7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.ppt-得力文库

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1、柯桥中学高三数学组柯桥中学高三数学组何利民何利民第七编不等式7.4 7.4 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与与简单的线性规划问题简单的线性规划问题在平面直角坐标系中，不等式在平面直角坐标系中，不等式 Ax+By+C 0 表示在直线：表示在直线：Ax+By+C=0的某一侧的平面区域的某一侧的平面区域1.二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域xyoAx+By+C=0 (1)结论结论：二元一次不等式：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐在平面直角坐标系中表示直线标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平某一侧所有点组成的平面区域。面区域。(2)判断方法判断

2、方法：由于对直线同一侧的所有点：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把把它代入它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧在此直线的某一侧取一个特殊点取一个特殊点(x0,y0)，从，从Ax0+By0+C的的正负正负可以判断出可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧表示哪一侧的区域。的区域。一般在一般在C0时，时，取取原点原点作为特殊点作为特殊点。应该注意的几个问题：应该注意的几个问题：l1 1、若不等式中不含、若不等式中不含0 0，则边界应画成虚线，否则，则边界应画成虚线，否则应画成实线。应画成实线。l2 2、画图时应非常准确，否则将得不到正确

3、结果。、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。2.简单的线性规划简单的线性规划有关概念有关概念由由x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)组成的不等组成的不等式组称为式组称为x，y 的的约束条件约束条件。关于关于x，y 的一次不等式或的一次不等式或方程组成的不等式组称为方程组成的不等式组称为x，y 的的线性约束条件线性约束条件。欲达欲达到最大值或最小值所涉及的变量到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为的解析式称为目目标函数标函数。关于关于x，y 的一次目标函数称为的一次目标函数称为线性目标函数线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值求线性目标函数在线性约束条件

4、下的最大值或最小值问题称为问题称为线性规划问题线性规划问题。满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x，y）称为称为可行解可行解。所有可行解组成的集合称为所有可行解组成的集合称为可行可行域域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最最优解优解。解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线；（3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求

5、出最优解；（4 4）答答：作出答案。：作出答案。（1 1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域；基础自测基础自测1.1.下列各点中下列各点中,不在不在x x+y y-10-10表示的平面区域的表示的平面区域的是是（）A.A.（0 0，0 0）B.B.（-1-1，1 1）C.C.（-1-1，3 3）D.D.（2 2，-3-3）C2.2.若点若点(1,3)(1,3)和和(-4,-2)(-4,-2)在直线在直线2 2x x+y y+m m=0=0的两侧，则的两侧，则m m 的取值范围是的取值范围是（）A.A.m m-510 B.10 B.m m=-5=-5或或

6、m m=10=10 C.-5 C.-5m m10 D.-50）仅在点）仅在点(3,0)处处取得最大值，则取得最大值，则a的取值范围为的取值范围为。题型三题型三线性规划的简单应用线性规划的简单应用【例例3 3】某公司仓库某公司仓库A A存有货物存有货物1212吨，仓库吨，仓库B B存有货物存有货物 8 8吨吨,现按现按7 7吨、吨、8 8吨和吨和5 5吨把货物分别调运给甲、乙、吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店丙三个商店.从仓库从仓库A A运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨每吨货物的运费分别为货物的运费分别为8 8元、元、6 6元、元、9 9元；从仓库元；从仓库B B运

7、货到运货到商店甲、乙、丙商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为每吨货物的运费分别为3 3元、元、4 4元、元、5 5元元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？运货物到三个商店的总运费最少？由于题目中量比较多，所以最好通过列由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件出表格以便清晰地展现题目中的条件.设出仓库设出仓库A A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解店的货物吨数，列出可行域，即可求解.思维启迪思维启迪解解将已知数据列

8、成下表：将已知数据列成下表：设仓库设仓库A A运给甲、乙商店的货物分别为运给甲、乙商店的货物分别为x x吨，吨，y y吨，吨，则仓库则仓库A A运给丙商店的货物为运给丙商店的货物为(12-(12-x x-y y）吨）吨,从而仓库从而仓库B B运给甲、乙、丙商店的货物分别为运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-(7-x x)吨、吨、(8-(8-y y)吨、吨、5-(12-5-(12-x x-y y)=()=(x x+y y-7)-7)吨吨,于是总运费为于是总运费为z z=8=8x x+6+6y y+9(12-+9(12-x x-y y)+3(7-)+3(7-x x)+4(8-)+4(8-y y)+

9、5()+5(x x+y y-7)-7)=x x-2-2y y+126.+126.甲甲乙乙丙丙A A8 86 69 9B B3 34 45 5商店商店仓库仓库每每吨吨运运费费线性约束条件为线性约束条件为目标函数为目标函数为z z=x x-2-2y y+126.+126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示阴影部分所示.作出直线作出直线l l:x x-2-2y y=0,=0,把直线把直线l l平行移动平行移动,显然当直线显然当直线l l移移动到过点动到过点(0,8)(0,8)时时,在可行域内，在可行域内，z z=x x-2

