计算方法（B）.ppt

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1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS计算方法（B）主讲：张明波email: Tel: 3600365 (O), 13721101665数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第0章 绪论l计算方法干什么？l计算方法的内容l误差数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS

2、实际问题实际问题物理模型物理模型数学模型数学模型计算方法计算方法计算机求结果计算机求结果计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解近似解方法数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS内容1、数值逼近插值、数值逼近插值拟合；数值微分与数值积分拟合；数值微分与数值积分.2、数值线性代数解线性方程组、求逆矩阵、特征值、数值线性代数解线性方程组、求逆矩阵、特征值、 特征向量等特征向量等.3、（非线性、（非线性微分）方程数值求解微分）方程数值求解.DDxbAxii/ 20107 . 9 ,20n

3、100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS学习的目的、要求l会应用、修改、创建公式l编制程序完成计算 课程评分方法课程评分方法 总分总分 (100) = 平时作业平时作业(20)+上机作业上机作业(10)+期末期末 (70)数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS内容:一次作业一个附件，并在内容中写出运行结果u上机作业要求

4、1、编程可以用任何语言C,C+,Matlab,Mathematica,Maple,等不允许使用内置函数完成主要功能2、以email形式发给助教数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差l 绝对误差设*x为准确值，x为近似值，xxe*称为近似值x的绝对误差；若|e|,则称 为 的一个绝对误差限.x例：3.14作为 的近似值，其绝对误差为: 而 0.002 为 3.14 的一个绝对误差限.001592. 014. 3e数 学 系University of Science and Tech

5、nology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSl相对误差xxxxxxxeer*称为 的相对误差. 例：将10,000米的跑道建成10,010与 100米的跑道建成101， 两者的绝对误差分别为10和1米，优劣如何？设*x为准确值，x为近似值x若| | ，则称 为 的一个相对误差限.rrerx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS前者相对误差 (10010-10000)/10000=0.001，后者相对误差(101-100)/100=0.01.故虽前者

6、绝对误差较大，但在某种意义上前者更精确。l 绝对误差与相对误差是描述误差大小的两种方式，都很重要.数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS函数的误差（误差的传播）*x为准确值，x为近似值, 函数值f(x)的误差为？)()( )( 21)( )()(22*eOexfxxxfxxxfxfxf 绝对误差限 相对误差限)()( )(xexfxef)()()( )()()( )()()(xexfxxfxfxexfxfxefxferr数 学 系University of Science and T

7、echnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS多变元函数的误差*ix为准确值，ix为近似值, 函数值 的误差为？),(21nxxxf)()()()()()()(),(),(*2*221*112*2*221*111*1nnninnnnnxxyfxxyfxxyfeOxxyfxxyfxxyfxxfxxf其中 为 的绝对误差， 在 处取值.ieixiyf),(1nxx 数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS故绝对误差限 22221221*2*221*1

8、11*1)()()()()(),(),()(nnnnnnneeeyfyfxxyfxxyfxxyfxxfxxffe数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS相对误差限为2222122112221111*2*221*11)()(1),()()()()(rnrrnnrnnnrrnnnnreeeyfxyfxfefyfxefyfxefyfxxxfxxyfxxyfxxyffe数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF

9、 MATHEMATICS有效位数 当x的绝对误差不超过某一位的半个单位，则这一位到左数第一个非零位的位数称位x的有效位数。有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差例：3.14作为 的近似值有3位有效数字； 0.031或0.030作为0.0305的近似值均有两位有效 数字数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS当 时，相对误差会较大；当 时，绝对误差会较大.分别令 和 知：21xxf21xxf 02x21xx 算法中应避免相近两数相减，避免小数作分母.计算中注意事项数 学 系Un

10、iversity of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSl 减少运算次数 例：1. 2. 秦九昭算法l 避免大数吃小数（必要时提高精度） 例：计算l 设计稳定收敛的算法.2227)(xxxx012101)(axaxaxaxaaxaxannnnnn1数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS例子dxxxInn105ndxxdxxxxIInnnnn15551011011，我们有构造方法如下：56ln , 5101

11、IInInnnI1.019.0 , 15181IInInnnI2. 要计算数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn00.1820.1820.18210.0880.0900.08820.0580.0500.05830.04310.0830.043140.0343-0.1650.034350.02841.0250.028460.024-4.9580.02470.02124.9330.02180.019-124.5400.019nInInI数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS原因：对格式1，如果前一步有误差，则被放大5倍加到这一步称为不稳定格式稳定格式，对舍入误差有抑制作用数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS01yaxayx2、 有时候，模型本身就是病态（系数引入小变化，解产生大变化）25.50 99. 0 xa81.55 991. 0 xa