全等三角形动点问题.doc

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1、| ABCDEF全等三角形动点问题一） 、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动热身练习：1、如图，在等腰ACB 中，ACBC5，AB8，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，DEAC，DFBC，垂足分别为 E，F，则 DEDF 2） 、例题辨析例 1、 如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=CB，AC=8

2、，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE，连接 DE、DF、EF.（1 ） 、求证：ADFCEF.（2 ） 、试证明DFE 是等腰直角三角形.（3 ） 、在此运动变化的过程中，四边形 CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由（4 ） 、求CDE 面积的最大值例 2 如图， ABC 的边 BC 在直线 上，ACBC ，且 ACBC，EFP的边 FP 也在直线 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EFFP。 |（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP 沿直线 向左平移到图 2

3、的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结 AP、BQ。猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。练习：1、 如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持 AD=CE连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角形； DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积保持不变；CDE 面积的最大值为 8其中正确的结论是（ ）A B C D2、 （ 2011 湖北随州，18，7 分）在等腰三角形 ABC 中， ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作

4、 DEDF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长|例 2：在 中， ， 交 的延长线于点 一等腰直角三角尺按如ABCACGBAG图 1 所 示 的 位 置 摆 放 ， 该 三 角 尺 的 直 角 顶 点 为 ， 一 条 直 角 边 与 边 在 一 条 直 线 上 ， 另FAC一 条 直 角边恰好经过点 （1 ）在图 1 中请你通过观察、测量 与 的长 度 ， 猜 想 并 写 出 与 满 足 的 数 量 关BF系 ， 然后证明你的猜想；（2 ） 当 三角尺沿 方 向 平 移 到 图 2 所 示 的 位 置 时 ， 一 条 直 角 边 仍 与 边 在 同 一

5、直 线 上 ，另 一 条 直角边交 边于点 ，过点 作 于点 此 时 请 你 通 过 观 察 、 测 量 、BCDEBADE与 的 长度，猜想并写出 与 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；DFGFCG（3 ） 当 三 角 尺 在 的 基 础 上 沿 方 向 继 续 平 移 到 图 3 所 示 的 位 置 (点 在 线 段 上 ，A AC且 点 与 点 不 重 合 )时 ， 中 的 猜 想 是 否 仍然成立？(不用说明理由)AB CF G图 1AB CEFG图 2DABCDE FG图 3例 3、如图，在等边ABC 中，AB=9cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 点以 2cm/s

6、 的速度移动，点 Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t 秒钟（1 ）你能用 t 表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来（2 ）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形？（3 ）若 P、Q 两点分别从 C、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？|三） 、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。四） 、

7、拓展延伸例 1、 在 Rt ABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点， EDF=90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、 CB（或它们的延长线）于 E、F.1、当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 12DFCEABCSS 2、当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S DEF 、S CEF 、S ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明例 2、 （2014德州，第 23 题 10 分）问题背景：如图 1：在四边形 ABC 中，A

8、B= AD，BAD =120，B=ADC=90 E ，F 分别是 BC，CD 上的点且EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EF =BE+DF ；|探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D =180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，

9、并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离例 3、如图 1，一等腰直角三角尺 GEF（EGF=90,GEF=GFE=45,GE=GF）的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交

10、于点 N 时，通过观察或测量BM，FN 的长度，猜想 FN，BM 相等吗？并说明理由；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由|例 4、在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换 活动一：如图 1，在 RtABC 中，D 为斜边 AB 上的一点，AD=2，BD=1，且四边形 DECF 是正方形，求阴影部分的面积小明运用图形旋转的方法，将DBF 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DGE（如

11、图 2 所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：_ 活动二：如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=C=90，BC=5，CD=3，过点 A作 AEBC，垂足为点 E，求 AE 的长小明仍运用图形旋转的方法，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADG（如图 4 所示），则四边形 AECG 是怎样的特殊四边形？答： _AE 的长是_ 活动三：如图 5，在四边形 ABCD 中，ABAD，CDAD，将 BC 按逆时针方向绕点 B 旋转 90得到线段 BE，连接 AE若 AB=2，DC=4，求ABE 的面积 例 5、已知，在 中， 为锐角， 是射线 上一动点( 与 不重

