圆过定点问题xx(9页).doc

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1、-一、二、三、 圆过定点问题xx-第 9 页四、 问题背景圆过定点问题是高考中常见的题型，是圆的特殊性质，圆的方程在高考中是C级要求，对圆的性质要求学生会运用。因此对计算的要求也比较高，圆相比较椭圆和双曲线的性质更具有特殊性。因此在近几年各地的高考中属于常考题型。五、 常见的方法特殊化，消元法，换元法（整体换元、三角换元）等，主要思想方法：数形结合、函数与方程思想。范例例1.二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为（1）求实数c的取值范围；（2）求的方程；（3）问是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论【解题分析】（1）令x=0求出y的值，确定出抛物线与y轴的交

2、点坐标，令f（x）=0，根据与x轴交点有两个得到c不为0且根的判别式的值大于0，即可求出c的范围；（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x2+Dx+F=0，这与x2x+=0是同一个方程，求出D，F令x=0得，y2+Ey+F=0，此方程有一个根为c，代入得出E，由此求得圆C的一般方程；（3）圆C过定点（0，）和（，），证明：直接将点的坐标代入验证【解法】：（1）令x=0，得抛物线与y轴的交点（0，c），令f（x）=3x24x+c=0，由题意知：c0且0，解得：c且c0；（2）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得到x2+Dx+F=0，这与x2x+=0

3、是一个方程，故D=，F=；令x=0，得到y2+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c2+cE+=0，解得：E=c，则圆C方程为：x2+y2x（c+）y+=0；（3）圆C必过定点（0，）和（，），理由为：由x2+y2x（c+）y+=0，令y=，解得：x=0或，圆C必过定点（0，）和（，）【点评】本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题变式1.已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B.(1) 若APB60，试求点P的坐标；(2) 若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M

4、交于C、D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3) 求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标例2已知定点G（3，0），S是圆C：（X3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E设点E的轨迹为M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解题分析】（1）由已知条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方程（2） 假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x

5、+m，由，得3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x2【解法】：（1）由题知|EG|=|ES|，|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6又|GC|=6，点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，动点E的轨迹方程为=1（4分）（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，由消去y，化简得3x2+4mx+2m218=0直线l与椭圆C相交于A，B两点，=16m212（2m218）0，化简得m227，解得3 x1+x2=，x1x2=以线段AB为直径的圆恰好经过原点，=0，所以x1x2

6、+y1y2=0又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=0，解得m=（11分）由于（3，3），符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x2【点评】本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用变式2已知椭圆,点是椭圆上异于顶点的任意一点,过点作椭圆的切线,交轴与点直线过点且垂直与,交轴与点试判断以为直径的圆能否经过定点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.变式3已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦A

7、B为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=1（）判断圆C1与圆C2的位置关系；（）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【解题分析】（）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C1与圆C2的位置关系；（）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论【解法】：（）C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径r=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=1的圆心为（3，4），半径R=1，则|C1C2|=，圆C1与圆C2

8、的位置关系是相离（）设圆心C（x，y），由题意得CC1=CC2，即，整理得x+y3=0，即圆心C在定直线x+y3=0上运动设C（m，3m），则动圆的半径，于是动圆C的方程为（xm）2+（y3+m）2=1+（m+1）2+（3m）2，整理得：x2+y26y22m（xy+1）=0由，解得或，即所求的定点坐标为（1，2），（1+，2+）【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力。例4如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直

9、线DP与y轴相交于点N（1）求圆C的方程；（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由【解题分析】（1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论【解法】：（1），点在圆C：x2+y2=r2上，故圆C的方程为x2+y2=4（2）设P（x0，y0），则x02+y02=4，直线BD的方程为xy2=0，直线AP的方程为y=+2联立方程组，得M（，），易得N（0，），kMN=2X=直线MN的方程为y=x+，化简得（yx）x0+（2x）y0=2y2x（*）令，得，且（*）式恒成立，故直线MN经过定点（2，2）【

10、点评】本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力变式4.已知O：x2y21和点M(4,2)(1) 过点M向O引切线l，求直线l的方程；(2) 求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为 4的M的方程；(3) 设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由四、练习1.（08江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）

11、？请证明你的结论2.已知定点G（3，0），S是圆C：（X3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E设点E的轨迹为M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由3.如图，点A，B，C是椭圆的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线上的两个动点。 （）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上； （）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。4.椭圆C:的左、右焦点分别是，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：PAB的外接圆经过定点5如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，xyOyABNFPM （）设直线的斜率分别为，求证：为定值；（）求线段的长的最小值；（）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论 6.直线与双曲线相交于两点，(1)求的取值范围(2)当为何值时，以为直径的圆过坐标原点.