最新微分方程习题课 (2)PPT课件.ppt

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1、微分方程习题课微分方程习题课(2)(2)1一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法类型类型2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型解法解法4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通解为解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常

2、系数非齐次线性微分方程设方程为设方程为则方程有特解则方程有特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根设方程设方程则方程有特解则方程有特解其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方

3、程的通解解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ，作变换作变换 ，则有，则有移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得将将 代入，有代入，有即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为例例2 求解方程求解方程 ，解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得由求解公式得例例4 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为1.；2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，

4、故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为方程变形为方程变形为即有即有2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则1.；2.由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解例例 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为5.设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程故故再积分得通解再积分得通解复习复习:一阶线性微分方程通解公式一阶线

5、性微分方程通解公式 例例6 6 设设提示提示:对积分换元对积分换元,则有则有解初值问题解初值问题:答案答案:二阶线性二阶线性非齐次非齐次总习题解答提示总习题解答提示求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示:(6)令令则方程变为则方程变为P353 题题2P353 题题3特征根特征根:齐次方程通解齐次方程通解:令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解为原方程通解为特解设法有何变化特解设法有何变化?求解求解提示提示:令令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得则求解过程中得问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?P354 题题4(2)