最新理论攻坚数学运算1军队文职招考公共科目.pdf

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1、1 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 1 1（讲义）（讲义） 第一节 计算问题 一、基础运算 1.尾数法： （1）什么时候用？ 做加、减、乘、乘方计算； 选项的尾数不同。 （2）怎么用？只取最后一位进行计算，结果也只保留最后一位。 2.基础公式： （1）交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。 （2）分配律：ac+bc=（a+b）c。 （3）平方差公式： （a+b） （a-b）=a-b。 3.定义新运算： 新的运算符号， 按规定计算。 原有规则仍然适用： 先算括号，再算乘除，最后算加减。 【例 1】（2019 湖南）79.83+135.25-23.17-91.64=（ ）

2、 A.157.78 B.124.89 C.100.27 D.91.51 【例 2】（2019 福建)125*437*32*25 的值为（ ） A.43700000 B.87400000 C.87455000 D.43755000 【例 3】（2019 天津）201*199-202*198=（ ） A.0 B.3 C.16 D.200 2 【例 4】（2018 军队文职）在初等数学加、减、乘、除运算的基础上，假设一种新的运算符号“*”，规定 x* y=（x+y）4，若（3*a）-2=10*2，则 a 的值是（ ） A.17 B.22/3 C.93 D.5/3 二、等差数列 1.特征：相邻两项的差

3、相等 2.公式： （1）通项公式：an=a1+（n-1）*d。 （2）求和公式：Sn=中位数*n。 【例 5】 （2018 甘肃）小张 8 月份休年假旅游回来后，将办公室的日历连续翻了 10 页，这些日历的日期之和是 155，那今天的日期是（ ）。 A.15 B.16 C.20 D.21 【例 6】（2019 福建）某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分恰好成等差数列， 9 人的平均得分是 86 分， 前 5 名工人的得分之和是 460 分，那么前 7 名工人的得分之和是多少？ A.604 B.623 C.627 D.63 第二节 工程问题 一、给完工时间型 1.特征：给多个完

4、工时间 2.方法 （1）赋工作总量（完工时间的公倍数） （2）计算效率（效率=工作总量/完工时间） 3 （3）列式求解 【例 1】（2019 广东）捏一个人偶，师傅单独捏完需要 3 小时，徒弟单独捏完需要 9 小时，现在师傅单独捏几小时后，徒弟继续捏完，共用了 5 小时。师傅捏了（ ）小时。 A.1 B.2 C.3 D.4 【例 2】（2018 浙江）有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要 5 个小时装满水，如果打开乙水龙头注水，需要 8 个小时装满水，如果打开丙水龙头放水，需要 6 小时放空水池。现打开甲水龙头一小时，然后打开乙水龙头，过一小时后再打开丙水龙头，问再过多少小时可以注满水池？ A

5、.3 B.4 C.5 D.6 二、给效率比例型 1.特征：给效率的比例关系 2.方法 （1）赋效率（按比例赋值） （2）计算工作总量（工作总量=效率*工作时间） （3）列式求解 【例 3】 （2019 福建）有一批零件，甲和乙合作需要 15 天完成。若甲和乙合作 10 天后，乙再独自工作 6 天，最后这批零件还有总任务的 1/10 没完成，问甲单独做这批零件需要（ ）天。 A.30 B.36 C.38 D.40 4 【例 4】（2019 军队文职）工厂生产一批产品，18 名工人需 3.5 小时才能完成，现需提前 0.5 小时完成，假设工人工作效率相同，则需增加工人的人数是（ ）人。 A.3 B

6、.1 C.2 D.4 三、给具体数值型 特征：给效率的具体值或工作总量的具体值 方法：方程法 【例 5】（2020 公务员）某装配式建筑企业接到一个生产 1033 套楼板的订单。甲班组生产 5 天后，乙班组再生产 4 天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产 23 套，则甲班组生产楼板的套数是 A.625 套 B.645 套 C.535 套 D.515 套 第三节 行程问题 一、基础行程 1.公式：路程 =速度*时间 2.火车过桥：路程=桥长+火车长。火车完全在桥上：路程=桥长-火车长 【例 1】（2021 公务员）甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自匀速行走。甲恰好用 2 小时

