矩阵求逆.ppt

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1、矩阵求逆矩阵求逆1.2.1 线性方程组的同解变换 对于线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。这三种变换都称为初等变换初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组(1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。定理定理1.1 1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。此性质在矩阵中如何体现呢？此性质在矩阵中如何体现呢？初等行变换 row初等列变换 column交换i,j两行数乘第 i 行

2、数乘第 i行加到第 j 行交换i,j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列2.1.2 矩阵的初等变换例例 用矩阵的初等变换解线性方程组用矩阵的初等变换解线性方程组解解 将矩阵的增广矩阵作将矩阵的增广矩阵作行初等变换行初等变换所以，方程组的解为所以，方程组的解为1.2.3 初等矩阵定义定义1.9 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有三种类型:ijij(1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij；对调E中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；用不为零的数乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。(

3、3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩阵记为Cij()。初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：R Rijij-1-1=R=Rijij（R Ri i()）-1-1=R=Ri i(1/(1/)（R Rijij()）-1-1=R=Rijij()初等矩阵与初等变换有什么关系呢？例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=aij3n,A=aij32,B=bij33的乘积:用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。不难证明下面的一般结论:Ri

4、(c)A表示A的第i行乘c;Rij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BCij表示B的第i列与第j列对换位置.初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵.由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即v所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,即定理定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆。矩阵A经过有限次初等变换后得到B，就说A与B等价等价.记为AB。可以表示为B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积，Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积。定理定

5、理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换后的矩阵仍然是可逆阵。证明证明 设A可经有限次初等变换化为矩阵B，则存在初等矩阵P1，P2，Pm，Q1，Q2，Qn，使得B=P1P2PmAQ1Q2 Qn成立由于A，Pi，Qj（i=1，2，m；j=1，2，n）均可逆，所以B可逆。定理定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明证明 设A为n阶可逆矩阵。因为A是可逆矩阵，所以A第一列不能全为零。这样就可以通过初等变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：有可逆性知

6、b22,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：类似地可以证明，C33,Cn3中至少有一个不为零。并通过适当的行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元素全部变为零。重复下去，最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式：将此上三角阵的第n行乘以适当参数，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全变为零：第n-1行乘以适当的数，加到上面各行中，可以使

7、第n-1列的非对角元素全变为零；依此类推，最后可以得到单位阵。定理定理1.5 方阵P P为可逆阵的充分必要条件是P P可以表示为有限 个初等矩阵的乘积。1.2.4 用初等行变换求逆矩阵 由定理1.5可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积。设A=P1P2Pt则有 Pt-1P2-1P1-1A=E 且 Pt-1P2-1P1-1 E=A-1 上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换，在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。即得 Pt-1P2-1P1-1（AE）（E A-1）用初等变换求逆矩阵：把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到 对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成E，则右半部分就变成例例1.71.7 设 A A=解解 求A A.所以 A A1=注意注意 在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。例例求矩阵的逆。解解求矩阵的逆。结束结束