回归正交优秀PPT.ppt

《回归正交优秀PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《回归正交优秀PPT.ppt（150页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、110/31/202210/31/2022第七章 回来设计 7.1 回来回来设计设计的基本概念的基本概念7.2 一次回来正交一次回来正交设计设计7.3 二次回来的中心二次回来的中心组组合合设计设计7.4 二次回来正交二次回来正交设计设计7.5 二次回来旋二次回来旋转设计转设计210/31/202210/31/2022 正交设计是一类重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验正交设计是一类重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计有一个缺陷，即不能在确定次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计有一个缺陷，即不能在确定的试验范围内，依据所得样本数据去确定变量

2、间的相关关系及其相应的的试验范围内，依据所得样本数据去确定变量间的相关关系及其相应的回来方程。假如运用传统的回来分析，又只能被动地去处理由试验所得回来方程。假如运用传统的回来分析，又只能被动地去处理由试验所得的数据，而不能对试验的设计支配做任何要求。这样不仅盲目地增加了的数据，而不能对试验的设计支配做任何要求。这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能供应充分的信息，造试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能供应充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期试验目的。成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期试验目的。因而有必要引入把回来与正

3、交结合在一起的试验设计与统计分析方因而有必要引入把回来与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法法回来正交设计。回来正交设计。310/31/202210/31/20227.1回来设计的基本概念回来设计的基本概念回来设计（也称为响应曲面设计）回来设计（也称为响应曲面设计）目的是找寻试验指标与各因子间的定量规律，目的是找寻试验指标与各因子间的定量规律，考察的因子都是定量的考察的因子都是定量的。它是在多元线性回来的基础上用主动收集数据的它是在多元线性回来的基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质的回来方程的一种试验设计方法获得具有较好性质的回来方程的一种试验设计方法。方法。本章主要介绍本章主要介绍B

4、ox的回来设计方法及其应用，并的回来设计方法及其应用，并假定读者已具有多元线性回来分析的基础学问。为假定读者已具有多元线性回来分析的基础学问。为了符号上的统一了符号上的统一，在，在7.1.2中列出了回来分析中的主中列出了回来分析中的主要公式。要公式。410/31/202210/31/20227.1.1多项式回来模型多项式回来模型在一些试验中希望建立指标在一些试验中希望建立指标y与各定量因子与各定量因子（又（又称变量）称变量）间相关关系的定量表达式，即回来方程，以便通间相关关系的定量表达式，即回来方程，以便通过该回来方程找出访指标满足要求的各因子的范围过该回来方程找出访指标满足要求的各因子的范围

5、。可以假定可以假定y与与间有如下关系：间有如下关系：这里这里是是的一个函数，常称为响应函数，的一个函数，常称为响应函数，其图形也称为响应曲面；其图形也称为响应曲面；是随机误差，通常假定它听从均值为是随机误差，通常假定它听从均值为0，方差为，方差为的正的正态分布。态分布。在上述假定下，在上述假定下，可以看作为在给定可以看作为在给定后指后指标的均值，即标的均值，即510/31/202210/31/2022称z的可能取值的空间为因子空间。我们的任务便是从因子空间中找寻一个点z0使E(y)满足质量要求。当f的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去找寻z0。在很多状况下f的形式并不知道，这时常常用一个多

6、项式去靠近它，即假定：这里各这里各 为未知参数，也称为回来系数，通为未知参数，也称为回来系数，通常须要通过收集到的数据对它们进行估计。常须要通过收集到的数据对它们进行估计。若用若用 表示相应的估计，则称表示相应的估计，则称 为为y y关于关于 的多项式回来方程。的多项式回来方程。610/31/202210/31/2022在实际中常用的是如下的一次与二次回来方程（也称一阶与二阶模型）：一般一般p p个自变量的个自变量的d d次回来方程的系数个数为次回来方程的系数个数为 710/31/202210/31/20227.1.2多元线性回来多元线性回来(7.1.1)是一个多项式回来模型，在对变量作了变换

7、并重新命是一个多项式回来模型，在对变量作了变换并重新命名后也可以看成是一个多元线性回来模型。名后也可以看成是一个多元线性回来模型。1回来模型回来模型设所收集到的设所收集到的n组数据为组数据为假定回来模型为：假定回来模型为：810/31/202210/31/2022记随机变量的视察向量为记随机变量的视察向量为未知参数向量为未知参数向量为不行视察的随机误差向量为不行视察的随机误差向量为结构矩阵结构矩阵那么上述模型可以表示为：那么上述模型可以表示为：或或910/31/202210/31/20222回来系数的最小二乘估计估计回来模型中回来系数的方法是最小二乘法。记回来系数的最小二乘估计（LSE）为，应

