373用函数的观点看一元二次方程(第2课时).doc

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1、用函数的观点看一元二次方程(第3课时)【复习回顾】系数特征二次函数yax2bxc一元二次方程ax2bxc0的解一元二次不等式的解集图象(示意图)与x轴的交点ax2bxc0ax2bxc0个数坐标a00a00a00a00a00a00【要点梳理】一.二次函数与二元二次方程组的关系将函数yax2bxc（a0）与ykxm（k0）的解析式联列成方程组，则此方程组的解（x1，y1）、（x2，y2）就是两个函数的图象的交点坐标，因此，函数图象的交点情况与此方程组的解的情况有着十分密切的联系：若方程组有两个不相等的解，则相关两函数的图象有两个交点；若方程组只有一个解，则相关两函数图象有唯一的交点；若方程组无解，

2、则相关的两函数的图象没有交点.反之也成立.例1 已知抛物线和直线yxk.当k为何值时，抛物线与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？答案：由题意，得，x24x+2k2=0,=4241（2k2）=248k,当0，248k0,即k3, 抛物线与直线有两个公共点；当=0，248k=0,即k=3, 抛物线与直线只有一个公共点；当0，248k0,即k3, 抛物线与直线没有公共点【课堂操练】1如图，抛物线y1ax2bxc与直线y2mxn交于(5,2)和(3，3)两点，则当x满足条件 时，y1y2.答案：x5, x32如图，一小球从斜坡O点被抛出，球的抛出路线可用抛物线表示，斜坡可用直线表示. 求小

3、球到达最高点的坐标； 设小球的落点是A，求A点的坐标. 答案：（1）,小球到达最高点的坐标为(4,8)；将和组成方程组，解得x0，7，则A点的坐标为(7,)3（2011青海）已知一元二次方程x24x3=0的两根是m，n且mn.如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）求抛物线的解析式；若中的抛物线与x轴的另一个交点为C根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？点P在线段OC上，作PEx轴与抛物线交与点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标答案：（1）x24x+3=0的两个根为 x1=1,x2=3A点的坐标为（1,0），B点的坐标

4、为（0,3）又抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点抛物线的解析式为 y=x2-2x+3（2）作直线BC，由（1）得，y=x2-2x+3， 抛物线y=x22x+3与x轴的另一个交点为C 令x22x+3=0，解得：x1=1，x2=3，C点的坐标为（3,0），由图可知：当3x0时，抛物线的图像在直线BC的上方.(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为（a,0）,则E点坐标为（a，a22a+3），直线BC将CPE的面积分成相等的两部分.F是线段PE的中点.即F点的坐标是（a，），直线BC过点B（0.3）和C(-3,0) ，易得直线BC的解析式为y=x+3，点F在直线BC上，

5、所以点F的坐标满足直线BC的解析式，即=a+3，解得 a1=1,a2=3(此时P点与点C重合，舍去) ，P点的坐标是（1，0）二.用图象法解一元二次方程、一元二次不等式1由于二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2bxc0的解.所以，可以利用画函数图象的方法来解一元二次方程.方法一：将一元二次方程化成一般形式ax2bxc0，画出相应的二次函数yax2bxc的图象，图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2bxc0的解.方法二：在同一坐标系内画出函数yax2、ybxc的图象，两个函数图象交点的横坐标就是方程ax2bxc0的解.2根据函数y1ax2bxc（a0）和

6、y2kxm（k0）的图象，可以确定y1y2或y1y时，自变量x的取值范围.例2 已知抛物线y1=x2bxc与x轴交于点C（0，1），与直线y2=xk交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，1）.求y1和y2解析式；当x取何值时，y1y2？y1y2？y1y2？答案：由题意，得，y1=x2x1，由题意，得1=（1）k，k=，y2=x；联立y1=x2x1和y2=x组成方程组，可得x=5，1，当x5，x1时，y1y2；当x=5，1时，y1=y2；当1x5时，y1y2【课后盘点】1.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x1给出下列四个结论：b24ac；2ab=0；abc

