22maF 0222xdtxd2mk令动力学方程动力学方程一元二阶线性常微分方程一元二阶线性常微分方程一、简谐振动方程一、简谐振动方程方程的解：方程的解： x=A cos（t ） 速度方程：速度方程： v= dx/dt= Asin(t ) 加速度方程加速度方程 ： a = dv/dt =A2cos(t ) =2 x简谐振动方程简谐振动方程2、简谐振动的特征、简谐振动

3、的特征 x=A cos（t ）F=-kxa=- 2xotx、v、a3、振动曲线、振动曲线x=A cost 设设 =0v=Asinta =A2costA-A加速度方程：加速度方程： a =A2cos(t ) =2 x 速度方程：速度方程：v=Asin(t ) 位移方程：位移方程：x=A cos（t ）A、 、 三个常量，决定了简谐振动的性三个常量，决定了简谐振动的性质，故称为质，故称为简谐振动的特征量。简谐振动的特征量。 简谐振动的三个特征量是：简谐振动的三个特征量是： A、 、 二、简谐振动的特征量1.1.振幅振幅(A)(A) : : 振动物体离开平衡位置的最大位振动物体离开平衡位置的最大位移

4、量。移量。( (描述描述振动强弱振动强弱的物理量的物理量) )2. 周期、频率、角频率周期、频率、角频率 （皆是（皆是描述描述振动快慢振动快慢的物理量）的物理量）（1）周期周期(T) : 质点完成一次全振动所需要的时质点完成一次全振动所需要的时间，称为间，称为周期周期. 单位：单位：Sx=A cos（t ） 频率频率. 单位：单位：S-1. 单位：单位：radS-12 =k/m mkT1T22T T 称为称为固有周期固有周期mk21kmT2称为称为固有频率固有频率弹簧振子：弹簧振子：3.相位、初相位和相差相位、初相位和相差（1 1）(t(t ) ) ：简谐振动的简谐振动的相相或或相位相位，确，

5、确定振动系统运动状态定振动系统运动状态(即即 x、v的大小的大小)的物理量。的物理量。（2 2） ：t=0 t=0 时刻的相位叫时刻的相位叫初相初相x=A cos（t ） V=Asin(t ) x0= Acos(t )= Acos V0=Asin(t )=Asin （3 3）相差：）相差： = =(2 2t t2 2 2 2) )- -(1 1t t1 1 1 1) )时的整数倍或)2(0两个振动的步调完全一致两个振动的步调完全一致同相同相（in-phase）时的奇数倍或)(两个振动的步调相反两个振动的步调相反反相反相（antiphase）4、特征量大小由什么决定、特征量大小由什么决定?返返回

6、回V0=Asin(t )=Asin x0= Acos(t )= Acos (2) A 和和 由起始时刻物体的运动状态由起始时刻物体的运动状态(即即t =0时的位移时的位移x0和速度和速度V0 的大小的大小)决定：决定：(1) 由振动质点本身的性质决定：由振动质点本身的性质决定：弹簧振子：弹簧振子： 2 2=k/m=k/m； 单摆：单摆：2 2=g/L=g/L；两式相除可得：两式相除可得：两式平方后相加可得：两式平方后相加可得：V0=Asin(t )=Asin x0= Acos(t )= Acos 22020vxA00 xvarctgExample: 一弹簧振子沿一弹簧振子沿x x方向作简谐振动

7、，其振幅方向作简谐振动，其振幅为为A A，周期为，周期为T T。且。且t=0t=0时初位移时初位移x x0 0=0=0且向且向x x轴负轴负方向运动，则振动方程为方向运动，则振动方程为 。 )22cos(tTAx0 A例例 : 一个单摆由平衡位置拉开至最左位置，使摆一个单摆由平衡位置拉开至最左位置，使摆线与竖直方向成线与竖直方向成角，然后放手，任其摆动，设向角，然后放手，任其摆动，设向右方为右方为S正方向，则初位相为正方向，则初位相为 B3- C3 D三、简谐振动的矢量图示法三、简谐振动的矢量图示法以匀角速以匀角速逆时针旋转。逆时针旋转。大小为大小为A At=0t=0时与时与x x轴的夹角为轴

8、的夹角为 旋转矢量旋转矢量A投影投影:x=Acos(t:x=Acos(t ） 恰是简谐振动方程恰是简谐振动方程所以所以: :匀速旋转矢量匀速旋转矢量的投影运动就是简谐振动的投影运动就是简谐振动. .0tRxA0 xtx=Acos(t ）4 A例例: 一质点在竖直方向作谐振动，设向上为正一质点在竖直方向作谐振动，设向上为正方向，在方向，在t =0时质点在时质点在 处且向下运动，则处且向下运动，则初位相为初位相为2A4- B3- C3 D四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量) )( (t tsinsinkAkA2 21 12 22 2)(sin21212222tmAmvEkmk2以弹簧振子讨论简谐

9、运动的能量：以弹簧振子讨论简谐运动的能量：动能：动能：势能：势能：) )( (t tcoscoskAkA2 21 12 22 2221kxEp总能量：总能量：) ) ( (t tc co os s) )( (t t s si in nk kA A2 21 12 22 22 2pkEEE 总能量不变说明总机械能守恒，称此系统为孤总能量不变说明总机械能守恒，称此系统为孤立系统或封闭系统立系统或封闭系统. . 简谐振动是等幅振动（振幅简谐振动是等幅振动（振幅A A、总能量、总能量E E始终保持始终保持不变）是一种理想模型不变）是一种理想模型. .2222121AmkAE例、一弹簧振子作简谐振动，总能