7、回到出发点，比乙晚到 20 分钟，多走了 2800 米。若甲每分钟比乙多走 10 米，则甲行走的速度是： A.4.2 千米/小时 B.4.5 千米/小时 C.4.8 千米/小时 D.5.4 千米/小时 5 【例 2】（2018 安徽）某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒，问火车速度为多少？ A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分 二、流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速 -水速 船速=（顺水速度=逆水速度）/2 水速=（顺水速度 -逆水速度）/2 【例

8、 3】（2017 四川）甲、乙两港相距 360 千米，某船从甲港去乙港用了 4小时，如果以原来的船速返航则需要 9 小时。由于某些原因，返航时船速慢了 4千米/小时，则该船需要（ ）小时才能回到甲港。 A.9.5 B.10 C.11 D.10.5 三、相遇追及 1.相遇 （1）特征：同时出发，相向而行 （2）公式：S和=V和*t遇 2.追及： （1）特征：同时出发，同向而行 （2）公式：S差=V差*t追 3.环形： （1）相遇 n 次，路程和为 n 圈：S和=n 圈*每圈长度=V和*t遇。 （2）追及 n 次，路程差为 n 圈：S差=n 圈*每圈长度=V差*t追。 6 【例 4】 （2017

9、山西）甲、乙两辆火车同时从相距 147 千米的两个车站出发相向而行，经过 45 分钟后相遇，如果甲火车的速度是乙火车速度的 4/3 倍，那么甲、乙两火车的速度差是每小时（ ）。 A.28 千米 B.30 千米 C.24 千米 D.32 千米 【例 5】（2021 安徽）小李假期结束后，早上 8 点驾车以每小时 40 千米的速度从家返回公司。 若小李哥哥在十分钟后发现小李遗漏了重要文件并立马开车去追。问小李哥哥以多快的速度行驶，刚好可以在 8：30 追上小李? A.48km/h B.54km/h C.60km/h D.80km/h 【例 6】（2018 河北）环形跑道长 400 米，老张、小王、

10、小刘从同一地点同向出发， 围绕跑道分别慢走、 跑步和骑自行车。 已知三人的速度分别是 1 米/秒、3 米/秒和 6 米/秒，问小王第 3 次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？ A.3 B.4 C.5 D.6 7 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 1 1（笔记）（笔记） 【注意】说在课前： 1.本阶段是理论攻坚，主要学习解题方法和技巧。 2.为保持较好的学习效果，尽量提前预习。 3.同学们基础不一，希望公屏可以互相包涵。 4.有问题及时提出，具体哪个点有问题。 5.课上时间有限，不能照顾所有同学的问题，课后微博答疑：粉笔胡一萌。 6.12 月 2 日晚上，内容数学运算一（317 页开始

11、） ：计算问题，工程问题、行程问题。12 月 3 日晚上，数学运算二：经济利润、排列组合与概率。12 月 4日下午，数学运算三：几何问题、最值问题。 第一节 计算问题 【注意】数学运算：数量关系一共考查 10 道题，数字推理考查 23 道题，每一种题型基本考查 12 道题，军队文职的数学运算难度不大，相比公务员和事业单位而言，难度相对较低。 1.基础计算。 2.等差数列。 1.尾数法： （1）什么时候用？ 做加、减、乘、乘方计算； 8 选项的尾数不同。 （2）怎么用？只取最后一位进行计算，结果也只保留最后一位。 2.基础公式： （1）交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。 （