7、=0；5ab其中正确结论是 （填序号）答案：2. （2011山东日照）如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）答案：3.直线y3x2与抛物线yx2x3的交点有 个，交点坐标为 答案：1，（1，5）.4.已知抛物线y=a(x1)(x2)经过点（1，3），则函数y的值为正数时，x的取值范围是 答案：x1，x25.已知二次函数yx2xm，对于任意实数x，都有y0，则m的取值范围是 . 答案：m6.若二次函数y(m5)x22(m1)xm的图象全

8、部在x轴的上方，则m 的取值范围是 .答案：5m7. （2011辽宁大连） 如图，抛物线yx2+2x+m（m0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧当xx22时，y_0（填“”“”或“”号）答案：8.如图二次函数yax2bxc的图象经过A 、B、C三点，观察图象，写出A、B、C三点坐标，并求出抛物线解析式；求此抛物线的顶点坐标和对称轴；观察图象，当x取何值时，y0? y0? y0?45-1OBAyxC答案：（1） A（1，0），B（0，3），C（4，5），代入二次函数yax2bxc可得： ，解得：故解析式为：yx22x3；（2）yx22x3=（x1）24，故顶点坐标为

9、：（1，4），对称轴为直线x=1；（3）观察图象可得：当x1或x3时，y0，当x=1或x=3时，y=0，当1x3时，y09. （2011黑龙江龙东）已知：抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；（2）试确定抛物线的解析式；（3）观察图像，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 yxOBA2C 答案：（1）yx3中，当y0时， x3 点A的坐标为(3，0) 当x0时，y3 点C坐标为（0，3） 抛物线的对称轴为直线x2 点A与点B关于直线x2对称 点B的坐标是（1，0）（2）设二次函数的解析

10、式为yax2bxc二次函数的图象经过点C（0，3）和点A(3，0)，且对称轴是直线x2可列得方程组： 解得：二次函数的解析式为yx24x3（或将点A、点B、点C的坐标依次代入解析式中求出a、b、c的值也可）（3）由图象观察可知，当3x0时，二次函数值小于一次函数值10. （2011黑龙江大庆）已知二次函数y=ax2bx+b（a0，b0），图像顶点的纵坐标不大于.（1）求该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围；（2）若该二次函数图像与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值.答案：（1）由于y=ax2bx+b（a0，b0）图像顶点的纵坐标为， 则，得3， 所以该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围

11、不小于3. （2）设A（x1，0），B（x2，0）(x1x2）， 则x1、x2是方程ax2bx+b=0的两个根， 得x1=，x2=， 从而AB=x2-x1= =， 由（1）可知 6. 由于当 6时,随着的增大, 也随着增大. 所以当=6时，线段AB的长度的最小值为2.11. 已知抛物线y1x22xc的部分图象如图1所示求c的取值范围；若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；若反比例函数的图象经过中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小答案：（1）根据图象可知c0且抛物线y1=x22x+c与x轴有两个交点所以一元

12、二次方程x22x+c=0有两个不等的实数根所以=（2）24c=44c0，且c0所以c1（2）因为抛物线经过点（0，1）把x=0，y1=1代入y1=x22x+c得c=1故所求抛物线的解析式为y1=x22x1（3）因为反比例函数= 的图象经过抛物线y1=x22x1上的点（1，a）把x=1，y1=a代入y1=x22x1，得a=2把x=1，a=2代入= ，得k=2所以 =画出 =的图象如图所示观察图象，y1与y2除交点（1，2）外，还有两个交点大致为（1，2）和（2，1）把x=1，y2=2和x=2，y2=1；分别代入y1=x22x1和 =可知：（1，2）和（2，1）是y1与y2的两个交点根据图象可知：当x1或0x1或x2时，y1y2当x=1或x=1或x=2时，y1=y2当1x0或1x2时，y2y17