10、量为例、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E。若该振子的振动物体质量增为原来的三倍，若该振子的振动物体质量增为原来的三倍，振幅增为原来的两倍，则总能量变为振幅增为原来的两倍，则总能量变为 A. 2EB. 3EC. 12ED. 4ED. 4E2222121kAAmE例例: 一质量为一质量为m，以速度，以速度 的的规律振动，则振动系统的总机械能为规律振动，则振动系统的总机械能为tVtVsin)(0221A m2021 mVC20 BmVtmVD220sin21 maxkEE 例：单摆的运动例：单摆的运动返返回回F FS SL LgLT2单摆的周期：单摆的周期：弧位移：弧位移：S(准弹性准弹性回复力回复

11、力力力)质点在弹性力或准弹性力作用下质点在弹性力或准弹性力作用下 产生的振动为产生的振动为简谐振动简谐振动。sLmgmgFsin例例: 一单摆周期为一单摆周期为T，振幅为，振幅为A。t=0时小球过时小球过平衡位置向右运动。若设向右方向为正方向，平衡位置向右运动。若设向右方向为正方向，则振动表达式为则振动表达式为)22cos( tTASA)32cos( tTASB)22cos( tTASCtTASD2cos 第三节第三节 简谐振动的合成简谐振动的合成1 1、两个同方向、同频率的简谐振动的合成、两个同方向、同频率的简谐振动的合成： 其方程为：其方程为：x x1 1=A=A1 1cos(t+cos(

12、t+ 1 1） x x2 2=A=A2 2cos(t+cos(t+ 2 2）由于同方向，故合位移由于同方向，故合位移x x是是x x1 1和和x x2 2的代数和：的代数和： x=xx=x1 1x x2 2=A=A1 1cos(t+cos(t+ 1 1) )A A2 2cos(t+cos(t+ 2 2) )0Axx2 x A2x1x2A1矢量图示法矢量图示法作分振动作分振动x x1 1 、 x x2 2的的旋转矢量旋转矢量A A1 1、A A2 2合振动方程合振动方程: x = A cos (t + ) A A1 1、A A2 2合矢量合矢量A A的长的长度不变，并以度不变，并以匀角速转匀角速

13、转动。动。故故A A在在x x轴上的投影也轴上的投影也是简谐振动是简谐振动。x = x1+x2A就是合振动所对应的旋转矢量。就是合振动所对应的旋转矢量。x1=A1cos(t+ 1）x2=A2cos(t+ 2）x A2x1x2A10Axx2 )cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtg合振动方程合振动方程: x = A cos (t + ) x1=A1cos(t+ 1）x2=A2cos(t+ 2）)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtg 可见可见,合振动仍是简谐振动，其振幅合振动仍是简谐振动，其振

14、幅A的大的大小由相差小由相差 = 2 1决定。决定。)cos(212212221AAAAA合成结果讨论合成结果讨论:讨论讨论1、当、当 = 0或或2k （k=0，1，2，3，）时时: 即两个分振动即两个分振动同相同相时，时，其合振幅有最大值，等于其合振幅有最大值，等于两个分振幅之和两个分振幅之和. otx212122212AAAAAAA)cos(212212221AAAAA讨论讨论2、当、当 =或或 (2k1) （k=0，1，2，） 时时:212122212AAAAAAA讨论讨论3、当相差当相差 为其他值时，合振幅介于最小值为其他值时，合振幅介于最小值AA1 1A A2 2、最大值、最大值A

15、A1 1+A+A2 2之间。之间。即两个分振动反相时，合即两个分振动反相时，合振幅有最小值，等于两分振幅有最小值，等于两分振幅之差振幅之差. .otxA. 20cmB. 10cmC. 30cmD. 0cm例例.某质点参与某质点参与 及及)2cos(101tS 两个同方向的谐振动，两个同方向的谐振动，则合振动的振幅为则合振动的振幅为)2cos(202tS = B. 10cm21AAA)cos(212212221AAAAAx A2x1x2A10Axx2 二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成t

16、0 xT1T2T2=3T1同方向、不同频率的谐振动的合振动不是谐振同方向、不同频率的谐振动的合振动不是谐振动，但仍然是一个周期振动，合振动的频率与动，但仍然是一个周期振动，合振动的频率与分振动中的最低频率相等。分振动中的最低频率相等。 三、三、谐谐振（频谱）分析振（频谱）分析如如锯齿形振动锯齿形振动按傅里叶级数可展开为：按傅里叶级数可展开为：tx锯齿形振动锯齿形振动 111111x( t)(sin t+sin2 t+sin3 t+)x( t)(sin t+sin2 t+sin3 t+)2323矩形振动：矩形振动：4U111u(t)=(sint +sin3t +sin5t +sin7t +)35

17、7 把一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐把一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的方法，称为振动的方法，称为频谱分析频谱分析。A234基频基频倍频（音色）倍频（音色）6振动谱振动谱作用：频谱分析是脑电图、心电图的基础，利用振动作用：频谱分析是脑电图、心电图的基础，利用振动谱谱(频谱图频谱图) ，可以诊断疾病，可以诊断疾病.2.振动谱：相对强度随频率分布的图谱振动谱：相对强度随频率分布的图谱锯齿形振动的锯齿形振动的振动谱：振动谱： 111111x( t)(sin t+sin2 t+sin3 t+)x( t)(sin t+sin2 t+sin3 t+)2323心电频谱图心电频谱图小结小结:2222121kAAmE22020vxA弹簧振子弹簧振子:x=A cos（t ）V=Asin (t )2 = k/mkmxx0= Acos(t )= Acos V0=Asin(t )=Asin 单摆：单摆：2=g/L)cos(212212221AAAAA习习 题题4-4 4-6 4-7 4-8 4-9