最新微分方程习题PPT课件.ppt

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1、微分方程习题微分方程习题基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、

2、主要内容一、主要内容非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(5)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程其中其中形如形如(6)全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为(7)可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如公式法公式法:观察法观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通

3、过观察直接找出积分因子积分因子常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用积分因子可选用积分因子3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系

4、数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.7 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变

5、量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)，当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时,常用幂级数解法常用幂级数解法.8 8、幂级数解法、幂级数解法二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易

6、法利用常数变易法例例3 3解解方程为全微分方程方程为全微分方程.(1)利用原函数法求解利用原函数法求解:故方程的通解为故方程的通解为(2)利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为(3)利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为例例4 4解解非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为例例5 5解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例6 6解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解

7、为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即例例解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为解解例例这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程代入原方程得代入原方程得(1)和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为(2)(2)的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为(2)的通解为的通解为设设(1)的特解为的特解为得得(1)的通解为的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为解解例例1010则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得测测 验验 题题测验题答案测验题答案结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！60