8、满足如下正规方程组：当存在时，最小二乘估计为在求得了最小二乘估计后，可以写出回来方程：今后称为正规方程组的系数矩阵，为正规方程组的常数项向量，为相关矩阵。在模型（7.1.5）下，有1010/31/202210/31/2022若记若记，那么，那么 在通常的回来分析中，由于在通常的回来分析中，由于C C为非对角阵，所以各回来系为非对角阵，所以各回来系数间是相关的：数间是相关的：1110/31/202210/31/20223对回来方程的显著性检验对回来方程的显著性检验是指检验如下假设：H0：HA：不全为0检验方法是作方差分析。记则有平方和分解式其中为残差平方和，自由度为为回来平方和，自由度为当H0为

9、真时，有对于给定的显著性水平，拒绝域为。1210/31/202210/31/2022若记p+1维向量 ，那么1310/31/202210/31/20224失拟检验当在某些点有重复试验数据的话，可以在检验回来方程显著性之前，先对y的期望是否是的线性函数进行检验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设：H0：HA：当在上有重复试验或视察时，将数据记为其中至少有一个，记。此时残差平方和可进一步分解为组内平方和与组间平方和，其中组内平方和就是误差平方和，记为，组间平方和称为失拟平方和，记为，即：1410/31/202210/31/2022，检验统计量为在H0为真时，对于给定的显著性水平，拒绝域为当拒绝

10、H0时，须要找寻缘由，变更模型，否则认为线性回来模型合适，可以将Se与SLf合并作为SE检验方程是否显著。其中其中1510/31/202210/31/20225对回来系数的显著性检验当回来方程显著时，可进一步检验某个回来系数是否为0，也即检验如下假设：此种检验应对j=1,2,p逐一进行。常用的检验方法是t检验或等价的F检验，F检验统计量为：其中是中的第j+1个对角元。记分子为，即，它是因子的偏回来平方和分母是模型中的无偏估计。，也称为的标准误，即其标准差的估计。1610/31/202210/31/2022当H0j为真时，有。给定的显著性水平，当时拒绝假设H0j，即认为显著不为零，否则可以将对应

11、的变量从回来方程中删除。注：当有不显著的系数时，一般状况下一次只能删除一个F值最小的变量，重新计算回来系数，再重新检验。通常要到余下的系数都显著时为止。1710/31/202210/31/20227.1.3回来分析对数据的处理由被动变主动回来分析对数据的处理由被动变主动古典的回来分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对古典的回来分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对试验的支配不提任何要求，对如何提高回来方程的精度探讨试验的支配不提任何要求，对如何提高回来方程的精度探讨很少。很少。后果：后果：（1）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能供应充分）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能供应充分的

12、信息，以致在很多多因子试验问题中达不到试验目的。的信息，以致在很多多因子试验问题中达不到试验目的。（2）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据时在同一试验点上不确定存在重复试验数据。时在同一试验点上不确定存在重复试验数据。为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学模为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学模型等的须要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高的型等的须要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高的回来方程。回来方程。1810/31/202210/31/2022 为此，要求摆脱古典回来分析的被动局面，主动把试验

13、的为此，要求摆脱古典回来分析的被动局面，主动把试验的支配、数据的处理和回来方程的精度统一起来考虑，即依据支配、数据的处理和回来方程的精度统一起来考虑，即依据试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得在每一试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得在每一个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而削减试验次数，个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而削减试验次数，而且使数据的统计分析具有一些较好的性质。而且使数据的统计分析具有一些较好的性质。这就是二十世纪五十年头发展起来的这就是二十世纪五十年头发展起来的“回来设计回来设计”所探讨所探讨的问题。的问题。回来设计的分类：回来设计的分类：依据建立

