二分法求函数零点的近似解及零点个数.doc

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1、课 题函数求零点问题教学目标深刻了解函数的应用，用二分法求函数零点的近似解及零点个数重点、难点二分法就函数零点的近似解及零点个数考点及考试要求函数零点问题的综合应用教学内容函数与方程一、目标认知学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联 系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似

2、解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点 3.二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述

3、性质同样成立.4.二次函数的零点的应用利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二

4、分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 .计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令；继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时

5、函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1求下列函数的零点.(1)；(2).思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：(1)由得，所以函数的零点是；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是1，-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一

6、反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.解：(1)由求根公式解得(2)方程可化为 由知 所以函数的零点为1，-3；函数的零点为-3，1，2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则_ .解：用数形结合法 作出 及的图象，作出 及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故 类型二、确定函数零点的个数2二次函数中，则函数的零点的个数是( )A1B2C0D无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判别式.解法1： 方

7、程有两个不相等的实数根 函数有两个零点，选B.解法2： ， 不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.类型三、用二分法求函数的零点的近似值3求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1，21.5-2.6251.5，21.750.23441.5，1.751.625-1.30271.625，1.751.6875-0.56181.6875，1.751.71875-0.1709由上表计算可知，区间1.6875，1.75的长度1.75-1.6875=0.06250.1，所以可以将1.6875的近

8、似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：由，可知函数的一个正零点在区间中；取的区间中点；计算；由于，则有零点的新区间为取的区间中点；计算；由于，则有零点的新区间为；取的区间中点；计算；由于，则有零点的新区间为；取的区间中点；计算；由于，则有零点的新区间为；取的区间中点计算；由于，则有零点的新区间为；取的区间中点；计算；由于，由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.

9、类型四、用二分法解决实际问题4中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间500，1000的中点750，如果主持人说低了，就再取750，1000的中点875；否则取另一个区

10、间500，750的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）A. B. C. D. 2.有两个互为相反数的零点的函数()A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.4.

11、设函数是-1，1上的增函数，且，则方程在-1，1内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是()A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值()A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()二、填空题1.三次方程在下列连续整数_之间有根.-2与-1-1与00与11与22与32.函数的零点是_.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).