高中数学7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题.doc

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1、7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题2014高考会这样考1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案复习备考要这样做1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表

2、示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数欲求最大值或最小值的一次解析式可行域约束条件所表示的平面区域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题3应用

3、利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 难点正本疑点清源1确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当

4、b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值1若点(1,3)和(4，2)在直线2xym0的两侧，则m的取值范围是_答案5m10解析由题意可得(213m)2(4)2m0，即(m5)(m10)0，5m0解析平面区域的边界线方程为1，即xy10.所以平面区域满足不等式是xy10.3完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条件是_答案4(2012课标全国)设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_答案3,3解析作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x2y0，并

5、向左上，右下平移，当直线过点A时，zx2y取最大值；当直线过点B时，zx2y取最小值由得B(1,2)，由得A(3,0)zmax3203，zmin1223，z3,35(2012四川改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_元答案2 800 解析设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则z300x400y.作出

6、可行域，如图阴影部分所示作直线300x400y0，向右上平移，过点A时，z300x400y取最大值，由得A(4,4)，zmax300440042 800.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_思维启迪：画出平面区域，显然点在已知的平面区域内，直线系过定点，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可答案解析不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.探究提高不等式组表示的平面区域是各个不等式

7、所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求 已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为_答案1解析其中平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k1.题型二求线性目标函数的最值例2已知x，y满足条件，求4x3y的最大值和最小值思维启迪：目标函数z4x3y是直线形式，可通过平行移动，求最值解不等式组表示的区域如图所示可观察出4x3y在A点取到最大值，在B点取到最小值解方程组，得

8、，则A(1，6)解方程组，得.则B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分别为14，18.探究提高(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系 (2011广东改编)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为_答案4解析由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)的坐标代入zxy得z的最大值为4.题型三线性规

9、划的简单应用例3某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？思维启迪：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于

10、作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立解得x100，y200.点M的坐标为(100,200)，zmax3 000x2 000y700 000(元)即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元探究提高解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答 (1)(2012江西改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，

11、投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为_答案30亩，20亩解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大(2)如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么PQ的最小值为_答案解析如图，当P取点，Q取点(0

12、，1)时，PQ有最小值为.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值典例：(14分)变量x、y满足，(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围审题视角(x，y)是可行域内的点(1)z可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线的斜率(2)x2y2可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线距离的平方(3)x2y26x4y13(x3)2(y2)2可以理解为点(x，y)与(3,2)的距离的平方结合图形确定最值规范解答解由约束条件，作出(x，y)的可行域如图所示由，解得A.由，解得C(1,1)由，解得B(5,2)4分(1)z.z的值即是可行域中

13、的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.7分(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dminOC，dmaxOB.2z29.10分(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.16z64.14分温馨提醒(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义(3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺

14、乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.方法与技巧1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次函数zaxby (ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值最优解在顶点或边界取得3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题失误与防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时

15、，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1设A(x，y)|x，y,1xy是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是下列中的_(填序号)答案解析由已知得即2(2011湖北改编)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点的个数为_答案1解析在坐标平面内画出直线2xy100与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个3(2012山东改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是_答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3xy0，并向左

16、上、右下平移由图可得，当直线过点A时，z3xy取最大值；当直线过点B时，z3xy取最小值由解得A(2,0)；由解得B.zmax3206，zmin33.z3xy的取值范围是.4设不等式组表示的平面区域为M，若函数yk(x1)1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是_答案解析作出平面区域，如图所示因为函数的图象是过点P(1，1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A(1,2)时，k取最大值；当直线l过点B(3,0)时，k取最小值，故k.5(2011陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_答案1解析令b2xy，则y2xb，如图所示，作斜率为2的平行线y2

17、xb，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为b，此时b2xy取得最小值，为b2111.6(2011课标全国)若变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_答案6解析作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)易知直线zx2y过点B时，z有最小值由得所以zmin42(5)6.7某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是_万元答案27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为

18、z5x3y.由题意得可行域如图阴影所示由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x3，y4，z533427(万元)二、解答题(共27分)8(13分)画出2x3y3表示的区域，并求出所有正整数解解先将所给不等式转化为而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求的整数解所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)对于2x30，当x4，y6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2012福建改编)若函数y2x图象

19、上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_答案1解析在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及 所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.2(2012课标全国改编)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)， 顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是_答案(1，2)解析如图，根据题意得C(1，2)作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2z0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足条件的可

20、行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.6(2011湖北改编)已知向量a(xz,3)，b(2，yz)，且ab.若x，y满足不等式|x|y|1，则z的取值范围为_答案3,3解析a(xz,3)，b(2，yz)，且ab，ab2(xz)3(yz)0，即2x3yz0.又|x|y|1表示的区域为图中阴影部分，当2x3yz0过点B(0，1)时，zmin3，当2x3yz0过点A(0,1)时，zmin3.z3,3二、解答题(共28分)7(14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋

21、白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即画出可行域如图所示让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，25x4y在(4,3)处取得最小值，由此可知z22.因此，应当为该儿童预

22、订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求8(14分)已知实数x，y满足(1)若zx2y，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值解不等式组表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分即为可行域由得A(1,2)；由得B(2,1)；由得M(2,3)(1)由zx2y得yxz，由图可知，当直线yxz经过点B(2,1)时，z取得最大值，经过点M(2,3)时，z取得最小值zmax2210，zmin2234.(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为yx，由，得N，点N在线段AB上，也在可行域内观察图象可知，可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小，又|OM|，|ON|，即，x2y213.z的最大值为13，最小值为.