三角变换与解三角形复习.doc

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1、三角变换与解三角形复习一基本知识与方法回顾：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值为的是 A、 B、C、D、（答：C）；（2）已知，那么的值为_（答：）；（3）的值是_（答：4）；2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系（包括互补、互余等与诱导公式相关的关系），注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等），如（

2、1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的 值（答：）；（3）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）(2)三角函数名互化(切化弦)，如（1）求值（答：1）；(3)公式变形使用（。如（1）已知A、B为锐角，且满足，则_（答：）；(2)设中，则此三角形是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如若，化简为_（答：）； (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。已知，求的值（答：如（1）求证：；（2）化简：（答：）； (7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如（1）若 ，则 _（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已

3、知，试用表示的值（答：）。3、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是_.（答：2,2）；（2）当函数取得最大值时，的值是_(答：)；（3）如果是奇函数，则=(答：2)；4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若，且、是方程的两根，则求的值_（答：）；（2）若且，求的值（答：）.5、. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数

4、问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分

5、别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（3）在中， ，则_（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（答：）；（5）在中，若其面积，则=_（答：）；（6）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= （答：）；一、 题型归纳总结：1求值问题的基本类型及方法 “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解例1求2sin50+sin10(1+tan10)的值.解：原式=例2. 求值：解：原式 变式训练1：(1) sin163sin223+s

6、in253sin313等于 （ ）A. B. C. D. (2) (cossin) （ ）A B C D（3）： 不查表求值= （4）化简. “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；例1. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()变式训练2：设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos=cos（）（）=cos（+）=2cos21=-

7、1=.例2：已知（1）求的值；（2）求的值解析：（1）由, ， （2） 原式 例3、已知，求值.变式训练3：1.已知为第二象限角，且sin，求的值解：由sin 为第二象限角 cos2：已知，求值。4.5.的值.6 已知为锐角，且，求的值. 解：为锐角 “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角例4 已知tan()，-，且、（0，），求2的值.解：由tan (0，)得 (, ) 由tantan() (0，)得 0 02由tan20 知02 tan(2)1由知 2(，0) 2(或利用22()求解)变式训练4：若sinA=,sinB=,且A

8、,B均为钝角,求A+B的值.解 A、B均为钝角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-， cosB=-=-=-， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-= 又A, B, A+B2 由知，A+B=.2.三角式的化简和三角等式的证明：（1）三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少； 尽可能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值例5. 化简： .原式=1.变式训练5：1. 化简sin+cos;解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).2. 已知，若，则 可化简为 （2）证明三角恒等式证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于左边

9、，或都将左右进行变换使其左右相等。方法与化简类似.但在证明中注意建立已知与所证结论的联系；或者注意等式两边的差异，以寻找变形的方向。例6：:证明tantan【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：2x，xx sinxsincoscossin 又cosxcos2x2coscos即得：tantan.例7. 设为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=。 变式训练6 ：2.求证：3结合三角变换研究三角函数性质：要求：熟练进行三角变换，将化为一个三角函数后研究性质. 方法：降次、化一、整体.例8已知函数（）求函数的最小正周期及单调减区间（）若，求的值

10、【解】（）由得所以函数的最小正周期为 解得 单调减区间为（）由（）知，又由已知，则因为，则，因此，所以，于是，变式训练7：已知函数.（1）求它的递减区间.（2）求它的最值以及取得最值时自变量的集合4.三角形中的问题： 三角形中的问题通常条件中既有边又含有角，如果条件告知边的长度或者角的度数（或者角的三角函数值），则必用正弦定理或余弦定理（此时要由条件的特征选择用何种定理）。如果同一等式中既含边又有角，则需边角互化，通常由求解的问题和式子的具体特征选择是边化角还是角化边。例9.在中，的对边分别是，已知.（1）求的值； (2)若，求边的值 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由，展开易得： ， 正弦定理： 例10. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（I） 求的值； （2）若cosB=，,求的面积.【解析】（）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（）由（）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=， 故的面积为=.变式训练8：1. 在ABC中，若则ABC的形状是 2. 在ABC中，若，求证： 即 即，3. 如果ABC内接于半径为的圆，且求ABC的面积的最大值解： 另法： 此时取得等号