2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版).docx

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1、 2020 届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题 ,若集合AI B有且仅有2 个元素,则实数a 的A = x | x a ,B = -3,0,1,51设集合取值范围为（）( )-3,+( 0,1 )1,5ABC1,+)D【答案】B 【解析】根据集合的交集运算，由题意知AI B = -3,0，由此可得，0 a 1【详解】 因为集合AI B有且仅有2 个元素，所以AI B = -3,0，即有0 y,且xy 0,则下列不等式中一定成立的是（）1 1x yln x ln yAB y2C2-x y 0，则 y 时，取对 C，因为x y ln y，错误；x 1,y= -2 ，根据对数函数的单调性

2、可知，ln x，所以-x -y ，根据指数函数的单调性可知，2-x 2- y ，正确； y 时，取x 1,y= -2 ，x2 0a +1, b +1是方程x2 - x - k = 0 的两个不同非负实根，所以，解 得x x = -k 01 21- 0，解得m 5 fn N*故答案为：1232；5【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题三、解答题p ( )f x = 2cosx gsin x - .15已知函数6( )( )f x（1）求函数（2）求函数的最小正周期; pf x- ,0在区间上的最小值和最大值.2第 8

3、页 共 18 页 【答案】（1） （2）最大值0 最小值- 3.2【解析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角( )( )f x的最小正周y = Asin x + + kw j差的正弦公式)合并成期.的形式，即可求出函数pp7p px - ,0t = 2x - - ,-，再根据y = sin t 的单调性可（2）由，求出2666( )f x求出函数【详解】的最大最小值31（1）因为 ( ) = 2cos (sin - cos )f xxxx22= 3sin xcos x - cos2x311=sin 2x - cos2x -222 1= sin(2x - )

4、-6 22所以函数 f (x) 的最小正周期为T= 2p p 770，所以= sin t 在 - ,- x 2- t = x - - ，而y（2）因为上单266662p p7pp- ,-sin - sin -调递减，在上单调递增，而 ，2 666时， f x 取得最小值- 3= 2x - = - ，即x= -( )所以当t，62627= 2x - = -( )时， f x 取得最大值 当t【点睛】，即= -0x662本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题16高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,

5、更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在 2018 年这一年内从市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50 万人次.为BA了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100 人次作为样本,得到下表(单位:人次):老年人 中年人 青年人乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机满意度第 9 页 共 18 页 1222232041940 分(不满意)164（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在 2018 年从A市到 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取 人次,记其中老年人2B出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A市出发到

6、市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是B飞机? 并说明理由.29【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 （3）建议甲乘坐高铁从A市到 市.2B505见解析【解析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39， ，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；42（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是 1 X : B 2, 1 1-2 k15 1=75 5( )k= =，即P x k C1-，所以，即可求出X 的分布 k 5 5 5 2列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机【详解】（

7、1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42 ，19+39 29=所以在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)110050， ，2.（2）由题意，X 的所有可能取值为：01因为在 2018 年从A市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人B15 1=75 5为老年人概率是，第 10 页 共 18 页 11625(X = 0) = C (1- ) =所以P，0225118P(X =1)= C1 (1- ) =，55 25211P(X = 2) = C2 ( )2 =，2552所以

8、随机变量 的分布列为：X16258125251681 2(X) = 0 +1 + 2 =故E252525 5（3）答案不唯一，言之有理即可如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：5210+125+110 116由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：=52+12+1115410+145+ 70 22乘坐飞机的人满意度均值为：=4 +14+ 75116 22因为，155所以建议甲乘坐高铁从 市到 市AB【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题17如图,在三棱柱 ABC - A B C 中

9、,BB 平面 ABC,VABC 为正三角形, 侧面1111ABB A 是边长为2 的正方形, 为的中点.DBC11: A B / /AC D1（1）求证平面;1第 11 页 共 18 页 - AC - D（2）求二面角C的余弦值;1A B（3）试判断直线 与平面AC D1的位置关系,并加以证明.1115A B【答案】（1）证明见解析（2） （3）直线 与平面AC D相交.证明见解析5111AC D1A B内找一条直线平行于 即可所【解析】（1）根据线面平行的判定定理,在面1以连接AC 交 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得，即可得证；DE / A BAC11y（2）取B C 的中点F ，

10、连接DF 分别以DC ，DF ，DA 为 轴， 轴， 轴，如xz11图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；AC D1A B A B的法向量与直线 的方向向量的关系，即可判断直线 与平（3）根据平面111 1AC D1面的位置关系【详解】（1）由题意，三棱柱ABC- A B C为正三棱柱111连接AC 设AC I AC = E ，则E 是AC 的中点连接DE ， 由D ，E 分别为BC1111和AC 的中点，得又因为DE 平面AC D A B，平面AC D，DE / A B11111AC D1所以A B / 平面1（2）取B C 的中点F ，连接DF 11VAD BC因为 ABC

11、为正三角形，且D 为 中点，所以BC由D ，F 分别为BC 和B C 的中点，得DF / BB ，111 又因为BB 平面ABC， 所以DF 平面 ，即有DF AD DF BCABC， 1yx分别以DC ，DF ，DA 为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，z-1,0,0)(1,0,0) D(0,0,0) B(， ，则A(0,0, 3) ，C (1,2,0)，C，1uuur，DAuuuurDC (1,2,0)uuuruuuur所以= (0,0, 3) ，= -，=，CA ( 1,0, 3) CC (0,2,0)11第 12 页 共 18 页 urAC D1=的法向量n (x , y ,