14、的回来方程的次数不同，回来设计有一次回来设依据建立的回来方程的次数不同，回来设计有一次回来设计、二次回来设计、三次回来设计等；计、二次回来设计、三次回来设计等；依据设计的性质又有正交设计、旋转设计等。依据设计的性质又有正交设计、旋转设计等。本章仅介绍一次回来的正交设计与二次回来的组合设计本章仅介绍一次回来的正交设计与二次回来的组合设计（包括正交设计与旋转设计）。（包括正交设计与旋转设计）。1910/31/202210/31/20227.1.4因子水平的编码因子水平的编码在回来问题中各因子的量纲不同，其取值的范围也不同，在回来问题中各因子的量纲不同，其取值的范围也不同，为了数据处理的便利，对全部

15、的因子作一个线性变换，使为了数据处理的便利，对全部的因子作一个线性变换，使全部因子的取值范围都转化为中心在原点的一个全部因子的取值范围都转化为中心在原点的一个“立方体立方体”中，这一变换称为对因子水平的编码。中，这一变换称为对因子水平的编码。方法如下：方法如下：设因子设因子的取值范围为：的取值范围为：，与与分别称为因子分别称为因子的下水平与上水平。的下水平与上水平。其中心也称为零水平：其中心也称为零水平：，因子的变更半径为因子的变更半径为，令令，此变换式就称为此变换式就称为“编码式编码式”。2010/31/202210/31/2022例例7.1.1为提高某橡胶制品的撕裂强度，考察橡胶中某成分为

16、提高某橡胶制品的撕裂强度，考察橡胶中某成分的百分比、树脂成分的百分比及改良剂的百分比三个因子对的百分比、树脂成分的百分比及改良剂的百分比三个因子对其的影响，这三个因子的取值范围分别为：其的影响，这三个因子的取值范围分别为：对其作编码，令对其作编码，令通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边长为长为2。在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以大于大于2。2110/31/202210/31/2022今后称x的可能取值的空间为编码空间。我们可以先在编码空间中找寻一个点x0使E(y)

17、满足质量要求，然后通过编码式找寻到z0。2210/31/202210/31/20227.2一次回来正交设计一次回来正交设计7.2.1一次回来正交设计一次回来正交设计建立一次回来方程的回来设计方法有多种，这里介绍一种常建立一次回来方程的回来设计方法有多种，这里介绍一种常用的方法，它是利用二水平正交表来支配试验的设计方法。用的方法，它是利用二水平正交表来支配试验的设计方法。其主要步骤如下：其主要步骤如下：1确定因子水平的变更范围确定因子水平的变更范围设影响指标设影响指标y的因子有的因子有p个个，希望通过试验建立，希望通过试验建立y关关于于的一次回来方程，那么首先要确定每个因子的变更的一次回来方程，

18、那么首先要确定每个因子的变更范围，设因子范围，设因子的取值范围为：的取值范围为：，这里这里与与分别是因子分别是因子的下水平与上水平。的下水平与上水平。2310/31/202210/31/20222对每一因子的水平进行编码记因子的零水平为其变更半径为那么接受如下编码式，即，对因子的水平进行编码，常列成如下的因子水平编码表：2410/31/202210/31/2022例如，某试验的第一个因素，其例如，某试验的第一个因素，其 Z114,Z2112,Z018,则各水平的编码值为：则各水平的编码值为：2510/31/202210/31/2022经过上述编码，就确定了因素经过上述编码，就确定了因素Zj与与

19、Xj的一一对的一一对应关系，即：应关系，即：下水平下水平 4(Z11)1 ()零水平零水平 8(Z01)0 ()上水平上水平 12(Z21)1 ()2610/31/202210/31/2022对因素对因素Zj的各水平进行编码的目的是为了使供试因素的各水平进行编码的目的是为了使供试因素Zj的的各水平在编码空间是各水平在编码空间是“同等同等”的，即它们的取值都是在的，即它们的取值都是在1，l区间内变更，而不受缘由素区间内变更，而不受缘由素Zj的单位和取值大小的影的单位和取值大小的影响。在对供试因素响。在对供试因素Zj各水平进行了以上的编码以后，就把各水平进行了以上的编码以后，就把试验结果试验结果y

20、对供试因素各水平对供试因素各水平Zi1，Zi2，Zim的回来问的回来问题转化为在编码空间试验结果题转化为在编码空间试验结果y 对编码值对编码值 i1,i2,im的回来问题。因此，我们可以在以的回来问题。因此，我们可以在以 ,为为坐标轴的编码空间中选择试验点进行回来设计。这样的设坐标轴的编码空间中选择试验点进行回来设计。这样的设计还大大简化计算手续。计还大大简化计算手续。2710/31/202210/31/2022今后，不论是一次回来设计还是二次回来设今后，不论是一次回来设计还是二次回来设计，我们都先将各因素进行编码，再去求试计，我们都先将各因素进行编码，再去求试验指标验指标y对对 ,的回来方程

