第27届全国中学生物理竞赛决赛试题-答案~.doc

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1、|一、 （25 分）填空题1 （6 分）24kRM2 ， （4 分）fVuf3 （6 分）10gTpA4 ， ， （9 分）17.ms812.0s5.40Vh2eEpcy2keVm二、 （20 分）1令 表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度， （1）11sincosincosgag物块滑到斜面底端的速度（2）0 12ct4.0m/ssinhv以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小。 （3）205.0/sV运动方向与传输带边缘的夹角 满足。 （4）4tan3物块在传输带上作减速运动，其加速大小为|。 （5）22mga当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离， （6）201vsag物

2、块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数 应满足2（7）20sinsivdg因此可得。 （8）20sin.5vgd2物块对传输带的摩擦力大小， （9）02Fv方向与 的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为 ，单位时间内物0 V块对传输带所做的功， （10）cosWFV因此负载所引起的附加功率。 （11）2640P考虑到无负载时电机的输出功率。2003IER（12）有负载时电机的输出功率为|。 （13）01WP设有负载时的工作电流为 ，则I， （14）2IER解之得。 （15）10A评分标准：（2）式 2 分， （3） 、 （4）式共 2 分， （6）式 2 分， （7）式 3 分，（8）式

3、1 分， （9）式 4 分， （10）式 2 分， （13）式 2 分， （15）式 2 分。三、 （20 分）设轻杆的杆长为 ，当杆与水平线的夹角为 时，球 1 和球 2 的速度分别为l 和 ，杆转动的角速度为 。因机械能守恒，有1v2 。 （1）2210sinsimgllmv又因， （2）12vl可由（1） 、 （2）解得（3）sin3gl轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量， （4）12Lmlv由角动量定律有。 （5）2cossLgllt根据角加速度 的定义|，t（6）由（2） 、 （4） 、 （5） 、 （6）各式得。cos3gl（7）当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球

4、1 的切向加速度和法向加速度分别为（8）lta（9）lt以 表示沿垂直于轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小，以 表示沿着1N 1f轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有， （10）2cos2ltmga（11）1inltf由（3） 、 （9） 、 （10） 、 （11）各式得。 （12）14cosNg。 （13）0in3fm对 2 球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小与沿着轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 分别为N f， （14）24cos3g|。 （15）21sin3fmg由（12） 、 （14）式可知，杆与小球 1、杆与小球 2 的最

5、大静摩擦力相等，而（13） 、 （14）式表明小球 1 与杆的摩擦力大于小球 2 与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球 1 先滑动。设 1 球开始滑动时，细杆与水平线夹角为 ，1则 ，11fN即 ， （16）103sincos34mgg由（16）式并代入数据得。 （17）16当 时，球 1 开始向外滑动。由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，球 1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计，因此球 1 脱离细杆与水平线夹角也为 。16球 1 一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球 2 与轻杆间的相互作用立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜舞女运动，注意到（2

6、） 、 （3） 、 （7）各式，抛出时的初速度。 （18）10sin3glvl初速度的方向与水平线的夹角。 （19）0123|在球 2 作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于时，球 2 便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系 ，根据斜抛运动规律可l Oxy得任意 时刻（取球 2 开始作抛体运动的时刻为计时起点）球 2 的位置坐标t， （20）10cosxlvt， （21）2iniyltg球 2 脱离细杆时有。 （22）2lx利用（17） 、 （18） 、 （19）各式得， （23）203lttg从而解得。 （24）

7、153ltg此时。 （25）2561xly设球 2 脱离细杆时细杆与水平线夹角也为 （如图） ，则2， （26）235cos6xl|（或 弧度） 。 （27）235arcos78.261.36评分标准：（3）式 2 分， （7）式 3 分， （12）（15）式各 1 分， （16）式 2分， （17）式 1 分， （18）式 2 分， （19）式 1 分， （20）（22）式各 1 分，（26） 、 （27）式各 1 分。四、 （15 分）解法 1：以 表示质点 的质点， 表示连线 与竖直方向的夹角， 表示转动角mBBC速度， 表示 间排斥力的大小。根据牛顿定律有Cf， （1）21 1sins

8、isinABBfmA， （2）coc0Cff， （3）22 2sinsisinACBff。 （4）coc0Cff由（1） 、 （3）两式并利用（2） 、 （4）两式可得。 （5）1122sinsinABCABf 考虑到几何关系 21sinA（6）并利用已知 和 的表示式。可由（5）得到ABfC|（7）212sinaABC又，由（2） 、 （4）式可得 。 （8）21cosABCf带入已知的 和 的表达式可得ABf。 （9）21cosC联立（7） 、 （9）从而有。 （10）2211sincosinco如果 ，则意味着方程2（11）sinco0C在 区间有两个不同的解，其中 为某一合适的常数。这

9、要求函数02， C在 区间不能是单调函数，也就是说 和 不sinco02， sin2cos能同时为单调增函数或单调减函数。因此当 增大时，若 增大，则i应减小；反之，若 减小，则 应增大，故 与 同2cossin2cos 2号。因此有（12）0。 （13）2a对 ，可知 在 及 时均为零，因此 在2sinco022sinco|区间一定存在极值点，意味着方程（11）在 合适选取的情况下必02， C有两个或两个以上的不同解。对 亦然。因此条件（12） 、 （13）是符合2a题意要求的充分必要条件。评分标准：（1）（4）式各 1 分， （6）式 1 分， （10）式 6 分， （12） 、（13）式

10、及其以下说明共 4 分。解法 2：如图，设 、 间的排斥力是 ，它们受到 的吸引力分别是 、 ，BCfAABfC向心力分别是 、 ，距离 分别是 、 ；根据三1f21r2角形的相似关系，有， （1a）1CABfrD。 （2a）2ff以上两式相比可得（3a）12CABffr依题意有， （4a）12ABCfr， （5a）1122sinfEFr， （6a）1cosDBA将（4a）（6a）代入（3a ）得。 （7a）112221incossrr|由（7a）得。 （8a）2211sincosinco之后的讨论与“参考解答 1”相同。评分标准：考虑“参考解答 1”。五、 （15 分）以 表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为 ，温度ap ap为 ，以 表示其体积。当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的TV温度为 ，体积减小为 ，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有10（1）01aT在这一过程中，容器中空气内能的增加量为， （2）02.5aaUpV大气所考察空气做功为（3）0aaWv若以 表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力第一定律有Q。 （4）U由以上四式得（5）13.5aaTpV（5）式给出的 是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热Q量传给冰山。