2022年北师大八年级数学上册第一章勾股定理导学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 本章课标要求：探究勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简洁的实际问题；探究勾股定理（1）学习目标：1明白勾股定理的发觉过程,把握勾股定理的内容,会用 面积法证明勾股定理；2培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和才能；了 解我国古代在勾股定理讨论方面所取得的成就；学习重点 ：勾股定理的内容及证明；学习难点 ：勾股定理的证明；自助探究 11、2002 年北京召开了被誉为数学界“ 奥运会” 的国际 数学家大会,这就是当时采纳的会徽 知道它. 你知道这个图案的名字吗？你的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传 2500 年前,古希腊三角形

2、三边的某种数量关系. 的数学家毕达哥拉斯在伴侣 家做客时,发觉伴侣家用地 砖铺成的地面中反映了直角1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 引导同学观看三个正方形之间的面积的关系；2 引导同学把面积的关系转化为边的关系 结论：等腰直角三角形三边的特别关系：. 斜边的平方等A于两直角边的平方和. 3、等腰直角三角形有上述性质,B其它直角三角形也有这个性质吗？CCAB4、猜想：5 动手操作、验证猜想：（二）动手在纸上作出几个直角三角形,分别测量它们的三条边,填写好下表观看三条边的平方有什么关系？ 其中 a、b 是两直角

3、边长, c 是斜边长 a 2 b 2 c2 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - J 结论我们古代把直角三角形中较短的直角边称为,较长的直角边称为,斜边称为 从 而 得 到 著 名 的 勾 股 定理：假如用a、 b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么课题检测 1. 求出以下直角三角形中未知边的长度；2、求斜边长 17 厘米、一条直角边长 15 厘米的直角三角形的面积3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 巩固练习 1在 AB

4、C中, C90 ,（l ）如 a 5,b12,就 c （2）如 c5,a3,就 b2等腰 ABC的腰长 AB10cm,底 BC为 16cm,就底边上的高为,面积为；3 ABC中, AB15,AC13,高 AD12,就 ABC的周长为；4一个抽斗的长为 条最长能是多少？24cm,宽为 7cm,在抽斗里放铁条,铁总结评判 ：今日的学习,我学会了：我在 方面的表现很好,在方面表现不够,以后要留意的是：总体表现（优、良、差） ,愉悦指数（兴奋、一般、痛楚）；探究勾股定理（2）4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、学习目

5、标：1、明白多种拼图方法,验证勾股定理,感受解决同一个问 题方法的多样性；2、通过实例进一步明白勾股定理,应用勾股定理进行简洁 的运算和证明；,3、进一步体会数形结合的思想以及数学学问之间内在联系；二、学习重点：通过自主学习验证归纳勾股定理；并进行应用；三、学习过程：（一）、学前预备：1、每位同学预备四个全等的直角三角形；2、自主阅读课本本节内容；（二）、自学、合作探究：活动一：各小组用8 个同样大小的直角三角形；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 活动二： 各小组派代表上来展现自己的拼图,并说出它的特点；摸索

6、1：你能由图 1表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？图1 2：你能由图 2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？3、请利用图3 验证勾股定理图2 a 名师归纳总结 图3 b c 第 6 页,共 28 页4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你仍有哪c 些方法？摆摆看；6 a b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （三）小结反思：懂得这种数学方法,习惯上称为“ 算两 次” ；例题讲解例题：飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4000 米处,过了 20 秒,飞机距离这个男孩 子头顶 5

7、000 米,飞机每小时飞行多少千米？基础训练 1如ABC 中, C=90 ,（ 1）如 a=5, b=12,就 c= ；（2）如 a=6,c=10,就 b= ；（3）如 ab=34,c=10,就 a= ,b= . 2某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为 2m,宽为 1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木棒加固,木板 的长为 .3直角三角形两直角边长分别为 的高为 . 5cm,12cm,就斜边上4等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,就面积7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为；一棵 9m高的树被风折

