电磁场与电磁波第三版课后答案.pdf

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1、第二章习题解答第二章习题解答40U0d4 3x2 3，式中阴极板位9于x 0，阳极板位于x d，极间电压为U0。如果U0 40V、d 1cm、横截面（1）x 0和x d区域内的总电荷量Q；（2）x d 2和x d区域内S 10cm2，求：的总电荷量Q。2.12.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为 d解解（1）Q（d4 32 3d(U dx)Sdx 0004940U0S 4.721011C3d）2Qd414114 32 3(1)U S 0.9710C(U dx)Sdx 000033d92d 22.22.2一个体密度为 2.32107C m3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束

2、，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解解质子的质量m 1.71027kg、电量q 1.61019C。由12mv qU2得v 2mqU 1.37106m s故J v 0.318A m2I J(d 2)2106A2.32.3一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r r，且r r与z轴的夹角为，则P点的线速度为v v r r e ersin球内的电荷体密度为故J J v v e eQ34a 3Q3Qrsin e ersin334a

3、 34a2.42.4一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r r，且r r与z轴的夹角为，则P点的线速度为v v r r e easin球面的上电荷面密度为故J JSv v e eQ4a2QQasin e esin24a4a2.52.5两点电荷q18C位于z轴上z 4处，q2 4C位于y轴上y 4处，求(4,0,0)处的电场强度。解解电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为E E1r r r r12 e ex4e ez440r r r r130(4 2)3q1电荷q2在(4,

4、0,0)处产生的电场为q2r r r r21e ex4e ey4E E2 40r r r r230(4 2)3故(4,0,0)处的电场为E E E E1 E E2e exe eye ez232 202.62.6一个半圆环上均匀分布线电荷l，求垂直于圆平面的轴线上z a处的电场强度E E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题 2.6 图所示。解解半圆环上的电荷元ldllad在轴线上z a处的电场强度为2l(e eze ex2)le e(e e cose e sin)dzxy8 2a8 20a202.72.7三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为l1、l2和l3地线电荷构成等边三角形。设l12l

5、22l3，计算三角形中心处的电场强度。题lar r r rd 340(2a)le ez(e excose eysin)da8 20在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a处的电场强度为E E(0,0,a)d E E dE E 解解建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为则d L3tan30 L26l13l1(cos30 cos150)e ey40d20L33l1E E2(e excos30 e eysin30)l2(e ex3e ey)2L8L题 2.7003l33l1E E3(e excos30 e eysin30)(e ex3e ey)20L80LE E1e ey故等边三角形

6、中心处的电场强度为E E E E1E E2E E33l13l13l13l1(e ex3 e ey)(e ex3 e ey)e ey20L80L80L40L2.82.8点电荷q位于(a,0,0)处，另点电荷2q位于(a,0,0)处，空间有没有电e ey场强度E E 0的点？解解电荷q在(x,y,z)处产生的电场为E E1qe ex(xa)e eyye ezz222 3 240(xa)y z 电荷2q在(x,y,z)处产生的电场为2qe ex(xa)e eyye ezzE E2 40(xa)2 y2 z23 2(x,y,z)处的电场则为E E E E1 E E2。令E E 0，则有e ex(xa)

7、e eyy e ezz2e ex(xa)e eyy e ezz222 3 2222 3 2(xa)y z(xa)y z 由上式两端对应分量相等，可得到(xa)(xa)2 y2 z23 2 2(xa)(xa)2 y2 z23 2y(xa)2 y2 z23 2 2y(xa)2 y2 z23 2z(xa)2 y2 z23 2 2z(xa)2 y2 z23 2当y 0或z 0时，将式或式代入式，得a 0。所以，当y 0或z 0时无解；当y 0且z 0时，由式，有(xa)(xa)3 2(xa)(xa)3解得x (3 2 2)a但x 3a2 2a不合题意，故仅在(3a 2 2a,0,0)处电场强度E E

8、0。2 2 9 9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上z z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。解解半径为r、电荷线密度为ldr的带电细圆环在z轴上z z0处的电场强度为rz0dr2 3 220(r2z0)故整个导电带电面在z轴上z z0处的电场强度为dE E e ezE E e ezrz0drz01e ez2 3 22 1 220(r2z0)20(r2z0)03z0e ez0203z0而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z z0处的电场强度为E Ee ez题0rz0drz01e ez2 3 22 1 220(r2z0)20(r2