12、2）分配律：ac+bc=（a+b）c。 （3）平方差公式： （a+b） （a-b）=a-b。 3.定义新运算： 新的运算符号， 按规定计算。 原有规则仍然适用： 先算括号，再算乘除，最后算加减。 【知识点】基础计算： 1.尾数法：+、-、*、方。除法没办法用尾数法。 （1）适用：选项尾数不同。 （2）应用：取末一位计算。 （3）例：345*251= A.86595 B.83452 C.78761 D.69320 答：不需要精确计算结果，比较大的数据计算肯定有技巧，不要死算。涉及到了乘法运算，尾数 5*尾数 1=尾数 5，选项各不相同，直接选 A 项即可。 2.基础公式： （1）乘法分配律：ac

13、+bc=（a+b）c。 例：2020*52+2020*18。答：尾数是 0，四个选项尾数都是 0，不能用尾数计算。 都有一个因数就是 2020， 可以提取出来计算， 原式2020* （52+18） =2020*70，可以快速计算式子，结合选项计算，2020*70=141400。 （2）平方差公式：a-b=（a+b)（a-b） 。 例： 2021+2019，答： （2021+2019） （2021-2019）=4040*2=8080。 2021*2019，答： （2020+1） （2020-1）=2020-1。 3.定义新运算： （1）特征：出现新符号、新规则。 9 （2）方法：模仿新规则计算（

14、先括号、再乘除、最后加减） 。 （3）例：xy=3x-2y，23=3*2-2*3=0。35，3 就是 x，5 就是 y，35=3*3-2*5=-1。 【例 1】（2019 湖南）79.83+135.25-23.17-91.64=（ ） A.157.78 B.124.89 C.100.27 D.91.51 【解析】例 1.复杂加减法运算首先想到尾数法，先观察选项，选项末一位是 8、9、7、1，各不相同，尾数 3+尾数 5-尾数 7-尾数 4=尾数 1-尾数 4，遇到减法运算，前面数字小，后面数字大，可以直接借位，11-4=7，对应 C 项。【选C】 【注意】也可以看成（尾数 3+尾数 5）-（尾

15、数 7+尾数 4）=尾数 8-尾数 1=尾数 7。 【例 2】（2019 福建)125*437*32*25 的值为（ ） A.43700000 B.87400000 C.87455000 D.43755000 【解析】例 2.没办法用尾数，出现了 125 和 25，125*8=1000，25*4=100，看到 32，拆分为 4*8。125*8*437*4*25=43700000，对应 A 项。 【选 A】 【例 3】（2019 天津）201*199-202*198=（ ） A.0 B.3 C.16 D.200 【解析】例 3.方法一：能用尾数的情况下，先看尾数。尾数判断起来很快，1*9 尾数为

16、 9， 2*8 尾数为 6， 虽然 A、 D 项尾数相同， 但是尾数 9-尾数 6=尾数 3，不选 A、D 项，对应 B 项。 方法二：选项末一位有多个 3，可以利用平方差公式， （200+1） （200-1）-（200+2） （200-2）=200-1-（200-2）=-1+4=3。 10 方法三：201*（198+1）-（201+1）*198=201-198=3。 【选 B】 【例 4】（2018 军队文职）在初等数学加、减、乘、除运算的基础上，假设一种新的运算符号“*”，规定 x* y=（x+y）4，若（3*a）-2=10*2，则 a 的值是（ ） A.17 B.22/3 C.93 D.

