2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析版).docx

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1、 2020 届北京市海淀区高三上学期期末数学试题一、单选题 U = 1,2,3,4,5,6A = 1,3,5B= 2,3,4A B (1已知集合，则集合是)U1,3,51,31,5D1,3,5,6ABC【答案】D BU【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A.【详解】 B = 1,5,6U = 1,2,3,4,5,6A = 1,3,5B= 2,3,4集合，则，U A B = 1,5因此，.U故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.抛物线 2 = 4 的焦点坐标为（ ）2yx( )-1, 0( )1,0( )0,-1( )0,

2、1ABCD【答案】B2 p = 4【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由x，( )1, 0.p=1可得：，即焦点坐标为2本题选择 B 选项.( ) ( )-1 + y -1 = 23下列直线与圆 x22相切的是（）y = -x= x= -2C y xyD y = 2xAB【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，( )1,1圆心坐标为，圆心与原点连线的斜率为1 ，第 1 页 共 21 页 ( ) ( )y= -x-1 + y -1 = 2所以，圆 x22在原点处的切

3、线方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.4已知a 、b R，且 a b ，则（）1 1 sinB ab22AC ab33 【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】1 1a b= -1对于 A 选项，取 =1，b，则 成立，但a b，A 选项错误；aa = p b，= 0sin = sin0sin = sin，即 b ，B对于 B 选项，取，则 成立，但a bpa选项错误；111b x a对于 C 选项，由于指数函数 y=在 上单调递减，若 ，则a b ，但 a CD7 .下列结论8已知等边边上，且， AD

4、=中错误的是（）SBDcosBADsinBAD= 2A= 2B DABDC=2D=2ScosCADsinCADCDDACD【答案】C【解析】利用余弦定理计算出判断.，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行BD【详解】如下图所示：1232 CD =点 D 在 BC 边上，且 BD， BDBC，p= AB + BD - 2AB BDcos- BD + 2 = 03由余弦定理得 AD222，整理得 BD2，33SBD= 2BD ，解得2 = ， CD=1BD，则 DABD，2SCDDACD第 4 页 共 21 页 BDADCD=sin BAD BD= 2sin BADpsin CAD ，所以，

5、.由正弦定理得sinsin CAD CD3AB + AD - BD2 775 714222由余弦定理得cosBAD =，同理可得cosCAD =，2AB ADcosBAD 2 7 14 4= 2=则.cosCAD7 5 7 5故选：C.【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.( )9声音的等级 f x （单位： dB）与声音强度 x （单位： / 2）满足W m( )f x =10lgx. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，110-12声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般

6、说话时声音强度的（）A10 倍B10 倍C10 10倍D10 12倍68【答案】Bx x【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，根据题12( )( )xf x =140 f x = 60x x，计算出 和 的值，可计算出意得出，1 的值.x21212【详解】x x设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，12( )x=10lg=140x =101由题意可得 f x，解得2 ，11101-12x( )x=108 ，f x =10lg=60，解得 x =10 ，所以，2-61110x22-122因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的10

7、倍，8故选：B.【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.第 5 页 共 21 页 ( )N= f Ma10若点 为点 M 在平面 上的正投影，则记.如图，在棱长为1 的正方Na- A B C Db为 ，平面g体 ABCD中，记平面ABC D1为 ，点 是棱P上ABCDCC111111( )( )Q = f f P= Q f f P .一动点（与 、C 不重合），给出下列三个结论：Cg121gbb1 2,2 2线段 PQ 长度的取值范围是 ；2/b存在点 使得 PQ 平面 ；P1 PQ存在点 使得 PQP.12其中，所有正确结论的序号是（）A

8、【答案】DBCDy所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立【解析】以点 为坐标原点，D、DC、DDxDAz1( )()0,1,a 0 a 1Q Q，求出点 、 的坐标，- xyz空间直角坐标系 D，设点 的坐标为P12然后利用向量法来判断出命题的正误.【详解】C DQABC D1PE C D，再过点 在平面CC D DE取的中点 ，过点 在平面P内作121111QEQ CD内作，垂足为点.11ABCD - A B C DAD在正方体中，平面CC D D1， PE 平面CC D D ，1111111PE AD，( )PE C D AD C D = D PE b f P = EABC D1又， PE 平