9、z0)e ez01E E4022.102.10一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B B。解解球面上的电荷面密度为Q4a2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r r e era点处的电流面密度为J JSv v r r e eze era Qe easin e esin4a将球面划分为无数个宽度为dl ad的细圆环，则球面上任一个宽度为dl ad细圆环的电流为dI JSdl Qsind4细圆环的半径为b asin，圆环平面到球心的距离d acos，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的

10、磁场为0Qa2sin3d0Qsin3ddB B e ez e eze ez223 222223 22(b d)8(a sina cos)8a3 Qsin0Q0故整个球面电流在球心处产生的磁场为B B e ed e ez0z8a6a2.112.11两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题 2.11 图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B B e exBx；（2）证明：在中点处d Bxd x等于零；（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxd x2也等于零。解解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度B B e ez得到两个线圈中

11、心点处的磁感应强度为B B e ex0b2dI0Ia22(a z)223 20NIb2(b d4)223 2（2）两线圈的电流在其轴线上x(0 x d)处的磁感应强度为题0NIb20NIb2B B e ex22 3 222 3 22b(d x)2(b x)22dB3NIb x3NIb(d x)x00所以 d x2(b2 x2)5 22b2(d x)25 2故在中点x d 2处，有22dB3NIb d 23NIb d 2x00 2 025 2225 2dx2b d42b d42222d B15NIb x3NIbx00（3）2227 2225 2d x2(b x)2(b x)150NIb2(d x

12、)230NIb222 7 222 5 22b(d x)2b(d x)25d41，有 0 0 xd 2227 2225 2b d4b d4即5d24 b2 d24故解得d b2.122.12一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，在 第 一 象 限 内 的 磁 感 应 强 度 为通过的电流为I。证明Ir0I，By0ln2式中、r1和r2如题Bx 4ar14a2d Bx令d x22.12 图所示。解解将导体带划分为无数个宽度为dx的细条带，每一细题条带的电流dI 处的磁场为Idx。由安培环路定理，可得位于x处的细条带的电流dI在点P(x,y)2a0I d x0dI0I d x22 1 24

13、a(x x)y 2R4aR0Iyd x则dBx dBsin 224a(x x)y 0I(x x)d xdBy dBcos224a(x x)y dB 所以 x x 0IBx arctan4a(x x)2 y24aya a x a x0I arctanarctan4ayy xa xa 0I arctanarctan4ayyII0(21)04a4aaa0Iyd xaa0I(x x)d xBy224a(x x)y a0I(xa)2 y20Ilnr2ln224ar18a(xa)yI0ln(x x)2 y28aaa2.132.13如题 2.13 图所示，有一个电矩为p p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一

14、个电矩为p p2的电偶极子，位于矢径为r r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为Fr3p1p2(sin1sin2cos2cos1cos2)440r式中1r r,p p1，2r r,p p2，是两个平面(r r,p p1)和(r r,p p2)间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解解电偶极子p p1在矢径为r r的点上产生的电场为13(p p1r r)r rp p1E E1340r5r所以p p1与p p2之间的相互作用能为题13(p p1r r)(p p2r r)p p1p p2Wep p2E E1340r5r因为1r r,p p1，2r r,p p2，则p p1r

15、r p1rcos1p p2r r p2rcos2又因为是两个平面(r r,p p1)和(r r,p p2)间的夹角，所以有2(r r p p1)(r r p p2)r p1p2sin1sin2cos另一方面，利用矢量恒等式可得(r r p p1)(r r p p2)(r r p p1)r r p p2r2(p p1p p2)(r r p p1)(r r p p2)因r2p p1(r r p p1)r r p p2此1(r r p p1)(r r p p2)(r r p p1)(r r p p2)p1p2sin1sin2cos p1p2cos1cos22rp1p2(sin1sin2cos2cos

16、1cos2)于是得到We40r3(p p1p p2)故两偶极子之间的相互作用力为p1p2d1sinsincos2coscos()(3)1212qconst40dr r3p1p2(sin1sin2cos2cos1cos2)40r4由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。FrWer2.142.14两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力F Fm。解解 无限长直线电流I1产生的磁场为B B1 e e10I12r直线电流I2每单位长度受到的安培力为F Fm12I2e ezB B1d z e e1200I1I22d0I1I22d式中e e12是由电流