8、断,树顶落在离树根3m之处,如要查看断痕,要从树底开头爬多高？学问拓展7折叠长方形ABCD的一边 AD,使点 D落在 BC边的 F点处,如 AB=8cm,BC=10cm,求 EC的长 . AFDEBC总结评判 ：今日的学习,我学会了：我在 方面的表现很好,在 方面表现不够,以后要留意的是：总体表现（优、良、差） ,愉悦指数（兴奋、一般、痛楚）；能得到直角三角形吗 一、学习目标 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、把握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理） ,并能进行简洁应用；这是本节的重点和难点；2、懂得

9、勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区分；二、自学感知 阅读课本第 17-18 页,解决以下问题：用量角器量 1、分别以以下每组数为三边作出三角形,一量,它们都是直角三角形吗 . 13,4,5, 26, 8, 10 2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能 得到什么结论？3、满意 a 2+b 2=c2的三个,称为勾股数；4、以下几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的 理由；（1）9,12,15; 215,36,39 ；（） 12,35,36；（） 12,18,22 三、典型例题 1：假如将直角三角形的三条边扩大相同的倍数,得到的三 角形仍是直角三角形吗？2、填写下表,并验证你所填的数

10、是否满意“ 勾股数”9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 倍3 倍4 倍5 倍3,4,5 6,8,10 15,36,39 32,60,68 70,240,250 5,12,13 8,15,17 7,24,25 四、课堂练习1、 以 下 列 各 组 数 为 边 长 , 能 构 成 直 角 三 角 形 的 是（）、, 15,17；、,；、, 10；、 8,39,40 、如 的三边、满意（）（ 2 2）,就 是（）、等腰三角形、 直角三角形、 等腰直角三角形 、等腰三角形或直角三角形 、 已 知 ： 在 ABC 中

11、, 三 条 边 长 分 别 为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1n 1 ；试判定ABC的外形 . 、如下列图,四边形中,10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,求四边形的面积；六、达标检测、以下几组数中,为勾股数的是（） A、4,5,6 B、12,16,20 C、-10 ,24,26 D 、2.4 ,4.5 ,5.1 2 、将直角三角形的三边扩大同样的倍数,得到的三角形是（） A、锐角三角形 B 、直角三角形 C、钝角三角形 D 、都有可能 3、如 图 所 示 的 一 块 草 地,已 知AD=4m

12、,CD=3m,AB=12m,BC=13m, 且 CDA=90 0, 求这块草地的面积； 4 、如下列图,在ABC 中, AB=13,BC=10,BC 边上的中线11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - AD=12,B 与 C相等吗？为什么？总结评判：今日的学习,我学会了：我在 方面的表现很好,在 方面表现不够,以后要留意的是：总体表现（优、良、差） ,愉悦指数（兴奋、一般、痛楚）；蚂蚁怎样走最近【学习目标 】运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简洁的实际问12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页

13、,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题；【学习重点 】探究、发觉问题中隐含的勾股定理及其逆定理,并用它们解决实际问题；【自学感知 】解决以下问题：1、自己做一个圆柱, 在圆柱的上下底面上分别标出两点,摸索并找出这两点之间的最短路线？画出图形说明； 2 、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时,需将 绽开,转化为求平面上两点之间的；3、如下列图,假如只给你一把带刻度的直尺,你能否检验MPN是不是直角,简述你的作法；【自学探究与合作沟通】【自学 1】1、有一个圆柱它的高等于12 厘米,底面半径等于3 厘米；在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,他想吃到上底面上与 1

14、3 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 点相对的 B 点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（参看P.22 页图 118）利用学具,尝试从 A 点到 B 点沿圆柱侧面画出几条线路,你觉得那条线路最短？由问题及图 换得以化简的；【合作 1】119 想一想,此问题是通过怎样的转B BA 立体图形中的两点之间的最短距离A（2）如图,将圆柱侧面剪开绽开成一个长方形,从 A点到 B 点的最短路线是什么（3）蚂蚁从 A点动身,想吃到面爬行的最短路程是多少？.你画对了吗 . B点上的食物,它沿圆柱侧解：依题意, 把圆柱

15、的侧面展成如下列图的长方形,路 线 问 题 就 变 成 了 根 据求最短 求 12cm三角形边的问题；【自学 2】A8cm8cm 2 、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,你能帮 蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是 多少？在你的学具上画出几条线路,你认为将长方体侧面 绽开 有几种方式？反思：此问题是将立体的线路问题先为平面的线路问题,再利用所学数学常识解决问题；【课堂练习 】应用勾股定理及直