21、，这种的回来方程，这种方法在试验设计中是常常被接受的。方法在试验设计中是常常被接受的。2810/31/202210/31/20223选择适当的二水平正交表支配试验在用二水平正交支配试验时，要用“-1”代换通常二水平正交表中的“2”，以适应因子水平编码的须要。这样一来，正交表中的“1”与“-1”不仅表示因子水平的不同状态，也表示了因子水平的数量大小。经过这样的代换后，正交表的交互作用列可以由表中相应列的对应元素相乘得到，从而交互作用列表也不须要了。表7.2.2就是一张代换后的L8(27)，与原来的正交表没有本质区分，仍旧用L8(27)表示。2910/31/202210/31/2022表的选择仍旧

22、同正交设计一样，既要考虑因子的个数，有时还要考虑交互作用的个数。3010/31/202210/31/2022在具体进行设计时，首先将各因素分别支配在具体进行设计时，首先将各因素分别支配在所选正交表相应列上，然后将每个因素的在所选正交表相应列上，然后将每个因素的各个水平填入相应的编码值中，就得到了一各个水平填入相应的编码值中，就得到了一次回来正交设计方案。例如：现有某三因素次回来正交设计方案。例如：现有某三因素食品添香试验，即食品添香试验，即Z1(香精用量香精用量)、Z2(着香时着香时间间)、Z3(着香温度着香温度)，其因素水平及编码值如，其因素水平及编码值如表表13-1所示：所示：3110/3

23、1/202210/31/2022表表13-1 三因素试验水平取值及编码表三因素试验水平取值及编码表因 素Z1(mL/kg物料)Z2(h)Z3()上水平(l)零水平(0)下水平(1)1712722.6169.445.73524.3变化间距(j)56.610.73210/31/202210/31/2022表13-2 三元一次回来正交设计试验方案处理号(Z1)(Z2)(Z3)123456781(17)1(17)1(17)1(17)1(7)1(7)1(7)1(7)1(22.6)1(22.6)1(9.4)1(9.4)1(22.6)1(22.6)1(9.4)1(9.4)1(45.7)1(24.3)1(45

24、.7)1(24.3)1(45.7)1(24.3)1(45.7)1(24.3)9N0(12)0(12)0(16)0(16)0(35)0(35)3310/31/202210/31/2022 零水平支配重复试验的主要作用，一方面在于对试验结果进行统计分析时能够检验一次回来方程中各参试结果在被探讨区域内与基准水平(即零水平)的拟合状况；另一方面是当一次回来正交设计属饱和支配时，可以供应剩余自由度，以提高试验误差估计的精确度和精确度。所谓基准水平(零水平)重复试验，就是指全部供试因素Zij的水平编码值均取零水平的处理组合重复进行若干次试验。例如表13-2中零水平试验由Z112(mL/kg物料)，Z216

25、(h)，Z335()所组成的处理组合。至于基准水平的重复试验应支配多少次，主要应依据对试验的要求和实际状况而定。一般来讲，当试验要进行拟合性(或称吻合度)检验时，基准水平的试验应当至少重复26次。3410/31/202210/31/2022在改造后的正交表中，若用在改造后的正交表中，若用表示第表示第i 号试验第号试验第j个因子个因子xj的的取值，那么取值，那么称具有上述性质的设计称为正交设计。称具有上述性质的设计称为正交设计。3510/31/202210/31/20227.2.2一次回来正交设计试验结果的统计分析一次回来正交设计试验结果的统计分析在一次回来的正交设计中记第在一次回来的正交设计中

26、记第i号试验结果为号试验结果为yi，i=1,2,n，此时我们假定的模型是此时我们假定的模型是我们要建立我们要建立y关于关于的一次回来方程的一次回来方程可接受回来分析中的最小二乘估计去估计各个回来系数，并对可接受回来分析中的最小二乘估计去估计各个回来系数，并对回来方程及回来系数进行显著性检验，最终给出回来方程。在回来方程及回来系数进行显著性检验，最终给出回来方程。在一次回来的正交设计中有关计算特别简洁，可以用列表的方法一次回来的正交设计中有关计算特别简洁，可以用列表的方法完成。完成。3610/31/202210/31/20221.求回来系数的估计用最小二乘估计求回来系数的估计。结构矩阵由于由于X