17、I1指向电流I2的单位矢量。同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为F Fm21 F Fm12 e e122.152.15一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为Fm0I1I2(sec1)这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解解无限长直线电流I1产生的磁场为题IB B1 e e0 12r圆环上的电流元I2dl l2受到的安培力为0I1I22x由题 2.15 图可知dl l2(e exsine ezcos)adx d acos20aI1I2F F(e ezsine excos)d所以m

18、2(d acos)0dF Fm I2dl l2B B1 dl l2e ey0aI1I22cose exd2(d acos)0aI I2d2e ex01 2()e ex0I1I2(sec1)2aad2a22.162.16证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p p绕坐标原点所受到的力矩为r r(p p)E E p pE E。解解 如题 2.16 图所示，设p pqdl l(dl 1)，则电偶极子p p绕坐标原点所受到的力矩为T T r r2qE E(r r2)r r1qE E(r r1)(r rdl l2)qE E(r rdl l2)(r rdl l2)qE E(r rdl l2)qr rE E(r

19、 rdl ldl lqdl ldl l2)E E(r r2)2dl lE E(r r2)E E(r r2)当dl 1时，有E E(r rdl l2)E E(r r)(dl l2)E E(r r)E E(r rdl l2)E E(r r)(dl l2)E E(r r)故得到T T r r(qdl l)E E(r r)qdl lE E(r r)r r(p p)E E p pE E题 2.16图第三章习题解答第三章习题解答3.13.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1 图所示)。解解由点电荷q和q共同产生的电通密度为q赤道平面D

20、 D aqR RR R334RRe err e ez(za)qe err e ez(za)24r(za)23 2r2(za)23 2z0则球赤道平面上电通密度的通量D D dS S D D e ezSSdS q题 3.1 图aqa1(1)q 0.293q22 1 2(r a)023.23.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为 Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze 1r D D e e过实验得到球体内的电通量密度表达式为023，试证明之。r4rraZe解解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为D D1

21、 e er4r2Ze3Ze 原子内电子云的电荷体密度为 4ra334ra3q(a)a2rdr 22 3 222 3 24(r a)(r a)0ab电子云在原子内产生的电通量密度则为c0aZe 1r 234rra题 3.3 图(a)33.33.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为0C m,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c b a)，如题 3.3 图(a)所示。求空间各部分故原子内总的电通量密度为D D D D1 D D2e er4r33Ze rD D2 e er e er234r4ra的电场。解解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱

22、面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布，如题 3.3 图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在r b区域中，由高斯定律E E dS S Sq0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点Pb200b2r ra200a2r r e er E E1产生的电场分别为E E1 e er2220r20r20r20rbbc0a0cab0ac题 3.3 图(b)b2r ra2r r(22)点P处总的电场为E E E E1 E E120rr在r b且r a区域中，同理可求得

23、大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为r2r ra2a2r r e erE E2 e er E E2220r2020r20r0a2r r(r r 2)点P处总的电场为E E E E2 E E220r在r a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为r200r rr20r r e erE E3 e er 0E E320r2020r2000E E E E E E(r r r r)c c点P处总的电场为3320203.43.4半径为a的球中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为r3 Ar2Dra5 Aa4r2(r a)(r a)其中A为常数，试求电荷密度(r)。解：由 D

24、 D，有(r)D D 故在r a区域(r)01 d2(r Dr)2r dr1 d23r(r Ar2)0(5r24Ar)2r dr541 d(a Aa)2在r a区域(r)02r 02r drr3.53.5一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为4的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E E e er(r a)，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为1 d21 d2r4r30 E E 02(r E)02(r4)604r drr draar322（2）球体内的总电

25、量Q为Q d6044r dr 40aa0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，2Q 20所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为4a23.63.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a和r b(b a)，圆柱表面分别带有密a度为1和2的面电荷。（1）计算各处的电位移D D0；（2）欲使r b区域内D D0 0，则1和2应具有什么关系？解解（1）由高斯定理D DS0dS S q，当r a时，有D D 001a1ra1b2r当a r b时，有2rD02 2a1，则D D02 e er当b r 时，有2rD03 2a12b2，则D D03 e er

26、1ba1b2（2）令D D03 e er 0，则得到2ar3.73.7计算在电场强 度E E e exy e eyx的电场中把带电量为2C的点电 荷从点2P（1）沿曲线x 2y；（2）沿连接该两点1(2,1,1)移到点P2(8,2,1)时电场所做的功：的直线。解解（1）W F F dl l q E E dl l q Exd x Eyd y CCC2qyd x xd y qyd(2y2)2y2d y C12q6y2d y 14q 28106(J)1（2）连接点P1(2,1,1)到点P2(8,2,1)直线方程为x2x8即x6y 4 0y1y2故2W 2qyd x xd y qyd(6y 4)(6y