16、角三角形的判定解决简洁的实际问题 1、做一做：课本 P23. 【今日作业 】1、如图,一座城墙高11.7 米,墙外有一个11.7cm宽为 9 米的护城河,那么一个长为15 米15cm的云梯能否到达墙的顶端？9cm15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固练习 】2、如图,有一个高1.5 米,半径是1 米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入 一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米,问这根铁棒最长应有多长？2、在我国古代数学著作九章算术中记载了一道 有 趣的问题, 这个问题的意思是：有一 个水池

17、,水面是一个边长为 10 尺的 正方形在水池正中心有一根新生的芦苇, 它高出水面1 尺假如把这根芦苇垂直拉向岸边, 它的顶端恰好到 达岸边的水面 请问这个水池的深度 图 1 和这根芦苇的长度各为多少？勾股定理复习 学习目标16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 懂得勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边 . 2. 勾股定理的应用 . 3. 会运用勾股定理的逆定理,判定直角三角形 . 重点：把握勾股定理及其逆定理 . 难点：懂得勾股定理及其逆定理的应用 . 一. 复习回忆在本章中, 我们

18、探究了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途； 本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用其学问结构如下：二、示例类型一 已知两边求第三边例 1在直角三角形中 , 如两边长分别为 1cm,2cm ,就第三边长为 _类型二 构造 Rt ,求线段的长例 2如图,将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD折叠,使 C点与 A点重合,求 EB的长17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - AFDAEDACPBECBCB例 3如图, P为边长为 2 的

19、正方形 ABCD对角线 AC上一动 点, E为 AD边中点,求 EP+DP最小值；例 4、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 20dm、3dm、2dm,A和 B是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁, 想到 B点去吃可口的食物, 就蚂蚁沿着台阶 面爬到 B点最短路程是 _ dm. 类型三 判别一个三角形是否是直角三角形例 5、如图,正方形ABCD中,F 为 DC的中点, E为 BC上一点,且 CE=1 4BC你能说明 AFE是直角吗？A DFBEC类型四实际运用例 6、由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭；近日,A城气象局测得沙尘暴中心在A城18 名师

20、归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的正西方向240km的 B处,以每时 12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图） ,距沙尘暴中心150km的范畴为受影响区域； A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？如 A城受到这次沙尘暴的影响,那么遭受影响的时间有多长？北西BA东类型五、拼图例 6、在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如下列图 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 _S1、S2、S3、S4,就 S1 S2S3 S4S11S22S33lS4三. 课堂检测8cm,1两只小鼹

21、鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖另一只朝左挖, 每分钟挖 6cm,10 分钟之后两只小鼹鼠相距（）B 100cm C 140cm A 50cm D80cm 2小明想知道学校旗杆的高,他发觉旗杆上的绳子垂到地面仍多 1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发觉下端刚好接触地面,就旗杆的高为（）19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 8cm B 10cm C 12cm D14cm 3在 ABC中, C90 ,如 a5,b12,就 c4等腰 ABC的面积为 12cm 2,底上的高 AD3cm,就它的周长为5等边 AB

22、C的高为 3cm,以 AB为边的正方形面积为6一个三角形的三边的比为51213,它的周长为60cm,就它的面积是7有一个小伴侣拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1 尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽 4 尺求竹竿高与门高8如图 3,台风过后,一期望学校的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？八年级上册第一章勾股定理练习题 20 8m 图 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1 、 下 列 各 组 数 中

23、 不 能 作 为 直 角 三 角 形 的 三 边 长 的 是 A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15. 2、适合以下条件的 ABC 中 , 是直角三角形的个数为a1,b1,c1;25a6 ,A=45 0; A=32 0, B=58 0; 345a7,b24,c;a2 ,b2,c4.A. 2 个; B. 3个; C. 4个; D. 5个. 3、已知直角三角形两直角边的长为 形的斜边的长度为（）A 和 B,就该直角三角A、A B B 、2AB C 、A-B D 、A2B24、直角三角形的两直角边分别为 上的高是（）5 厘米、 12