27、中的元素不是中的元素不是1就是就是-1，所以每列元素的平方和为，所以每列元素的平方和为n，又考虑到此为正交设计，故正规方程组的系数矩阵为对角，又考虑到此为正交设计，故正规方程组的系数矩阵为对角阵：阵：3710/31/202210/31/2022从而从而又记又记，其中，其中那么回来系数的最小二乘估计为那么回来系数的最小二乘估计为即即由于C是对角阵，所以各回来系数间不相关。这将为回来方程与系数的检验带来便利，并且在删除变量后回来系数不需重新计算。具体计算可以列表进行（见表7.2.2）。3810/31/202210/31/20222回来方程的显著性检验回来方程的显著性检验平方和与自由度的分解：平方和

28、与自由度的分解：在一次回来正交设计下，偏回来平方和：在一次回来正交设计下，偏回来平方和：所以所以3910/31/202210/31/2022对回来方程的显著性检验的统计量是其中考虑到，故具体计算与检验见表7.2.3与表7.2.4。4010/31/202210/31/20223回来系数的显著性检验可以接受统计量检验是否为零。其分母是的无偏估计分子是的偏回来平方和，记为那么留意到回来平方和的计算公式，有具体计算与检验见表7.2.3与表7.2.4。4110/31/202210/31/20222.2.3 拟合度检验拟合度检验拟合度检验(test of goodness of fit)，亦称吻合度检验或

29、失，亦称吻合度检验或失拟性检验。前面谈到，用基准水平的重复试验可以检验被探讨拟性检验。前面谈到，用基准水平的重复试验可以检验被探讨的整个回来区域内特殊是中心区回来方程预料与实测值的拟合的整个回来区域内特殊是中心区回来方程预料与实测值的拟合程度，也就是能够检验本试验用线性模型描述是否准确，是否程度，也就是能够检验本试验用线性模型描述是否准确，是否有必要引入二次或更高次的项。上述对一次回来的有必要引入二次或更高次的项。上述对一次回来的F测验，只测验，只能说明变量的作用相对于平均剩余均方而言，影响是否显著。能说明变量的作用相对于平均剩余均方而言，影响是否显著。即使检验是显著的，也仅仅反映一次回来方程

30、在其试验点上与即使检验是显著的，也仅仅反映一次回来方程在其试验点上与试验结果拟合得较好，但并不能说明在被探讨的整个回来区域试验结果拟合得较好，但并不能说明在被探讨的整个回来区域的拟合状况如何，即不能保证接受一次回来模型是最合适的。的拟合状况如何，即不能保证接受一次回来模型是最合适的。为了分析经为了分析经F检验结果为显著的一次回来方程检验结果为显著的一次回来方程(这里包括有交互这里包括有交互作用的状况作用的状况)在整个被探讨区域内的拟合状况，可通过在零水在整个被探讨区域内的拟合状况，可通过在零水平平(Z01，Z02，Z0m)处所支配的重复试验估计真正的试验处所支配的重复试验估计真正的试验误差，进

31、而检验所建回来方程的拟合度。误差，进而检验所建回来方程的拟合度。4210/31/202210/31/2022拟合度检验可用拟合度检验可用t 检验，也可用检验，也可用F检验，这里介绍检验，这里介绍F检验的方法。检验的方法。设在零水平处支配了设在零水平处支配了m0次重复试验，试验结果分别为次重复试验，试验结果分别为y01,y02,，y0m0，则利用这，则利用这m0个重复观测值可以计算出反个重复观测值可以计算出反映真正试验误差的平方和映真正试验误差的平方和(称为纯误差平方和称为纯误差平方和)及相应的自由度。及相应的自由度。即：即：此时，此时，SSrSSe反映除了各一次项反映除了各一次项(考虑互作时，

32、还包括考虑互作时，还包括有关一级互作有关一级互作)以外的其它因素以外的其它因素(包括别的因素和各的高次包括别的因素和各的高次项等项等)所引起的变异，是回来方程所未能拟合的部分，称所引起的变异，是回来方程所未能拟合的部分，称为失拟平方和，记为为失拟平方和，记为SSLf，相应的自由度记为，相应的自由度记为dfLf。SSLf 和和dfLf的计算公式如下：的计算公式如下：4310/31/202210/31/2022此时平方和与自由度的分解式为：拟合度F检验公式为：4410/31/202210/31/20221)若若FLf显著，而显著，而FR不显著，说明所建立的回来方程拟合度不显著，说明所建立的回来方程