17、5/3 【解析】例 4.先括号，再乘除、再加减， （3+a）/4-2=（10+2）/4， （3+a）/4=5，3+a=20，a=17，对应 A 项。 【选 A】 【注意】等差数列：相邻两项之间差是相等的，例如 1，4，7，10，13。相邻两项差是 3，d 是公差，n 是项数，a1为首项，an是末项。 1.通项公式：an=a1+（n-1）*d。从第一项到第二项加了一个 d，从第二项到第三项又加了一个 d，从第一项到第 n 项需要加（n-1）d，a10=a1*9d=1+9*3=28。a10和 a1差了 9 个 d，a5和 a10差了 4 个 d，a10-a5=a1+9d-（a1+4d）=（a1-4

18、d）=5d。an-am=（n-m）d。 2.求和公式：Sn=（a1+an）*n/2，Sn=（a1+a10）*10/2=（1+28）*10/2=29*5=145。 3.中项求和公式：Sn=（a1+an）*n/2=中位数*n。 （1）n 为奇数：Sn=中位数*n=中间项*n。 （2）n 为偶数：Sn=中位数*n=中间两项和/2*n。 4.例： （1）2、4、6、8、10，中间项是 6，S5=6*5=30。 （2）2、4、6、8、10、12。中间两项的平均数是（6+8）/2，S7=6*7=42。 5.奇数项的中间项：第（n+1）/2 项： （1）n=13，中间项第（13+1）/2=7 项，S12=（

19、a7*13） 。 （2）n=22，中间项第（21+1）/2=11 项，S21=（a11*21） 。 6.偶数项的中间项：第 n/2 项，第 n/2+1 项： （1）n=12，中间项（第 6 项、第 7 项） ，S12=（a6+a7）/2*12。 11 （2）n=22，中间项（第 11 项、第 12 项） ，S22=（a11+a12）/2*22。 7.如果发现等差数列的平均数，中位数是等差数列的平均数。 【例 5】 （2018 甘肃）小张 8 月份休年假旅游回来后，将办公室的日历连续翻了 10 页，这些日历的日期之和是 155，那今天的日期是（ ）。 A.15 B.16 C.20 D.21 【解

20、析】例 5.方法一：连续的 10 页日历，公差 d=1，S10=155=中位数*10，逆着运用，中位数=155/10=15.5=（a5-a6）/2，a5+a6=15.5*2=31，a5=15，a6=16，先计算 a10，a6和 a10差了 4d，16+4=a10=20，对应 D 项。 方法二：S10=（a1+a10）*10/2，设 a10=x，a10=a1+9*1，S10=155，x=20。 【选 D】 【注意】通过 a6求 a10，看下角标 10-6=4，就是差了 4d，a10=a6+4d。通过 a6求解 a25，差了 25-6=19，差了 19d，a25=a16+19d。 【例 6】（20

21、19 福建）某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分恰好成等差数列， 9 人的平均得分是 86 分， 前 5 名工人的得分之和是 460 分，那么前 7 名工人的得分之和是多少？ A.604 B.623 C.627 D.63 【解析】例 6.就是等差数列，通过第一个条件得到平均分是 86，平均分就是等差数列的中位数，S9=a5*9，S9/9=a5=86。S5=460=a3*5，a3=460/5=92。都是中项，a3和 a5差了 2d，86-92=-6=2d，d=-3，S7=a4*7=89*7=尾数 3，对应 B 项。 【选B】 【注意】利用中间项求出 a4=7，不知道 a4是多少

22、，S7肯定是 7 的倍数，结果是 7 的倍数，只有 B 项值 7 的倍数，可以直接选。 12 【注意】计算问题： 1.基础计算： （1）尾数法：加、减、乘、方运算；尾数各不相同。 （2）基础公式： 提取公因子：ac+bc=c（a+b） 。 平方差公式：a+b=（a+b） （a-b） 。 （3）定义新运算： 题目中出现新的运算符号。 按规则运算，先括号、再乘除、后加减。 2.等差数列： （1）通项：an=a1+（n-1）d。 （2）求和：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。 第二节 工程问题 【注意】工程问题： 1.三量关系：工作总量=工作效率*工作时间。老师每天搬 10 块砖，指的是效

