2023年双曲线知识点归纳总结.doc

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1、第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。PPPP范围，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,) (0，)离心率1)准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（）

2、的距离为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程（）（）1. 双曲线的定义 当|MF1|MF2|=2a时，则表达点在双曲线右支上； 当时，则表达点在双曲线左支上； 注意定义中的“（小于）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a=2时，即,当，动点轨迹是认为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是认为端点向左延伸的一条射线；若2a2时，动点轨迹不存在.2. 双曲线的标准方程判别方法是：假如项的系数是正数，则焦点在x轴上；假如项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，

3、因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3. 双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.4. 形如的方程可化为当，双曲线的焦点在轴上；当，双曲线的焦点在轴上；5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题： 对的判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.6. 离心率与渐近线之间的关系1） 2） 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.(4)与双曲线共渐近线的双曲线系方程是(5)与双曲线共焦点的双曲线系方程是

4、(6)当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；8. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.9. 直线与双曲线的位置关系直线： 双曲线C：（0，0） 1) 当，即时，直线与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；2) 当b2-a2k20，即时，=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) 时，直线与双曲线相交，有两个公共点 时，直线与双曲线相切，有且仅有一个公共点 时，直线与双曲线相离，无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用解决方法直线： 双曲线C：（0，0） 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入双曲线方程，得 将两式相减，可得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，11. 焦点三角形面积公式：。