27、4)d y C1q(12y4)d y 14q 28106(J)13.83.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E E，并用E E 核对。解解（1）建立如题3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为zL 2L 2(r,0)PL 2l0dz40r z22L 2l0ol0ln(zr2 z2)40rL 22r2(L 2)L 2l0ln2240r(L 2)L 22r2(L 2)L 2l0ln20rL 2题 3.8 图（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元l0dz在点P的

28、电场为dE E e erdEr e erl0dz20r2 z2cose erl0rdz20(r2 z2)3 2故长为L的线电荷在点P的电场为L 2E E dE E e er0l0rdz20(r2 z2)3 2l0ze er()20rr2 z2L 20e erl0L40rr2(L 2)22l0L 2r2(L 2)E E ln20r由E E 求E E，有l0r1e el0e err40r20L 2r2(L 2)2r2(L 2)2rLr2(L 2)2rPl3.93.9已知无限长均匀线电荷l的电场E E e er，试用定义式(r)E E dl l求其20rr电位函数。其中rP为电位参考点。rPrP解解

29、(r)E E dl l rrlrrdr llnrrllnP20r2020rP由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。3.103.10一点电荷q位于(a,0,0)，另一点电荷2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。解解 两个点电荷q和2q在空间产生的电位(x,y,z)140令(x,y,z)0，则有(xa)y z(xa)y z120222222(xa)y z(xa)y zq2222q222222222即4(xa)y z (xa)y z524a)y2 z2(a)23354由此可见，零电位面是一个以点(a,0,0)为球心、a为半径的球面。33Ze1r23()3.113.11证明习题 3.2 的

30、电位表达式为(r)40r2ra2raZe解解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为D D1 e er24r4ra33Ze电子云在原子外产生的电通量密度则为D D2 e er e er4r24r2故得(x所以原子外的电场为零。故原子内电位为3.123.12电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为Ze1r23Zea1r()(r)Ddr()d r 2340r2ra2ra0 r40 rrra1rar(r)0a2(r)A(r)cosrr ar a（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解解（1）由E E，可得到r a时，E E 0a2

31、a2r a时，E E e erA(r)cose eA(r)cosrrrra2a2e erA(12)cose eA(12)sinrr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0n n E Era0e erE Era20Acos3.133.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足2 0（1）sin(kx)sin(ly)enhz其中h2k2l2；（2）r cos(n)Asin(n)圆柱坐标；cos(n)圆柱坐标；（4）rcos球坐标；（3）r（5）r2ncos球坐标。222222解解（1）在直角坐标系中2xyz22hz2hz而sin(kx)sin(ly)e k s

32、in(kx)sin(ly)e22xx22hz2hzsin(kx)sin(ly)e l sin(kx)sin(ly)e22yy22hz2hzsin(kx)sin(ly)e h sin(kx)sin(ly)e22zz2222hz故(k l h)sin(kx)sin(ly)e 01 22(r)222（2）在圆柱坐标系中r rrr z2而1 1(r)rrncos(n)Asin(n)n2rn2cos(n)Asin(n)r rrr rr1 22n2n rcos(n)Asin(n)22r 22n2r cos(n)Asin(n)02zz2故 0（3）1 1(r)rrncos(n)n2rn2cos(n)r rr

33、r rr1 22n2 n rcos(n)22r 22n2rcos(n)02zz2故 0（4）在球坐标系中1 21122(r)2(sin)222r rrr sinr sin1 21 2(r)2r2(rcos)cos而2r rrr rrr11(sin)sin(rcos)22r sinr sin122(rsin)cos2r sinr2211(rcos)0222222r sinr sin2故 01 21 2(r)2r2(r2cos)2cos（5）2r rrr rrr112(sin)sin(rcos)22r sinr sin1222(rsin)cos24r sinr2211(r2cos)0222222r

34、 sinr sin2故 03.143.14已知y 0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?2（1）eycoshx；（2）eycosx；（3）e 2ycosxsin x（4）sinxsinysinz。2y2y2y解解（1）2(ecoshx)2(ecoshx)2(ecoshx)2eycoshx 0 xyz所以函数eycoshx不是y 0空间中的电位的解；2y2y2y(ecosx)2(ecosx)2(ecosx)eycosxeycosx 0（2）2xyz所以函数eycosx是y 0空间中可能的电位的解；2 2y2 2y2 2y(ecosxsinx)2(ecosxsinx)2(ecos