23、率。搬了 10 天，搬了 100 块砖，100 块砖就是工作总量。效率=总量/时间，时间=总量/效率。 2.常考题型： （1）给完工时间型。 （2）给效率比例型。 13 （3）给具体单位型。 3.常识：计算工程问题的时候需要分析工作总量。 （1）分时间段：W=W+W+W。甲干了 2 天，表示为甲效率*2，乙丙一起干了 4 天，就是（乙效率+丙效率）*4，甲丙一起干了 3 天，就是（甲+丙）*3，工作总量=甲*2+（乙+丙）*2+（甲+丙）*3。 （2）分人：W=W甲+W乙+W丙。甲*（2+3）+乙*4+丙*（4+3） 。 【知识点】给完工时间型（给出多个“完工时间” ）: 1.赋总量（完工时间

24、的公倍数） 。 2.算效率：效率=总量/时间。 3.根据工作过程列式计算。 4.例：完成一项工作，甲需要 4 小时，乙需要 6 小时，现甲乙合作需要多久完成？ 答：4、6 是完成一项工作的时间，是完工时间型。赋值总量为 12，甲效率=12/4=3，乙效率=12/6=2，为了效率不出现分数，根据工作过程列式计算，t合作=12/（3+2）=12/5=2.4。 4.找最小公倍数 （短除法分解到两两之间除了 1， 没有其他公约数为止） 。 （1） 12、 18： 12、 18 除以 2 商 6、 9， 除以 3， 商 2、 3， 公倍数是 2*3*2*3=36。 （2）12、18、27：有一个公约数

25、3，商 4、6、9，4、6 除以 2，商 2、3，914 不能除抄下来，9 除以 3，商 3，3 除以 3 商 1，得到 2、1、3，两两之间没有公约数，最小公倍数为 3*2*3*2*1*3=108。 【例 1】（2019 广东）捏一个人偶，师傅单独捏完需要 3 小时，徒弟单独捏完需要 9 小时，现在师傅单独捏几小时后，徒弟继续捏完，共用了 5 小时。师傅捏了（ ）小时。 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】例 1.给完工时间，第一步，把总量赋值为 3、9 的公倍数 9，师傅的效率为 9/3=3，徒弟的效率为 9/9=1，W师傅+W徒弟=9。3t+1*（5-t）=9，2t=4，t=2，对应

26、 B 项。 【选 B】 【例 2】（2018 浙江）有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要 5 个小时装满水，如果打开乙水龙头注水，需要 8 个小时装满水，如果打开丙水龙头放水，需要 6 小时放空水池。现打开甲水龙头一小时，然后打开乙水龙头，过一小时后再打开丙水龙头，问再过多少小时可以注满水池？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】例 2.这里的 5、8、6 就是完成一水池水的工作时间，属于给完工时间型。先赋总量。 （1）给完工时间型，找 5、8、6 的最小公倍数，除以 2，得15 到 5、4、3，最小公倍数=2*5*4*3=120。或者两两找，5、6 最小公倍数是 30，30 和 8 找公

27、倍数是 120。 （2）算效率：甲效率=120/5=24，乙效率=120/8=15，丙效率=120/6=20。因为丙是放水，帮倒忙，所以效率为-20。 （3）分时间段分析，甲做了 1 个小时，甲、乙做了 1 个小时，剩下的时间甲、乙、丙都打开，问再过多少小时， 假设时间是 t。 列式： 24*1+ （24+15） *1+ （24+15-20） *t=120。 63+19t=120，t=3。 【选 A】 【注意】如果分人计算：24*（2+t）+15*（1+t）+（-20*t）=120。 【知识点】给效率比例型： 1.赋效率（按比例赋值） 。 2.算总量：效率*时间=总量。 3.根据工作过程列式计

