圆过定点问题.docx

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1、一、 问题背景圆过定点问题是高考中常见的题型，是圆的特殊性质，圆的方程在高考中是C级要求，对圆的性质要求学生会运用。因此对计算的要求也比拟高，圆相比拟椭圆与双曲线的性质更具有特殊性。因此在近几年各地的高考中属于常考题型。二、 常见的方法特殊化，消元法，换元法整体换元、三角换元等，主要思想方法：数形结合、函数与方程思想。范例例1.二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为1求实数c的取值范围；2求的方程；3问是否经过某定点其坐标与c的取值无关？请证明你的结论【解题分析】1令x=0求出y的值，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令fx=0，根据与x轴交点有两个得到c不为0且根的判别式的值

2、大于0，即可求出c的范围；2设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x2+Dx+F=0，这与x2x+=0是同一个方程，求出D，F令x=0得，y2+Ey+F=0，此方程有一个根为c，代入得出E，由此求得圆C的一般方程；3圆C过定点0，与，证明：直接将点的坐标代入验证【解法】：1令x=0，得抛物线与y轴的交点0，c，令fx=3x24x+c=0，由题意知：c0且0，解得：c且c0；2设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得到x2+Dx+F=0，这与x2x+=0是一个方程，故D=，F=；令x=0，得到y2+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c2+cE+=0，解得：

3、E=c，那么圆C方程为：x2+y2xc+y+=0；3圆C必过定点0，与，理由为：由x2+y2xc+y+=0，令y=，解得：x=0或，圆C必过定点0，与，【点评】此题主要考察圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，表达了转化的数学思想，属于中档题变式1.圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B.(1) 假设APB60，试求点P的坐标；(2) 假设P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3) 求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标例2定点G3，0，S是圆

4、C：X32+y2=72C为圆心上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E设点E的轨迹为M1求M的方程；2是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由【解题分析】1由条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方程（2） 假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，其方程为y=x+m，由，得3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x2【解法】：1由题知|EG|=|ES|，|EG|+|EC|=|

5、ES|+|EC|=6又|GC|=6，点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，动点E的轨迹方程为=14分2假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，其方程为y=x+m，由消去y，化简得3x2+4mx+2m218=0直线l与椭圆C相交于A，B两点，=16m2122m2180，化简得m227，解得3 x1+x2=，x1x2=以线段AB为直径的圆恰好经过原点，=0，所以x1x2+y1y2=0又y1y2=x1+mx2+m=x1x2+mx1+x2+m2，x1x2+y1y2=2x1x2+mx1+x2+m2=+m2=0，解得m=11分由于3，3，符合题意的直线l存在，所求的直

6、线l的方程为y=x或y=x2【点评】此题考察点的方程的求法，考察满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用变式2椭圆,点是椭圆上异于顶点的任意一点,过点作椭圆的切线,交轴与点直线过点且垂直与,交轴与点试判断以为直径的圆能否经过定点？假设能,求出定点坐标;假设不能,请说明理由.变式3圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，假设存在求出直线L的方程，假设不存在说明理由例3在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x+12+y2=1，圆C2：x32+y42=1判断圆C1与圆C2的位置关系；假设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长

7、，那么动圆C是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由【解题分析】求出两圆的圆心距离，即可判断圆C1与圆C2的位置关系；根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论【解法】：C1：x+12+y2=1的圆心为1，0，半径r=1，圆C2：x32+y42=1的圆心为3，4，半径R=1，那么|C1C2|=，圆C1与圆C2的位置关系是相离设圆心Cx，y，由题意得CC1=CC2，即，整理得x+y3=0，即圆心C在定直线x+y3=0上运动设Cm，3m，那么动圆的半径，于是动圆C的方程为xm2+y3+m2=1+m+12+3m2，整理得：x2+y26y22mxy+1=0由，解得或，即所求的

8、定点坐标为1，2，1+，2+【点评】此题主要考察圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考察学生的计算能力。例4如下图，圆C：x2+y2=r2r0上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N1求圆C的方程；2试问：直线MN是否经过定点？假设经过定点，求出此定点坐标；假设不经过，请说明理由【解题分析】1根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程；2根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论【解法】：1，点在圆C：x2+y2=r2上，故圆C的方程为x2+y2=42设Px0，

9、y0，那么x02+y02=4，直线BD的方程为xy2=0，直线AP的方程为y=+2联立方程组，得M，易得N0，kMN=2X=直线MN的方程为y=x+，化简得yxx0+2xy0=2y2x*令，得，且*式恒成立，故直线MN经过定点2，2【点评】此题主要考察圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，考察学生的计算能力变式4.O：x2y21与点M(4,2)(1) 过点M向O引切线l，求直线l的方程；(2) 求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为 4的M的方程；(3) 设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？假设存在，请举出一例，并指

10、出相应的定值；假设不存在，请说明理由四、练习1.08江苏设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求实数b 的取值范围；求圆C 的方程；问圆C 是否经过某定点其坐标与b 无关？请证明你的结论2.定点G3，0，S是圆C：X32+y2=72C为圆心上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E设点E的轨迹为M1求M的方程；2是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由3.如图，点A，B，C是椭圆的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线上的两个动点。 当点P的纵坐标为1时，

11、求证：直线CD与BP的交点在椭圆上； 设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。4.椭圆C:的左、右焦点分别是，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：PAB的外接圆经过定点5如图，椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，xyOyABNFPM 设直线的斜率分别为，求证：为定值；求线段的长的最小值；当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论 6.直线与双曲线相交于两点，(1)求的取值范围(2)当为何值时，以为直径的圆过坐标原点.第 12 页