10、-2y y+126+126取得最小取得最小值值z zminmin=0-2=0-28+126=110,8+126=110,即即x x=0,=0,y y=8=8时总运费最少时总运费最少.安排的调运方案如下安排的调运方案如下:仓库仓库A A运给甲、乙、丙商店的货运给甲、乙、丙商店的货物分别为物分别为0 0吨、吨、8 8吨、吨、4 4吨，仓库吨，仓库B B运给甲、乙、丙商店运给甲、乙、丙商店的货物分别为的货物分别为7 7吨、吨、0 0吨、吨、1 1吨，此时可使得从两个仓吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少库运货物到三个商店的总运费最少.解线性规划应用问题的一般步骤是解线性规划应用问题的

11、一般步骤是:(1):(1)分分析题意析题意,设出未知量设出未知量;(2);(2)列出线性约束条件和目标函列出线性约束条件和目标函数数:(3):(3)作出可行域并利用数形结合求解作出可行域并利用数形结合求解;(4);(4)作答作答.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 （20092009四川，四川，1010）某企业生产甲、乙某企业生产甲、乙两种产品两种产品,已知生产每吨甲产品要用已知生产每吨甲产品要用A A原料原料3 3吨、吨、B B原原料料2 2吨；生产每吨乙产品要用吨；生产每吨乙产品要用A A原料原料1 1吨、吨、B B原料原料3 3吨吨.销售每吨甲产品可获得利润销售每吨甲产品可获得利

12、润5 5万元、每吨乙产品可万元、每吨乙产品可获得利润获得利润3 3万元，该企业在一个生产周期内消耗万元，该企业在一个生产周期内消耗A A原原料不超过料不超过1313吨、吨、B B原料不超过原料不超过1818吨吨,那么该企业可获那么该企业可获得的最大利润是得的最大利润是（）A.12A.12万元万元 B.20B.20万元万元 C.25C.25万元万元 D.27D.27万元万元解析解析设生产甲产品设生产甲产品x x吨、乙产品吨、乙产品y y吨，吨，则获得的利润为则获得的利润为z z=5=5x x+3+3y y.由题意得由题意得可行域如图阴影所示可行域如图阴影所示.由图可知当由图可知当x

13、 x、y y在在A A点取值时，点取值时，z z取得最大值，取得最大值，此时此时x x=3=3，y y=4,=4,z z=5=53+33+34=27(4=27(万元万元).).答案答案 D D题型四题型四线性规划的综合应用线性规划的综合应用【例例4 4】（1212分）实数分）实数x x,y y满足满足（1 1）若）若求求z z的最大值和最小值，并求的最大值和最小值，并求z z的取值的取值范围；范围；（2 2）若）若z z=x x2 2+y y2 2，求，求z z的最大值与最小值的最大值与最小值,并求并求z z的取值的取值范围范围.(1)(1)表示的是区域内的点与原点表示的是区域内的点

14、与原点连线的斜率连线的斜率.故故的最值问题即为直线的斜率的的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值最大值与最小值.（2 2）z z=x x2 2+y y2 2的最值表示的是区域的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.思维启迪思维启迪解解作出可行域如作出可行域如图阴影部分所示图阴影部分所示.(1)(1)表示可行域内任一点与表示可行域内任一点与(2)(2)坐标原点连线的斜率，坐标原点连线的斜率，4 4分分因此因此的范围为直线的范围为直线OBOB的斜率到直线的斜率到直线OAOA的斜率的斜率(OAOA斜率不存在）斜率不存

16、=5=5，z z无最小值无最小值.故故z z的取值范围是（的取值范围是（1 1，5 5.12.12分分探究提高探究提高本例与常规线性规划不同，主要是目标函本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)(1)表示点（表示点（x x,y y）与原点（）与原点（0 0，0 0）的距离）的距离;表示点（表示点（x x,y y）与（）与（a a,b b）的距离）的距离.(2)(2)表示点表示点(x x，y y)与原点与原点(0(0，0)

17、0)连线的斜率连线的斜率;表示点表示点(x x，y y)与点与点(a a，b b)连线的斜率连线的斜率.理解这些代数式的几何意义理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键往往是解决问题的关键.1.1.平面区域的画法平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平二元一次不等式的标准化与半平面的对应性面的对应性.对于对于A A00的直线的直线l l：AxAx+ByBy+C C=0=0，AxAx+ByBy+C C00对应直线对应直线l l右侧的平面；右侧的平面；AxAx+ByBy+C C00,0,当当A A00时表示直线时表示直线l l:AxAx+ByBy+C C=0=0右侧的平面；当右侧的平面