33、拟合度差，需考虑别的因素或有必要建立二次甚至更高次的回来方差，需考虑别的因素或有必要建立二次甚至更高次的回来方程，或程，或y与诸与诸xj无关。无关。2)若若FLf显著，显著，FR亦显著，说明所建立的一次回来方程有确亦显著，说明所建立的一次回来方程有确定作用，但不能说明此方程是拟合得好的，仍须要查明缘由，定作用，但不能说明此方程是拟合得好的，仍须要查明缘由，选用别的数学模型，作进一步探讨。选用别的数学模型，作进一步探讨。3)若若FLf及及FR均不显著，说明没有什么因素对均不显著，说明没有什么因素对y有系统影响有系统影响或试验误差太大。或试验误差太大。4)若若FLf不显著，而不显著，而FR显著，说

34、明所建立的回来方程是拟合显著，说明所建立的回来方程是拟合得好的。得好的。4510/31/202210/31/20224610/31/202210/31/20224710/31/202210/31/2022例7.2.1硝基蒽醌中某物质的含量y与以下三个因子有关：z1：亚硝酸钠（单位：克）z2：大苏打（单位：克）z3：反应时间（单位：小时）为提高该物质的含量，需建立y关于变量z1，z2，z3的回来方程。1试验设计（1）确定因子取值范围，并对它们的水平进行编码本例的因子水平编码见表7.2.5。表7.2.5因子水平编码表因子水平编码值z1z2z3上水平+19.04.53下水平-15.02.51零水平0

35、7.03.52变更半径j2114810/31/202210/31/2022（2）利用二水平正交表支配试验本例有三个因子，即p=3，为今后可能须要考察因子间的交互作用便利起见，因此选用L8(27)，将三个因子分别置于第一、二、四列上，从而可得试验支配，并按支配进行试验。试验支配及试验结果见表7.2.6。4910/31/202210/31/20222数据分析数据分析本例的计算见表本例的计算见表7.2.7，有关方程与系数的检验见表，有关方程与系数的检验见表7.2.8。在。在本例中本例中n=8。5010/31/202210/31/2022依据表7.2.7，可以写出y关于x1,x2,x3的回来方程为：若

36、取显著性水平为0.05，有，由于F6.59，所以上述求得的回来方程是有意义的。在显著性水平为0.05时，由表7.2.8知因子x2不显著，其它因子显著。5110/31/202210/31/2022在正交回来设计中，当某一变量不显著时，可以干脆将它删去，此时不会变更其它的回来系数，也不会变更这些变量的偏回来平方和，这是正交回来设计的一个优点。现在将x2从回来方程中删去，最终得各因子均为显著的回来方程是：将编码式：代入，得y关于z1,z3的回来方程为：从方程知，当从方程知，当z1，z3增加时，增加时，y也会相应增加。也会相应增加。5210/31/202210/31/2022我们把不显著变量的偏回来平

37、方和加到残差平方和中，从我们把不显著变量的偏回来平方和加到残差平方和中，从而获得方程对应的而获得方程对应的的估计。的估计。在本例中残差平方和变成在本例中残差平方和变成因此因此的估计为的估计为。5310/31/202210/31/20227.2.3零水平处的失拟检验零水平处的失拟检验上述用一次回来正交设计方法求得一次回来方程是简洁、上述用一次回来正交设计方法求得一次回来方程是简洁、易行的，但是否能真实反映实际呢？由于试验是在各因子的易行的，但是否能真实反映实际呢？由于试验是在各因子的上水平（上水平（+1）与下水平（）与下水平（1）处进行的，即使模型在这些）处进行的，即使模型在这些边界点上拟合得很

38、好，但是在因子编码空间的中心拟合是否边界点上拟合得很好，但是在因子编码空间的中心拟合是否也好呢？这可用在零水平处增加若干重复试验，再通过检验也好呢？这可用在零水平处增加若干重复试验，再通过检验来推断。来推断。设在各因子均取零水平常进行了设在各因子均取零水平常进行了m次试验，记其试验结果次试验，记其试验结果为为，其平均值为，其平均值为，其偏差平方和及其自由，其偏差平方和及其自由度为度为，利用在零水平处的重复试验的检验有两种方法。利用在零水平处的重复试验的检验有两种方法。5410/31/202210/31/2022方法1：当一次回来模型在整个编码空间上都适宜时，则按一次回来方程应有如今在零水平上进