28、算。 4.例：一项工作，甲乙工作时的效率之比为 5：2，两人合作 6 天可以完工，问乙单干需多少天完工？ 答： （1）赋效率，赋值甲效率为 5，乙效率为 2。 （2）算总量： （5+2）*6=42。（3）根据工作过程列式：t乙=42/2=21。 3.题目给效率比例的形式： （1）直接给： 甲乙的效率之比为 3：2。 甲的效率是乙的 1.5 倍（3/2） ，得到甲/乙=3/2。 甲的效率比乙多 50%，50%=1/2，甲/乙=3/2。 （2）间接给： 甲 4 天的工作量等于乙 3 天工作量的一半（工作量相同） 。等于看成等量关系，甲*4=乙*3*1/2，甲/乙=3/8。 甲完成工作时，乙只完成一

29、半（时间相同） 。工作量之比，时间相同，工作量就代表效率比，W甲/W乙=2/1，甲效率/乙效率=2/1，需要通过工作量和时间分析，可以求出效率比。 特殊型多个人/多台机器，50 个工人：36 台收割机（每人/机器效率16 相同） 。赋值每个人/每台机器效率为 1。 【例 3】 （2019 福建）有一批零件，甲和乙合作需要 15 天完成。若甲和乙合作 10 天后，乙再独自工作 6 天，最后这批零件还有总任务的 1/10 没完成，问甲单独做这批零件需要（ ）天。 A.30 B.36 C.38 D.40 【解析】例 3.完成了 9/10，不能赋值公倍数，15 是完工时间，没办法赋总量为时间的公倍数，

30、甲、乙合作 15 天完成，可以利用工作量的关系列式计算，甲、 乙合作 10 天，（甲+乙） *10+乙*6= （甲+乙） *15* （9/10） ， 甲/乙=2.5/3.5=5/7。属于间接给效率比例型。通过工作量分析效率，再列式计算。约分计算， （甲+乙）*10+乙*6=（甲+乙）*15*（9/10） ，乙*6=（甲+乙）*3.5，2.5 乙=3.5 甲，甲/乙=2.5/3.5=5/7。 赋值甲=5， 乙=7， 总量= （5+7） *15。 t甲= （5+7） *15/5=36。【选 B】 【例 4】（2019 军队文职）工厂生产一批产品，18 名工人需 3.5 小时才能完成，现需提前 0.

31、5 小时完成，假设工人工作效率相同，则需增加工人的人数是（ ）人。 A.3 B.1 C.2 D.4 【解析】例 4.出现了 18 名工人，是给效率比例的特殊型。 （1）把每名工人的效率赋值为 1。 （2）总量=18*1*3.5。 （3）在 3 小时的基础上提前了 0.5 小时，假设现在是增加了 x 人， 现在的效率是 18+x 人， 每人的效率不变是 1， 总量= （18+x）*3=18*3.5，18*3+3x=18*3.5，3x=18*0.5=9，x=3，对应 A 项。 【选 A】 【知识点】给具体单位型（具体效率或工作量） ：例如要修一条 5000 米的公路，每天修 500 米。 1.设未

32、知数。 2.根据工作过程找等量关系列方程：工作总量=效率*时间。 17 【例 5】（2020 公务员）某装配式建筑企业接到一个生产 1033 套楼板的订单。甲班组生产 5 天后，乙班组再生产 4 天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产 23 套，则甲班组生产楼板的套数是 A.625 套 B.645 套 C.535 套 D.515 套 【解析】例 5.出现了具体单位，利用“一共生产了 1033 套”列方程。甲比乙多生产 23 套， 设甲每天的套数是 x， 乙每天生产 x-23， 甲*5+乙*4=1033。 x*5+（x-23）*4=1023，x=125，问甲组生产的总套数，甲*5=125*

33、5=625。对应 A 项。【选 A】 【注意】工程问题： 1.给完工时间型： （1）先赋总量（公倍数） 。 （2）再算效率=总量/时间。 （3）根据工作过程列方程。 2.给效率比例型： （1）先赋效率（满足比例即可） 。 （2）再算总量=效率*时间。 18 （3）根据工作过程列方程。 3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。 第三节 行程问题 【知识点】行程问题：工程问题课下多练习，行程问题公式很多，不同公式模型不同，行程问题这块大家听的时候可以选择的听。 1.三量关系：路程=速度*时间。S=V*t，V=S/t，t=S/V。 2.考查题型： （1）基础行程。 （2）相对行程。 3.基础行