12、合)，以ABCDBCDC为一边向右侧作等边 ( 与 不重合)，连接 ADEE 若 为等边三角形，当点 在线段 上时(如图 1 所示)，则直线 与BD直线 所夹锐角为 度； 若 为等边三角形，当点 在线段 的延长线上时(如图 2 所示)，你在中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； 若 不是等边三角形，且 (如图 3 所示)试探究当点 在线段ABCBCA|上时，你在中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成BC立，请指出当 满足什么条件时，能使中的结论成立，并说明理由AB1FED CBA2B C D FAE3B C FA问题（1）中结论不成立，当ACB=60时，能使直线 BD 与直线 C

13、E 所夹锐角为 60，证明：当 CDAC 时，在 CB 上截取一点 G，使得 CG=CA，连接 AG（如图所示） ，ACB=60，GAC 是等边三角形，AC=AG，AGC=GAC=60，ADE 是等边三角形，AE=AD，DAE=60，DAE-CAD=GAC-CAD，从而CAE=GAD，ACEAGD（SAS） ，ACE=AGD=60，ECF=180-（ACB+ACE）=60，此时直线 BC 与直线 CE 所夹锐角为 60，当 CD=AC 时，点 C 与点 E 重合，不符合题意当 CDAC 时，延长 EC 到 H，在 CB 上截取一点 G，使得 CG=CA，连接 AG（如图所示） 同（1）可证AC

14、EAGDACE=AGD=180-AGC=120，HCF=DCE=120-ACB=60，此时直线 BC 与直线 CE 所夹锐角为 60点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当 CDAC 时，当CD=AC 时，当 CDAC 时得出答案是解题关键 例 6、在等边 的两边 ， 所在直线上分别有两点 为 外一点，且ABCACMND， ， ABC， ， ，探究：当点 分别爱直线 上移动0MDN120BD， ，时， 之间的数量关系及 的周长 与等边 的周长 的关系， ， NQL| MNDCBA MNDCBANMDCBA如图，当点 在边 上，且 时， 之间的N， A， NN， ，数量

15、关系式_；此时 _QL如图，当点 在边 上，且 时，猜想(1)问的两个结论M， BC， 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点 分别在边 的延长线上时，若 ，则N， A， ANx_(用 表示)QxL，5） 、课后作业1、如图，在等边 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟 1 各B单位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它们分别爬行到 D,E 处，请问（1）在爬行过程中， CD 和 BE 始终相等吗？（2 ）若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行， EB 与 CD 交于点 Q，其他条件不变，如图（

16、2）所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证：CQE60CQE|（3 ）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC 的延长线爬行，连接 DE 交 AC 于 F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确 2、如图（1）ABC 为等边三角形，动点 D 在边 CA 上，动点 P 边 BC 上，若这两点分别从C、 B 点同时出发，以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动，连接 AP，BD 交于点 Q，两点运动过程中 AP=BD 成立吗？请证明你的结论；（2 ）如果把原题中“ 动点 D 在边 CA 上，动点 P 边 BC 上， ”改为“动点 D，P 在射线 CA

17、 和射线 BC 上运动 ”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中BQP 的大小保持不变请你利用图（2）的情形，求证： BQP=60；（3 ）如果把原题中“ 动点 P 在边 BC 上”改为“ 动点 P 在 AB 的延长线上运动，连接 PD 交 BC于 E”，其他条件不变，如图（3） ，则动点 D，P 在运动过程中，DE 始终等于 PE 吗？写出证明过程（图 1） （图 2） （图 3）|3 如图，点 A，E ，F ，C 在一条直线上， AECF 过点 E，F分别作 DEAC，BFAC，连接 B，D 交 AC 于点 G，若ABCD（1）试说明 BD 平分 EF（2）若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动到如图所示位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？试说明理由4. 如图（1）， 中， ， ，垂足为 D。AF 平分 ，交 于点 E，交 CB 于点 F。