39、行了m次重复试验，其平均值为这相当于存在两个正态分布：要检验这两个正态分布的均值是否相等，即检验为此可接受t统计量去检验。5510/31/202210/31/2022由于由于与与独立，因此有独立，因此有此外此外且两者也独立，从而且两者也独立，从而并且并且与与独立。令独立。令其中其中5610/31/202210/31/2022在在时，有时，有对给定的显著性水平对给定的显著性水平，当，当时认为模型在时认为模型在编码空间的中心也合适，不存在因子的非线性效应，否则须编码空间的中心也合适，不存在因子的非线性效应，否则须要另外找寻合适的模型，譬如建立二次回来方程，这将在要另外找寻合适的模型，譬如建立二次回

40、来方程，这将在7.3中介绍。中介绍。5710/31/202210/31/2022方法2：由于在各因子均取零水平常进行了m次重复试验，因此可以接受7.1.2中的失拟检验，将n+m次试验结果合并在一起进行数据分析，并检验接受统计量对给定的显著性水平，当时认为模型合适，否则须要另外找寻合适的模型。5810/31/202210/31/20227.2.4含交互作用的模型含交互作用的模型当变量间存在交互作用时，我们可以更一般地考虑建立含当变量间存在交互作用时，我们可以更一般地考虑建立含两个因子间交互作用的模型，其交互作用用两个因子的编码两个因子间交互作用的模型，其交互作用用两个因子的编码值的乘积表示，即可

41、假定有如下的回来模型：值的乘积表示，即可假定有如下的回来模型：只要在回来的一次正交设计中，只要在回来的一次正交设计中，n大于大于就可以将其看成是就可以将其看成是k元线性回来，并且这元线性回来，并且这k项仍旧是相互正交项仍旧是相互正交的，因此可以在表的，因此可以在表7.2.3中加上诸列，按同样的计算便可求得中加上诸列，按同样的计算便可求得诸回来系数，并对它们进行检验。诸回来系数，并对它们进行检验。5910/31/202210/31/2022譬如对例7.2.1来讲，我们可以建立如下回来方程：系数的估计可以按表7.2.9计算。6010/31/202210/31/2022对系数与方程的检验见表对系数与

42、方程的检验见表7.2.10。若取显著性水平为0.10，那么，此时全部交互效应与因子x2不显著，结论同上。6110/31/202210/31/20227.2.5快速登高法快速登高法我们进行回来设计目的是要找寻最好的条件，但我们进行回来设计目的是要找寻最好的条件，但是在起先进行试验时，可能与最优条件相距甚远，是在起先进行试验时，可能与最优条件相距甚远，此时须要找寻一条进行试验的路径，使指标值很快此时须要找寻一条进行试验的路径，使指标值很快达到最大（或最小），快速登高法便是这样一种快达到最大（或最小），快速登高法便是这样一种快速向最优点靠近的方法（若要求指标值小的话，也速向最优点靠近的方法（若要求指

43、标值小的话，也称快速下降法）。称快速下降法）。6210/31/202210/31/20221.快速登高法的基本想法是：依据微分学原理，任一多元函数在局部区域内总可以用一个多维平面去近似。利用一次回来正交设计可以建立一次回来方程，此时假如要在编码空间中找寻一个点使指标y达到最大（或最小），那么这个点总是位于边界上。当点越出边界后，指标值是否会更大（或更小）呢？为回答这一问题，我们可以接受如下的方法：先在一个小区域上拟合一次回来方程(7.2.11)再从编码空间的中心动身，沿着(7.2.11)的“梯度方向”选择若干个试验点进行试验，以便视察指标y的变更，从而找寻使y达到更大（或更小）的点。这种从编码

44、空间的中心动身，在(7.2.11)的梯度方向上支配若干试验点的方法称为快速登高法。6310/31/202210/31/20222.梯度方向一个多元函数在点的梯度是一个p维向量，其第j个重量是y关于xj的偏导在该点的值，这一向量所确定的方向便是该点的梯度方向，它是多元函数y增长最快的方向。对(7.2.11)来讲，随意一点的梯度方向是(b1,b2,bp)。假如因子间存在交互作用，这时建立的回来方程为：那么在编码中心(0,0,0)的梯度方向仍为(b1,b2,bp)。6410/31/202210/31/20223.快速登高法的试验点记因子的零水平为，变更半径为，编码值的回来系数为，沿梯度方向的试验点取

