2022年双曲线知识点归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_其次章 2.3双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程（焦点在 x 轴）标准方程（焦点在 y 轴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲线x 2y 2a 2b 21a0, b0y 2x 2a 2b 21 a0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第肯定义：平面内与两个定点F1, F2 的距离的差的肯定值是常数（小于F1F2 ）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

2、精品资料_MMF1MF22a2aF1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yPyy yxF2xFFx x12P定义F1其次定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当e1 时,动点的轨迹是双曲线.定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e（ e1 ）叫做双曲线的离心率.PyyyyPPFx2xxF1F2xPF1范畴xa , yRya , xR对称轴x 轴 , y 轴.实轴长为 2a , 虚轴长为 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对 称 中心原点O 0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品_精品资料_焦 点 坐F1c,0F2 c,0F10,cF20, c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标焦点在实轴上,ca2b2 .焦距：F1F22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶 点 坐标（a ,0 ） a ,00,a , 0, a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率ec e1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2xy准 线 方cc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧.两准线间的距离：2a 2c可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品_精品资料_顶 点 到准 线 的距离顶点 A1（ A2 ）到准线顶点 A1（ A2 ）到准线2l1 （ l 2 ）的距离为 aac2l 2 （ l1）的距离为 aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2焦点 F （ F ）到准线 l （ l ）的距离为a焦 点 到1212cc2准 线 的焦点 F （ F ）到准线 l （ l ）的距离为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距离渐近线方程共 渐 近线 的 双1yb xax 2y 2221k （ k0 ）cya xby 2x 2ck （ k0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22曲

5、 线 系ab方程a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 双曲线的定义当| MF1| | MF2 |=2 a 时,就表示点 M 在双曲线右支上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 MF2MF12a 时,就表示点 M 在双曲线左支上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意定义中的 “（小于之和之差小于第三边” .F1F2）”这一限制条件,其依据是“三角形两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 2a=2 c 时,即MF 1MF 2F1

6、F2, 当 MF1MF 2F1F2,动点轨迹是以F2 为端点向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右延长的一条射线. 当条射线.MF2MF1F1F2时,动点轨迹是以F1 为端点向左延长的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 2a 2 c 时,动点轨迹不存在 .2. 双曲线的标准方程判别方法是：假如 x 2 项的系数是正数,就焦点在 x 轴上. 假如 y 2 项的系数是正数,就焦点在 y 轴上.对于双曲线, a 不肯定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上 .3. 双曲线的内外部x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_(1) 点P x , y 在双曲线1a0, b0 的内部001 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a 2b2x2y2a 2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 点P x , y 在双曲线1a0, b0 的外部001 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a 2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224. 形如 AxBy1 AB0 的方程可化为 xy12211AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 10, 1AB当 10, 1AB0 ,双曲线的焦点在 y 轴上.0 ,双曲线的焦点

8、在 x 轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求双曲线的标准方程,应留意两个问题： 正确判定焦点的位置.设出标准方程后,运用待定系数法求解 .6. 离心率与渐近线之间的关系c2a 2b 2b2e21a 2a 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21） e1b a2） bae21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y 2x2y2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ）如双曲线方程为22abb1渐近线方程：xy220yx .abax2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2

9、) 如渐近线方程为 yx a0双曲线可设为22.abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(3) 如双曲线与 xa 2222y1 有公共渐近线, 可设为 xy b 2a 2b 2（0 ,焦点在 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴上,0 ,焦点在 y 轴上） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(4) 与双曲线 xa22(5) 与双曲线 xa22y1共渐近线的双曲线系方程是b22y1共焦点的双曲线系方程是b2x2y20a 2b 2x2y21a 2kb2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 当ab时离心率 e2两渐近线相互垂直,

10、分别为 y=x ,此时双曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线为等轴双曲线,可设为x 2y2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 双曲线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221 双曲线 xy1a0,b0 上一点P x , y 处的切线方程是x0 xy0y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b200a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）过双曲线a 2b21a0, b0 外一点P x0, y0 所引两条切线的切点弦方程可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品_精品资料_x0xy0y是 221 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ） 双 曲 线221aab0,b0与 直 线4 F 2A 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A xB y0 相C 切的条件是A2a 2B 2b 2c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 直线与双曲线的位置关系x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l ： ykxmm0双曲线 C：2a21 （ a 0, b 0）b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxm x 2y2a 2b21b2a2 k 2 x 22a 2mkxa 2 m2a 2b 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2221) 当ba k0 ,即kb 时,直线 l 与双曲线的渐进线 _平行_,直线与双a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 C相交于一点.2当 b2-a 2k2 0,即kb 时, =-2a 2mk2-4b 2-a 2k2 -a 2k2 -a 2m2 -a 2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 时,直线 l 与双曲线 相交,有两个公共点0 时,直线 l 与双曲线 相切,

13、有且仅有一个公共点0 时,直线 l 与双曲线 相离,无公共点3直线与双曲线只有一个公共点 , 就直线与双曲线必相切吗 .为什么.（不肯定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l ： ykxmm0双曲线 C： x2a 2y1 （ a 0, b 0）2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 联立方程法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxm x 2y2a 2b21b2a2 k 2 x 22a 2mkxa 2 m2a 2b 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品_精品资料_设交点坐标为A x1, y1 ,B x2,y2 ,就有0 , 以及 x1x2 , x1x2 ,仍可进一步求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2kx1mkx2mk x1x2 2m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y ykxm kxmk 2 x xkmxx m212121212在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如22a. 相交弦 AB的弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB1kx1x21k 2 x1x 24 x1 x21k 2a可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品_精品资料_或AB112 y1y2k112 y1ky 24 y1 y21k 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. 中点M x0, y0 ,x0x1x2 , y 2y1y222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 点差法： 设交点坐标为A x1, y1 , B x2,y2 ,代入双曲线方程,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x221y1122xy221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a2b2将两式相减,可得可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 x1 a 2x2 y1y2 y1 b2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2b2 xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121x1x2a yy2b2 xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. 在涉及斜率问题时,kAB121a2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M x0, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2b2x022b2 x02,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2a2 y0a y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即kABb2x00a2 y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 焦点三角形面积公式： Sb, F PF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2F1PF212tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载