18、；当A A000时，截距时，截距取最大值时，取最大值时，z z也取也取最大值；截距最大值；截距取最小值时，取最小值时，z z也取最小值；当也取最小值；当b b0-1,-1,S SABCABC=|=|a a+1|=2,+1|=2,a a=3.=3.答案答案 D D 2.2.(2009(2009安徽理安徽理,7),7)若不等式组若不等式组所表示所表示的平面区域被直线的平面区域被直线分为面积相等的两部分为面积相等的两部分，则分，则k k的值是的值是 ()()解析解析不等式组表示的平面区域如图所示不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线由于直线y y=kxkx+过定点过定点因此只有直

19、线过因此只有直线过ABAB中点时中点时,直线直线y y=kxkx+能平分平面区域能平分平面区域.因为因为A A(1,1),(1,1),B B(0,4),(0,4),所以所以ABAB中点中点答案答案 A3.3.若实数若实数x x,y y满足条件满足条件目标函数目标函数z z=2=2x x-y y,则则（）A.A.z zmaxmax=B.=B.z zmaxmax=-1=-1 C.C.z zmaxmax=2 D.=2 D.z zminmin=0=0 解析解析如图所示，当如图所示，当z z=2=2x x-y y过过时时,C4.4.已知点已知点P P（x x,y y）满足）满足点点Q Q(x

21、1=6，B5.5.（20092009湖北理，湖北理，8 8）在在“家电下乡家电下乡”活动中，某活动中，某厂要将厂要将100100台洗衣机运往邻近的乡镇台洗衣机运往邻近的乡镇.现有现有4 4辆甲型货辆甲型货车和车和8 8辆乙型货车可供使用辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用每辆甲型货车运输费用 400400元，可装洗衣机元，可装洗衣机2020台；每辆乙型货车运输费用台；每辆乙型货车运输费用 300300元元,可装洗衣机可装洗衣机1010台台.若每辆车至多只运一次若每辆车至多只运一次,则则该厂所花的最少运输费用为该厂所花的最少运输费用为（）A.2 000A.2 000元元 B.2 20

22、0B.2 200元元 C.2 400C.2 400元元 D.2 800D.2 800元元解析解析设需甲型货车设需甲型货车x x辆，乙型货车辆，乙型货车y y辆，由题意知辆，由题意知作出其可行域如图所示，作出其可行域如图所示，可知目标函数可知目标函数z z=400400 x x+300+300y y在点在点A A处取最小值，处取最小值，z zminmin=400=4004+3004+3002=2 200(2=2 200(元元).).答案答案 B B6.6.(2008(2008海南、宁夏文海南、宁夏文,10),10)点点P P(x x,y y)在直线在直线4 4x x+3+3y y=0=0 上

23、上,且且x x,y y满足满足-14-14x x-y y7,7,则点则点P P到坐标原点的距离到坐标原点的距离的取值范围是的取值范围是（）A.A.0,50,5 B.B.0,100,10 C.C.5,105,10 D.D.5,155,15 解析解析如图所示，可知直线如图所示，可知直线 4 4x x+3+3y y=0=0分别与直线分别与直线x x-y y=-14,=-14,x x-y y=7=7 的交点为的交点为P P1 1(-6,8)(-6,8)，P P2 2(3 3，-4)-4)，易知易知|OPOP1 1|=10,|=10,|OPOP2 2|=5.|=5.故故|OPOP|的取值范围为的取

24、值范围为0 0，1010.B二、填空题二、填空题 7.7.（20092009陕西文，陕西文，1414）设设x x,y y满足约束条件满足约束条件则则z z=x x+2+2y y的最小值是的最小值是_,_,最大值是最大值是_._.解析解析如图所示，由题意得如图所示，由题意得A A（3 3，4 4）.由图可以看由图可以看出，直线出，直线x x+2+2y y=z z过点（过点（1 1，0 0）时，）时，z zminmin=1,=1,过点过点(3,4)(3,4)时时,z zmaxmax=3+2=3+24=11.4=11.1 111118.8.（20092009山东文山东文,16,16）某公司租赁

25、甲、乙两种设备某公司租赁甲、乙两种设备生产生产A A，B B两类产品，甲种设备每天能生产两类产品，甲种设备每天能生产A A类产品类产品5 5 件和件和B B类产品类产品1010件件,乙种设备每天能生产乙种设备每天能生产A A类产品类产品6 6件件和和B B类产品类产品2020件件.已知设备甲每天的租赁费为已知设备甲每天的租赁费为200200元元,设备乙每天的租赁费为设备乙每天的租赁费为300300元，现该公司至少要生产元，现该公司至少要生产 A A类产品类产品5050件件,B,B类产品类产品140140件件,所需租赁费最少为所需租赁费最少为 _元元.解析解析设需租赁甲种设备设需租赁甲种设