45、为，这里m是在梯度方向上进行试验的点数。在因子空间中，称为步长。为实施试验便利，设置一个步长变更系数d，那么实际试验中的步长变更为，d的具体确定方法参见例7.2.2。快速登高法的具体试验点见表7.2.11，其示意图见图7.3.1。6510/31/202210/31/2022图图7.2.1快速登高的示意图快速登高的示意图6610/31/202210/31/2022例7.2.2一位化学工程师须要确定化工产品收率最大的操作条件。他认为影响收率有两个因子（变量）：反应时间z1与反应温度z2，当前的运行条件是z1=35（分钟），z2=155（），而收率约是40%。试验与分析的步骤如下：1拟合一次回来模型

46、，即建立一次方程：(1)给出两个因子在试验中的变更范围：因子水平表6710/31/202210/31/2022(2)(2)用二水平正交表用二水平正交表L4(23)L4(23)支配试验，试验方案与结果如下：支配试验，试验方案与结果如下：6810/31/202210/31/2022(3)(3)建立一次回来方程：建立一次回来方程：所得一次回来方程为：所得一次回来方程为：6910/31/202210/31/2022对回来方程与回来系数作显著性检验的方差分析表如下：对回来方程与回来系数作显著性检验的方差分析表如下：若取若取，那么，那么，所以方程在显著性水，所以方程在显著性水平平0.05上是显著的，又上是

47、显著的，又，则两个系数也是显著，则两个系数也是显著的。的。7010/31/202210/31/20222检验一次方程的合适性为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效应，在中心点进行了m=5次试验，结果为：40.3，40.5，40.7，40.2，40.6其平均值为，偏差平方和为，其自由度=4。接受方法1中的检验统计量t作检验。现在，n=4，m=5，将它们代入后有若取，那么，由于|t|2.5706，因此在0.05水平认为所得到的一次方程是合适的。7110/31/202210/31/2022若接受方法2，我们可以将9个试验结果合并在一起建立方程，用7.1.2中的公式，可得到如下方程：此方

48、程的残差平方和为SE=0.1772，再将它分解为纯误差与失拟两个偏差平方和：它们的自由度分别为4与2，作F检验得FLf=0.06，取，那么，由于FLf5.14，说明方程是合适的。7210/31/202210/31/20223给出快速登高的方向与试验点：在本例中，z1的变更以5作步长变更为便利，则步长系数d可取为：那么各因子步长变更及其修匀值见表7.2.16，试验支配及试验结果见表7.2.17。表7.2.16快速登高参数7310/31/202210/31/20227410/31/202210/31/2022从上面的试验结果可以看出，在z1=85（分钟），z2=175（）旁边结果较好，那么可以以该

49、点为中心，重新设计一个一次回来的正交设计，重复上述过程，直到找到最佳的或满足的最大值为止；也可以该试验条件作为中心点，支配二次回来设计，关于二次回来设计方法见下一节。注：在列出快速登高支配后，不确定按依次一一试验，可选做其中的若干个，只要y在不断增大即可。7510/31/202210/31/20227.2.6 一次回来正交设计的旋转性一次回来正交设计的旋转性1.旋转性：若一个设计在离设计中心距离相等的旋转性：若一个设计在离设计中心距离相等的点上，其预料值的方差相等，则称该设计为旋转点上，其预料值的方差相等，则称该设计为旋转设计。设计。由于方差相等可削减对预料的干扰，因此旋转由于方差相等可削减对

50、预料的干扰，因此旋转性颇受人们的关注。性颇受人们的关注。2.一次回来的正交设计具有旋转性一次回来的正交设计具有旋转性 在上面介绍的设计中，利用（在上面介绍的设计中，利用（7.1.10）与）与（7.1.11）有）有7610/31/202210/31/2022且互不相关，因此预料值的方差为：现在编码空间中心点的坐标为(0,0,0)，记点(x1,x2,xp)离中心的距离记为，则从而在离中心距离为的点上预料值的方差相等，仅与有关，其值为：这就表明一次回来的正交设计具有旋转性。7710/31/202210/31/20227.3 二次回来的中心组合设计二次回来的中心组合设计当有m个自变量时，二次回来方程式