12、z )，设平面11113z = 0,uuur u uruuuur uur由 = ， = ，得DA n 0 DC n 011+ 2y = 0,x1111=1令y ，得n = (-2,1,0) 11uur设平面AC C 的法向量 =，n(x , y , z )21222uuur uurCA nuuuur uur = ，得CC n 0-x + 3z = 0,由 = ，022= 0,2y2122uur令z ，得 =1( 3,0,1)n22u ur uurn n15设二面角C - AC - D 的平面角为q ，则q =| cos | | u ur uur |= 1| n |2| n |5112- AC

13、- D由图可得二面角C为锐二面角，115的余弦值为 5- AC - D所以二面角C1A B（3）结论：直线 与平面AC D相交111uuurAB ( 1,0, 3)= - - ，A B /AB ，且A B =AB ，证明：因为1 11 1uuuur所以= - A B ( 1,0, 3)11uur的法向量 = - ，且uuuur u ur = ，A B n 2 0AC D1又因为平面n ( 2,1,0)11 11uuuur ur所以A B 与n 不垂直，11 1AC D1A BAC D因为A B 平面，且 与平面 不平行，11111A B故直线 与平面AC D相交111【点睛】本题主要考查线面平

14、行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系第 13 页 共 18 页 判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题( )x2 0+ y =1的右焦点为F ,过点F 且斜率为k k:18已知椭圆W的直线 与椭l24, BM ,O 为坐标原点.圆W 交于A 两点,线段AB 的中点为y（1）证明:点M 在 轴的右侧;yC D,（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、 轴分别相交于点.若ODC 与VCMF的面积相等,求直线l 的斜率k2【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证

15、出；（2）根据线段AB 的垂直平分线求出点C, D 的坐标，即可求出ODC 的面积，再表VV示出VCMF 的面积，由 ODC与 CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k 【详解】 0（k ）（1）由题意，得F( 3,0)A(x , y ) B(x , y )，直线l y = k x -：(3)设，1122y = k(x - 3),y消去 ，得联立(4 +1) - 8 3k2 x k2+ (12 - 4) = 0，k2x2x2+ y =1,2 48 3k2 0显然D， + =，x x4k +1122x + x4 3k2则点M 的横坐标x=12=，24k +1M24 3k2因为x= 0 ，

16、4k +1M2y所以点M 在 轴的右侧- 3k（2）由（1）得点M 的纵坐标y= ( - 3) =k x4k +1MM24 3k3k2即 (,-4k +1 4k +1)M223k14 3k2所以线段AB 的垂直平分线方程为： += - ( -) yx4k +1k4k +122第 14 页 共 18 页 3 3k3 3k令x = 0，得D(0,y 0=2) ；令，得C(,0) 4k +14k +1221 3 3k3 3k27k | k |22V所以 ODC的面积S= |2 4k| |=，+1 4k +1 2(4k +1)DODC222213 3k3k3(k +1)| k |22V= - -| |

17、=CMF 的面积S| 34k+14k +12(4k +1)DCMF22222VV因为 ODC与 CMF 的面积相等，27k | k | 3(k +1)| k |24222= ，解得k所以2(4k +1)22(4k +1)222VV= 所以当 ODC与 CMF 的面积相等时，直线 的斜率kl4【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题( )1= e - ax + x ,其中a -119已知函数 f xx22( )( )0, f 0在点 处的切线方程;( )（1）当a = 0时,求曲线y = f x( )f x

18、（2）当 = 时,求函数a 1的单调区间;( ) 1 x + x + b -对于x R 恒成立,求b a的最大值.（3）若 f x22【答案】（1）x - y +1 = 0（2）f (x) 的单调递增区间为(0, +)，单调递减区间为(-,0) .1（3） +1e【解析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；(-,+)上单调递增，且 =f (0) 0 = - +（2）求出导数，依据 f (x) e 1 x 在，分别解x( )f x 0) ，求出函数h x的最大值，即为【详解】1= e + x = +，得 f (x) e x ，（1）由 f (x)x2x2第 15

19、 页 共 18 页 所以 f (0) =1， f (0) 1=所以曲线y= f (x) 在点(0, f (0) 处的切线方程为x - y +1 = 0 1（2）由 f (x) = e - x + x ，得 f (x) e 1 x = - +x2x2(-,+)上单调递增，所以 =因为 f (0) 0 ，且 f (x) e 1 x 在 = - +x = - + 由 f (x) e 1 x 0得，x 0，x所以函数 f (x) 在(0, +)上单调递增 ， = - + 由 f (x) e 1 x 0 得，x 0 -1） = - + =由g (x) e (a 1) 0，得xg(x) g(x)与 的变化

20、情况如下表所示：x随着 变化，+ln(a 1)+-0g(x)极小值所以g(x)在(-,ln( a 1) 上单调递减，在(ln(a +1),+) 上单调递增+所以函数g(x)的最小值为g(ln(a 1) (a 1) (a 1)ln(a 1) b +=+ - + -由题意，得g (ln( a + 1)0 ，即 b - a1- (a +1)ln(a +1)=1- xln x (x 0)，则h (x)= -ln x 1 -设h(x)11因为当0 x 0 ； 当x 时，-ln x -1 0 ，ee第 16 页 共 18 页 11所以h(x) 在(0, )上单调递增，在( ,+) 上单调递减ee1e11e=max= +h( ) 1所以当x时，h(x)e112= a + 1- (a +1)ln(a +1)-所以当 + = ，ba 1，即 = - ， = 时，b a 有最大值为a1 beee11+e【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能