24、 厘米,就斜边A、6 厘米 B、8 厘米 C、80 厘米 D13、60 厘米 135、如等腰三角形腰长为 积为 10cm,底边长为 16 cm,那么它的面21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2D.12 cm2于离地面5 米处6、如图,一棵大树在一次强台风中折断倒下,倒下部分与地面成 30 夹角,这棵大树在折断前的306 高度为（）A10 米 B15 米C25 米 D30 米7、如一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边比斜边短1cm,就斜边长为

25、（）C.24 cm A.18 cm B.20 cm D.25 cm 8、一部电视机屏幕的长为58 厘米 , 宽为 46 厘米 , 就这部电视机大小规格（实际测量误差忽视不计）（）A.34 英寸（ 87 厘米） B. 29 英寸（ 74 厘米） C. 25 英寸（64 厘米） D.21英寸（ 54 厘米）名师归纳总结 9、一块木板如下列图,已知22 AB4, BC 3,DCD A B C 第 9 题第 22 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12,AD13, B90 ,木板的面积为 A60 B30 C24 D12 10、小明想知道学校旗杆

26、的高,他发觉旗杆上的绳子垂到地面仍多 1m,当它把绳子的下端拉开 5m后,发觉下端刚好接触地面,就旗杆的高为（）A8cm B10cm C12cm D14cm 11、已知 Rt ABC中, C90 ,如 a b 14 cm,c 10 cm,就 Rt ABC的面积为（）2 2 2A.24cm B.36cm C.48cm北2D.60cmA 东12、已知,如图,一轮船以16 海里 / 时的速度从港南 第 12 题图口 A 动身向东北方向航行,另一轮船以 12 海里 / 时 的速度同时从港口 A动身向东南方向航行, 离开港口 2小时后,就两船相距（）A、25 海里 B、30 海里 C、35 海里 D、4

27、0 海里二、填空题13、在 ABC中,C90 ,如 a5,b12,就 c14、在 ABC中, C90 ,如 c10,a b34,就SRt AB23 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15、如图,从电线杆离地面3 米处向地面拉一条长为5 米的拉 线 , 这 条 拉 线 在 地 面 的 固 定 点 距 离 电 线 杆 底 部 有米；16、如图,沿倾斜角为30 的山坡植树,要求相邻俩棵树的水平距离AC 为 2m,那么相邻两棵树的斜坡距离.173AB 约为m；（精确到 0.1m,可能用到的数据21. 41,3）；17、已

28、知一个三角形的三边长分别是12cm,16cm,20cm,就这个三角形的面积为；18、在高 5m,长 13m的一段台阶上铺上地毯,台阶的剖面图如下列图,地毯的长度至少需要15 题 三、解答题16 题_m135m 18 题 19、如图, 一次“ 台风”过后, 一根旗杆被台风从离地面 2 . 8米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部 9 米处,那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？24 2.8米名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20、一架梯子的长度为 离墙底端为 7 米；25 米,如图斜靠在墙上,梯子顶端这个梯子顶端离地

29、面有多高？假如梯子的顶端下滑了 动了几米？4 米,那么梯子的底部在水平方向滑25 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 21、如图,海中有一小岛A,在该岛四周10 海里内有暗礁,今有货船由西向东航行,45o 的 B 处,往东航行开头在 A 岛南偏西 20 海里后达到该岛南偏西 30o 的 C处,之后连续向东航行,你认为货船连续向东航行会有触礁的危急吗？运算后说明理由；22、如图,长方体的长为 点 B 离点 C 5 cm ,15 cm,宽为 10 cm,高为 20 cm,26 名师归纳总结 - - - - - - -第

30、 26 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 行的最短距离是多少？A 爬到点 B,需要爬C5BA1524 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC6cm,BC8cm,现将直角边AC沿直线 AD折叠,使它恰好落在斜边AB上,且与 AE重合,求 CD的长AECDB27 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25、咖菲尔德（ Garfeild,1881 年任美国其次十届总统）利用图 7 证明白勾股定理（1876 年 4 月 1 日,发表在新英格兰训练日志上）,现在请你尝试他的证明过程；B和 D为直角；A a b c C c a E B b D 28 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 28 页