34、程： 基本公式： 路程=速度*时间 （方程法） ， 单位换算 1m/s=3.6km/h。1m/s=3600m/h=3600/1000km/h=3.6km/h。 4.火车过桥，过隧道： （1）火车过桥：路程=桥长+火车长。火车上桥开始过桥，车尾离开是火车过桥，研究路程的时候，找一个参照点，路程=桥长+火车长。 （2）火车完全在桥上：路程=桥长-火车长。火车车尾上桥，车头离桥的时候，研究火车头走的路程是桥长-车长。 【例 1】（2021 公务员）甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自匀速行走。甲恰好用 2 小时回到出发点，比乙晚到 20 分钟，多走了 2800 米。若甲每分钟比乙多走 10

35、 米，则甲行走的速度是： A.4.2 千米/小时 B.4.5 千米/小时 19 C.4.8 千米/小时 D.5.4 千米/小时 【解析】例 1.甲用了 2 个小时，比乙晚到了 20 分钟，边分析边口算，则乙用了 100 分钟。直接设未知数列方程，S甲-S乙=2800。求甲的速度，设甲的速度为 V，乙的速度为 V-10，甲走了 120 分钟，V*120-（V-10）*100=2800，V=90 米/分钟，90*60 米/小时=5400 米/小时=5.4 千米/小时。 【选 D】 【例 2】（2018 安徽）某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒

36、，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒，问火车速度为多少？ A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分 【解析】例 2.火车过桥的两个模型，直接用结论。过桥时 S=桥长+车长，设火车长为 L，速度为 V，1000+L=V*120。火车完全在桥上，S=桥长-车长，1000-L=V*80。求 V，两个方程是方程组，需要消元，求 V，消掉 L，+得到 2000=200V，V=10m/s。 【选 A】 【知识点】相对行程： （1）流水行船：V顺水=V船+V水，V逆水=V船-V水。+得到：V船=（V顺+V逆）/2，-得到 V水=（V顺水-V逆水）/2。 （2）静水速

37、度=船速、漂流速度=水速。S=V顺T顺，S=V逆*T逆。 【例 3】（2017 四川）甲、乙两港相距 360 千米，某船从甲港去乙港用了 4小时，如果以原来的船速返航则需要 9 小时。由于某些原因，返航时船速慢了 4千米/小时，则该船需要（ ）小时才能回到甲港。 A.9.5 B.10 C.11 D.10.5 【解析】例 3.从甲去乙的时间段，乙回到甲的时间长，则甲去乙是顺水。船速慢了 4 小时，V船-4-V水=V船-V水-4=V逆-4。原来返航需要 9 小时，V逆=360/9h=40km/h。所以 V逆-4=36km/h，t=S/36km/s=360/36=10h，对应 B 项。 【选20 B

38、】 【注意】可以课后求一下 V顺、V船、V水。 【注意】 1.直线相遇：两人同时相向而行。公式：S和=V和*t，S和是两人的路程相加。AB=AC+BC=V猫*t+V老鼠*t=（V猫+V老鼠）*t。时间相同，提出 t。 2.直线追及：两人同时同向而行。公式：S差=V差*t，S差：追及开始时两人的距离。追及的时候时间相同，猫的路程是蓝色的部分是 AC，老鼠走的路程是BC，路程差为 AB=AC-BC=V猫*t-V老鼠*t=（V猫-V老鼠）*t，路程差不变，与在哪一点追上无关，只和追及最开始的时候路程差有关系。 【例 4】 （2017 山西）甲、乙两辆火车同时从相距 147 千米的两个车站出发相向而行