35、xsinx)（3）2xyz4e所以函数e2y2ycosxsin x2e 2ycosxsin x 0cosxsin x不是y 0空间中的电位的解；222（4）(sinxsin ysinz)2(sinxsin ysinz)2(sinxsin ysinz)2xyz3sin xsin ysinz 0所以函数sinxsin ysinz不是y 0空间中的电位的解。3.153.15中 心 位 于 原 点，边 长 为L的 电 介 质 立 方 体 的 极 化 强 度 矢 量 为P P P0(e exxe eyy e ezz)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。解解（1）P P

36、 P 3P0P(x)n n P PL2L2xL 2 e exP PxL 2LP02LP0 xL 2xL 22LLLLL同理P(y)P(y )P(z)P(z )P022222L32q ddS 3P L 6L P0 0（2）PPP02SP(x )n n P P e exP P3.163.16一半径为R0的介质球，介电常数为r0，其内均匀分布自由电荷，证明中心2r1()R02点的电位为2r30解解由D D dS S q，可得到S4r3r R0时，4r D13D1rrE 即D1，1r03r0334R02r R0时，4r D233D1R0R03，E2即D22030r23r2故中心点的电位为22R03rR

37、R21200(0)E1drE2dr drdr r()R023 3r6r0302r30r000R0R3.173.17一个半径为R的介质球，介电常数为，球内的极化强度P P e erK r，其中K为00R0R0一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解解（1）介质球内的束缚电荷体密度为p P P 在r R的球面上，束缚电荷面密度为p n n P PrR1 d2KK(r)r2drrr2K e erP PrRR（2）由于D D 0E E P P，所以 D D 0 E E P P 即(10 D D P P0)D D P P0pK(0)r2由此

38、可得到介质球内的自由电荷体密度为 D D 0 P P KR14RK2q d4r dr 总的自由电荷量2r0 00（3）介质球内、外的电场强度分别为P PK e er(r R)0(0)rqRKE E2 e er e e(r R)r40r20(0)r2E E1介质球内、外的电位分别为R1E E dl l E1dr E2dr rRrRKRKdr dr 2(0)r(0)rrR0KRKln(r R)(0)r0(0)2E2dr rRKRKdr(r R)2()r(0)r00r03.183.18（1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度P的表达式。解解（1）由D

39、D 0E E P P，得束缚电荷体密度为P P P D D0 E E在介质内没有自由电荷密度时，D D 0，则有P0 E E由于D D E E，有 D D (E E)E E E E 0所以 E E E E 由此可见，当电介质不均匀时，E E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度P的表达式为P0 E E 0E E 3.193.19两种电介质的相对介电常数分别为r1=2 和r2=3，其分界面为z=0 平面。如果已知介质 1 中的电场的E E1 e ex2y e ey3xe ez(5 z)那么对于介质 2 中的E E2和D D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2

40、中任意点的E E2和D D2？解解设在介质 2 中E E2(x,y,0)e exE2x(x,y,0)e eyE2y(x,y,0)e ezE2z(x,y,0)D D20r2E E2 30E E2在z 0处，由e ez(E E1 E E2)0和e ez(D D1 D D2)0，可得e ex2ye ey3x e exE2x(x,y,0)e eyE2y(x,y,0)253E(x,y,0)002z于是得到E2x(x,y,0)2yE2y(x,y,0)3xE2z(x,y,0)10 3故得到介质 2 中的E E2和D D2在z 0处的表达式分别为E E2(x,y,0)e ex2y e ey3xe ez(10

41、3)D D2(x,y,0)0(e ex6y e ey9xe ez10)不能求出介质 2 中任意点的E E2和D D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.203.20电场中一半径为a、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为1 E0rcos2 03cosa E02r a20r30E rcosr a200验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解解在球表面上1(a,)E0acos030aE0cos E acos2020030E0acos202(0)13 E cosE cos E cosra0r200200302 E cosrar20012故有1(a