9、面 ，即，111b( ) ( )f f P = f E = Q，则 ，EQ g ，CQb同理可证1gbg1( ) ( )=f f P =f C Q .2bgb第 6 页 共 21 页 、DC 、DD 所在直线分别为 x 轴、 轴、 轴建立空间直角y以点 为坐标原点，DDAz1+1 a +1() ( ) ( ) aP 0 1, a C 0,1,0 E 0,CP = a 0 a 1,- xyz坐标系 D，设，则， ，22a+11 1Q 0,0 ，Q 0, ,.22 21211 114122对于命题，=+ a -，0 a 1，则- a - ，则PQ22 221 2 11 + a -1 1 220 a

10、 - 0的左、右顶点.若13已知点 ACBa23DABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_.2【答案】【解析】根据DABC线的离心率.为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲【详解】3OAOBtanABC =a2 +3 = 2= 3，得 =1.由于DABC为正三角形，则aac 2e = = = 2a 1所以，双曲线的半焦距为 =，因此，该双曲线的离心率为.c2故答案为： .【点睛】第 8 页 共 21 页 本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.( )1,4( )a已知函数 f x = x + 在区间14上存在最小值，则实

11、数a 的取值范围是x_.( )1,16【答案】( ) ( )y = f x1,4 0两【解析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分 0 和 aa( ) ( )y = f x1,4 0时求出函数种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在a 4 ，解出即可.( )y = f x【详解】( )的极值点 x=a ，可得出1 0f x当 0 时，对任意的，此时，函数上为a( ) ( )y = f x1,4上没有最小值；增函数，则函数在区间- a( ) x2 0时，令 f x= 0，可得 x = a ，=当 ax2( )( ) 0f x， 00 x a( )= f x=a ，由题意可得1 a 4 ，解得1

12、 a -2p（ ）当 mii时，若曲线C 所围成的区域的面积小于 ，则 m 的值可以是_.（写出一个即可）【答案】m 2均可第 10 页 共 21 页 ( )( ) ( ) ( )-x,-y P x,-y P -x, yP x, y ，将点P【解析】（i）在曲线C 上任取一点、123代入曲线C 的方程，可判断出命题的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题的正误；= 2+ =1p（ii）根据 m时，配方得出 xy，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为 ，22p 2C从而得知当m时，曲线 所表示的图形面积小于 .【详解】( ), y（i）在曲线C 上任取一点 P x，则 x4+ y + mx y

13、 =1，422( )( ) ( ) ( ) ( )P -x,-y-代入曲线 的方程可得 x+ -ym x+ -y=1，将点C44221( ) ( )P x,-y P -x, y同理可知，点、都在曲线C 上，则曲线 关于原点和坐标轴对称，C23命题正确.132= -1时，反设2y1，1= x + y - x y = x - y + yx1且当 m44222224112111420 y 1- -0则0 x2 1，所以，则 x - y，x2y2222222132+ y - x y = x - y + y 20x + y =1时，在圆 2 上任取一点当 m时，且当xy，则2( )21= x + y =

14、 x + y + 2x y 2故答案为：； m均可.【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题第 11 页 共 21 页 12( )= cos x + 3 sin xcos x -已知函数 f x217.( )f x（）求函数的单调递增区间；( ) f x0,m1 m上的最大值为 ，求 的最小值.（）若在区间pp( )pp, p） k - k +k Z ；（） .【答案】（366( )y = f x【解析】（）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为ppp p( )( )2 pf x = sin 2x +- + 2k

15、 x + + k k Zp 2 ，然后解不等式，即可626 2( )y = f x得出函数（）由的单调递增区间；p ppp p x 0,m2x + ,2m +，结合题意得出2m + ，即可求出6666 2实数 的最小值.m【详解】1+ cos 2x3131p ( )（） f x=+sin 2x - =2 2sin 2x + cos 2x = sin 2x +，2226pp( )k Z2kp - , 2kp += sin x因为 y的单调递增区间为，22ppppp( )k Z( )k Z.2x + 2kp - , 2kp +x kp - ,kp +令，得62236pp( )( )y = f xk