26、备x x台，乙种设备台，乙种设备y y台，台，目标函数为目标函数为z z=200200 x x+300+300y y.作出其可行域，易知当作出其可行域，易知当x x=4,=4,y y=5=5时，时，z z=200200 x x+300+300y y有最有最小值小值2 3002 300元元.答案答案 2 3002 3009.9.已知实数已知实数x x,y y满足不等式组满足不等式组目标函数目标函数 z z=y y-axax(a aR R).).若取最大值时的唯一最优解是若取最大值时的唯一最优解是(1,3),(1,3),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析如图所示，依题意

27、直如图所示，依题意直线线x x+y y-4=0-4=0与与x x-y y+2=0+2=0交于交于 A A(1,3),(1,3),此时取最大值，此时取最大值，故故a a1.1.(1,+)(1,+)三、解答题三、解答题10.10.若若a a0,0,b b0,0,且当且当时，恒有时，恒有axax+byby1,1,求以求以a a,b b为坐标的点为坐标的点P P(a a,b b)所形成的平面区域的面积所形成的平面区域的面积.解解作出线性约束条件作出线性约束条件对应的可行域如图所示，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使在此条件下，要使axax+byby11恒成立恒成立,只要只要axax+byb

28、y的最大的最大值不超过值不超过1 1即可即可.令令z z=axax+byby,则则因为因为a a0,0,b b0,0,此时对应的可行域如图，此时对应的可行域如图，所以以所以以a a,b b为坐标的点为坐标的点P P（a a,b b）所形成的面积为）所形成的面积为1.1.11.11.A A、B B两地分别生产同一规格产品两地分别生产同一规格产品1212千吨、千吨、8 8千吨千吨,而而D D、E E、F F三地分别需要三地分别需要8 8千吨、千吨、6 6千吨、千吨、6 6千吨，每千吨，每千吨的运价如下表千吨的运价如下表.怎样确定调运方案怎样确定调运方案,使总的运费使总的运费为最小？为最小？

29、解解设从设从A A到到D D运运x x千吨千吨,则从则从B B到到D D运运(8-(8-x x)千吨千吨;从从A A到到E E运运y y千吨千吨,则从则从B B到到E E运运(6-(6-y y)千吨千吨;从从A A到到F F运运(12-(12-x x-y y)千吨千吨,从从B B到到F F运运(x x+y y-6)-6)千吨千吨,运价运价(万元万元/千吨千吨)到到D D到到E E到到F F从从A A4 45 56 6从从B B5 52 24 4则线性约束条件为则线性约束条件为线性目标函数为线性目标函数为z z=4=4x x+5+5y y+6(12-+6(12-x x-y y)+5(8-)+5

30、(8-x x)+2(6-)+2(6-y y)+)+4(4(x x+y y-6)=-3-6)=-3x x+y y+100,+100,作出可行域，可观察出目标函数在作出可行域，可观察出目标函数在(8(8，0)0)点取到最小点取到最小值，即从值，即从A A到到D D运运8 8千吨，从千吨，从B B到到E E运运6 6千吨，从千吨，从A A到到F F运运4 4千吨，从千吨，从B B到到F F运运2 2千吨，可使总的运费最少千吨，可使总的运费最少.12.12.在在R R上可导的函数上可导的函数当当 x x(0,1)(0,1)时取得极大值时取得极大值,当当x x(1,2)(1,2)时取得极小值时取得极小

31、值,求点求点(a a,b b)对应的区域的面积以及对应的区域的面积以及的取值范围的取值范围.解解函数函数f f(x x)的导数为的导数为f f(x x)=)=x x2 2+axax+2+2b b,当当x x(0,1)(0,1)时时,f f(x x)取得极大值取得极大值,当当x x(1,2)(1,2)时时,f f(x x)取得极小值取得极小值,则方程则方程x x2 2+axax+2+2b b=0=0有两个根有两个根,一个根在区间一个根在区间(0,1)(0,1)内内,另一个根在区间另一个根在区间(1,2)(1,2)内内,由二次函数由二次函数f f(x x)=)=x x2 2+axax+2 2b b的图象与方程的图象与方程x x2 2+axax+2+2b b=0=0根的分布之间的关系可根的分布之间的关系可以得到以得到在在aObaOb平面内作出满足约束条件的平面内作出满足约束条件的点点(a a,b b)对应的区域为对应的区域为ABDABD(不包不包括边界括边界),),如图阴影部分如图阴影部分,其中点其中点A A(-3,1),(-3,1),B B(-1,0),(-1,0),D D(-2,0),(-2,0),ABDABD的面积为的面积为 (h h为点为点A A到到a a轴的距离轴的距离).).点点C C(1,2)(1,2)与点与点(a a,b b)连线的斜率为连线的斜率为返回返回

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