42、,)2(a,)，0rararr2(a,)可见1和2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为30(0)E0cosrara203.213.21平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度d(0)用介电常数为的电介质填充，如题 3.21 图所示。2(1)(1)板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；pn n P P2(0)e erE E2(0)2r(2)(2)若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；(3)(3)求电容器的电容量。解解（1）设介质中的电场为E E e ezE，空气中的电场为E E0 e ezE0。由D D0，有zd 2E 0E0

43、dd又由于E E0 U022题 3.21 图d 2U0由以上两式解得E 20U02U0E ，0(0)d(0)d故下极板的自由电荷面密度为20U0(0)d20U0 E 上极板的自由电荷面密度为上00(0)d20(0)U0P P ()E E e e电介质中的极化强度0z(0)d20(0)U0 e e P P 故下表面上的束缚电荷面密度为p下z(0)d20(0)U0上表面上的束缚电荷面密度为p上 e ezP P (0)d20UQ（2）由ab(0)dE E0(0)dQU 得到12 ab02(0)QE E故p下1ab(0)QE E00p上 ab20abQC 3（）电容器的电容为题 3.22 图U(0)d

44、3.223.22厚度为t、介电常数为 40的无限大介质板，放置于均匀电场E E0中，板与E E0下E 成角1，如题3.22 图所示。求：（1）使24的1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。tan10解解（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有tan2110tan2 tan10 tan114由此得到1 tan4（2）设介质板中的电场为E E，根据分界面上的边界条件，有0E0nEn，即0E0cos1En1所以En0E0cos1E0cos144介质板左表面的束缚电荷面密度p(0)En 0E0cos14 0.7280E034介质板右表面的束缚电荷面密度p(0)En0E0cos14 0.7280

45、E0343.233.23在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E E0和D D0：（1）平行于E E的针形空腔；（2）底面垂直于E E的薄盘形空腔；（3）小球形空腔（见第四章4.14 题）。解解（1）对于平行于E E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E E0 E E。故在针形空腔中E E0 E E，D D00E E00E E（2）对于底面垂直于E E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D D0 D D。故在薄盘形空腔中D D0 D D E E，E E0D D00E E03.243.24在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y

46、0)处的1一直变化到另一极板(y d)处的2，试求电容量。解解由题意可知，介质的介电常数为1 y(21)d设平行板电容器的极板上带电量分别为q，由高斯定理可得DyqSEydDyq1 y(21)dS所以，两极板的电位差U Eyd y 02qqdd y ln y()dSS()1212110d故电容量为C S(21)qUd ln(21)733.253.25一体密度为 2.3210 C m的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。解解在质子束内部，由高斯定理可得2rEr10r2r2.32107r1.31104rV m(r 103m)故Er12

47、2028.85410在质子束外部，有2rEr10a2a22.32107106211.3110V m(r 103m)故Er1220r28.85410rr3.263.26考虑一块电导率不为零的电介质(,)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J J时，体积内将出现自由电荷，体密度为 J J()。试问有没有束缚体电荷P？若有则进一步求出P。解解 D D (E E)(J J)J J()J J对于恒定电流，有 J J 0，故得到 J J()介质中有束缚体电荷P，且J JP P P D D0 E E J J()0()0J J()J J(0)J J()3.273.27填充有两层介质的同

48、轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2，电导率为1和2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。解解（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由J J dS S I，可得电流密度SI(a r c)2rJ JI(a r b)介质中的电场E E1 e er12r1J JI(b r c)E E2 e er22r2J J e erbc由于U0E E1dr r E E2dr r abI21lnbIclna22b于是得到I 212U02ln(

49、b a)1ln(c b)J J e er故两种介质中的电流密度和电场强度分别为12U0(a r c)r2ln(b a)1ln(c b)2U0(a r b)E E1 e err2ln(b a)1ln(c b)1U0(b r c)E E2 e err2ln(b a)1ln(c b)（2）由 n n D D可得，介质 1 内表面的电荷面密度为11e erE E1介质 2 外表面的电荷面密度为ra12U0a2ln(b a)1ln(c b)2 2e erE E2两种介质分界面上的电荷面密度为rc21U0c2ln(b a)1ln(c b)(1221)U012(1e erE E12e erE E2)rbb2

50、ln(b a)1ln(c b)Uln(b a)1ln(c b)（3）同轴线单位长度的漏电阻为R 02I212212由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为C 2ln(b a)1ln(c b)3.283.28半径为R1和R2(R1 R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为0(1 K r)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。解解设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以4rJ JI电场强度E E e er40(r K)rR2J J e erI2(R1 r R2)(R1 r