16、 - k +p, pk Z所以函数（）因为又因为的单调递增区间为；36 x 0,mp pp2x + ,2m +，所以.666p ( )x 0,m= sin 2x +f x1， 的最大值为 ，6p ppp2m + m 所以，解得，所以m 的最小值为 .6 266【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.- ABC 中，平面VAC D D平面 ABC， ABC和 VAC均是等腰18如图，在三棱锥V第 12 页 共 21 页 = BC=， AC CV= 2N直角三角形， AB， M 、 分别为VA、VB 的中点.

17、/（）求证： AB 平面CMN ；（）求证： ABVC；（）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.2 23【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）.【解析】（）由中位线的性质得出MN/AB，然后利用直线与平面平行的判定定理可/CMN ；证明出 AB 平面（）由已知条件可知VCVC； AC，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC 平面ABC，即可得出 ABy（）以C 为原点，CA、CV 所在直线分别为 x 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.【详解】DVABNVAMNMN/AB.为中位线，所以（）在中，M 、 分别为、 的中点，所以VB/

18、平面CMN ，所以 AB 平面CMN ；又因为 AB 平面CMN ，MN （）在等腰直角三角形DVAC中，AC = CV ，所以VC AC.ABC= ACVC平面VAC ，因为平面VAC 平面 ABC，平面VAC平面，所以VC 平面又因为 AB 平面 ABC，所以 AB（）在平面 ABC内过点C 作CH 垂直于ABC.VC；ABC，由（）知，VC 平面ACABC，所以VC CH.因为CH 平面如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C - xyz .第 13 页 共 21 页 1 1( ) ( ) ( ) ( )C 0,0,0 V，0,0,2B 1,1,0 M 1,0,1，N , ,1则， .2

19、21 1( )( )VB = 1,1,-2 ，CM = 1,0,1 ，CN =, ,1.2 2 + =x z0nCM =0( )= x, y, z设平面CMN 的法向量为n，则 ，即 11.nCN = 0x + y + z = 022令 x=1则=1(1,1, 1).-y= -1，所以n =， znVB 2 2sin = cos n,VB =直线VB 与平面CMN 所成角大小为q ，q.3n VB2 2所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为.3【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等

20、题.19某市城市总体规划（2016- 2035年）提出到 2035年实现“15 分钟社区生活圈”4全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6 1）、良好小区（指数为0.4 0.6）、中等小区（指数为0.2 0.4）以及待改进小区（指数为0 0.2 44） 个等级 下面是三个小区 个方面指标的调查数据：.第 14 页 共 21 页 T = wT + w T + w T + w T 其中 w 、w 、w 、注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数，1231 12

21、2334 4T Tw 为该小区四个方面的权重， 、 、T 、T 为该小区四个方面的指标值（小区每41234一个方面的指标值为0 1之间的一个数值）.现有100个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：0.4,0.6300.6,0.8300.8,1分组102010频数（）分别判断 A、 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；B（）对这100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，1010抽取 个小区进行调查，若在抽取的 个小区中再随机地选取 个小区做深入调查，22xx记这 个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.【答案】（） A

22、、C 小区不是优质小区； 小区是优质小区；见解析；（）分布列B4见解析，数学期望 .5【解析】（）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；x（）先求出10 个小区中优质小区的个数，可得出随机变量 的可能取值，然后利用xx超几何分布的概率公式计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分x布列，利用数学期望公式可计算出随机变量 的数学期望值.第 15 页 共 21 页 【详解】= 0.70.2 + 0.70.2 + 0.50.32 + 0.50.28 = 0.58（） A小区的指数T，0.58 0.60，所以 小区是优质小区；BC 小区的指数T =0.10.2 + 0.30.2 + 0.20.32 + 0.10.28 = 0.172，0.172 b