39、，经过 45 分钟后相遇，如果甲火车的速度是乙火车速度的 4/3 倍，那么甲、乙两火车的速度差是每小时（ ）。 A.28 千米 B.30 千米 C.24 千米 D.32 千米 【解析】例 4.相遇问题，S和=V和*t，设乙的速度为 x，甲的速度为 4/3x，出现比例分数，按照份数设，甲是乙的 4/3 倍，设 V甲为 4x，V乙为 3x，147=(4x+3x)*3/4，147*4/3=7x，x=28，对应 A 项。 【选 A】 21 【例 5】（2021 安徽）小李假期结束后，早上 8 点驾车以每小时 40 千米的速度从家返回公司。 若小李哥哥在十分钟后发现小李遗漏了重要文件并立马开车去追。问小

40、李哥哥以多快的速度行驶，刚好可以在 8：30 追上小李? A.48km/h B.54km/h C.60km/h D.80km/h 【解析】例 5.小李从家返回公司，小李哥哥去追小李，是追及问题，从追及的那一刻开始研究，10 分钟后开始追，从 8：10 分开始研究，小李走了 10 分钟，哥哥出发，哥哥和小李相距的路程为 40*1/6h，S差=V差*t，40*1/6=（V-40）*1/3h，V=60，对应 C 项。【选 C】 【知识点】环形问题： 1.环形相遇（同时同点、反向） ： （1）公式：S和=V和*t遇。 （2）分析：路程和：S和=V和*t遇。相遇 1 次，S和=1 圈，从 B 点到下一次

41、相遇，需要再走一圈，每相遇一次，路程和是 1 圈，相遇 2 次，路程和是 2 圈，相遇 m 次，S和=n 圈。S和=n 圈*每圈长度=V和*t遇。 22 2.环形追及（同时同点、同向） ： （1）公式：S差=V差*t追。 （2）从同一点反向出发，追上 1 次就是 1 圈，追上 2 次，就是多跑 1 圈，S差=1 圈。每追上 1 次，路程差就是 1 圈，追上 n 次，S差=3 圈。S差=n 圈*每圈长度=V差*t追，研究路程差，小老鼠跑的路程是黄色的，猫跑的是蓝色的路程，蓝色的线和黄色线相等，多跑了一圈。 23 【例 6】（2018 河北）环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出

42、发， 围绕跑道分别慢走、 跑步和骑自行车。 已知三人的速度分别是 1 米/秒、3 米/秒和 6 米/秒，问小王第 3 次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】例 6.同一起点同向出发，问小王第 3 次超越老张时，首先求出时间， 分析同样的时间小刘已经超越了小王多少次， 小王要想追上就需要多跑一圈，第三次超越， S差=3圈， 3*400= （3-1） *t， t=600s， 问 600s 小刘超越小王多少次？次数要转换成圈数， S差=n 圈， 代表追上了 n 次，（6-3） *600s=1800m， 1800/400=4.5圈，多跑了 4.5 圈，第 5

43、 圈还没追上，已经追上的是 4 圈，对应 B 项。 【选 B】 【注意】 1.普通行程： （1）路程=速度*时间（S=V*T） 。 （2）火车过桥/隧道： 火车过桥：路程=桥长+火车长。 火车完全在桥上：路程=桥长-火车长。 2.相对行程： （1）流水行船：V顺=V船+V水，V逆=V船-V水。V船=（V顺+V逆）/2，V水=（V顺-V逆）/2。 24 （2）相遇追及： 相遇：S和=V和*T遇。 追及：S差=V差*T追。 （3）多次运动： 环形第 n 次相遇，n 圈=V和*T。 环形第 n 次追及，n 圈=V差*T。 【注意】 预习范围：第四节 经济利润。第五节 排列组合与概率。下节课：18：45答疑，19：00 准时上课。 【答案汇总】计算问题：1-5：CABAD；6：B 工程问题：1-5：BABAA 行程问题：1-5：DABAC；6：B