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1、|高等数学测试(第一章)一 .选择题(每题 2 分,共 20 分)1.(2 分) 的定义域为 ( ) 712arcsin16)(2xxfA B C D3,4,34,34,32.(2 分) 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为 ( ))2(xf 1,0)(xfA B C D1,1, 2,13.(2 分)已知 , 则 = ( ))(2xxf )(xfA B C Dx11212x4.(2 分)下列函数对为相同函数的是 ( )A B )(,1)(2xgxf 3ln)(,l3)(gxfC D 2ln,lf 2,f5.(2 分)若 为奇函数,则下列函数一定为偶函数的是 ( )()fxRA B C D
2、f(2)fx(|)fx2()fx6.(2 分)函数 的反函数为 ( )12xyA B C Dlogxlog2 xy1log2 xy1log27.(2 分)已知极限 ,则常数 等于 ( )2lim()0xaaA -1 B0 C1 D28.(2 分)当 时与 等价的无穷小量是 ( )|A B C D 1xeln(1)x1x1cosx9.(2 分)点 是函数 的 ( 3()xf)A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D第二类间断点10.(2 分)下列命题正确的是 ( )A 两无穷大之和为无穷大; B 两无穷小之商为无穷小;C 存在当且仅当 与 均存在;)(lim0xf)(lim0xf)(li0xfD
3、 在点 连续当且仅当它在点 既左连续又右连续)(f二填空题(每题 3 分,共 15 分)11.(3 分)函数 在点 处有定义是 在 处极限存在的_. ()fx0()fx012.(3 分)当 时,无穷小 与无穷小 等价,则常数ln1Asin3xA=_. 13.(3 分)已知函数 在点 处连续,且当 时,函数 ,则函数值()fx00x21()xf=_. (0)f14.(3 分)若 存在,且 ,则 =_.lim()xfsin()2lim()xfxfli()xf15.(3 分)设函数 ,则 =_.fgf 1,21g三 计算题(共 55 分) 16.(5 分) . 17.(5 分) .nnn 222.1
4、lim )1(lim2xx|18.(5 分) . 19.(5 分) .xex2sin1lim30 xxcot20)3sin1(lim20.(5 分) . 21.(5 分) .xx1lnlim0 30tansilimxx22.(5 分) . 23.(5 分) .201sinlimxxe x0lim24.(7 分)设 具有极限 ,求 的值.3214limxaxl,al|25.(8 分)若 存在,且 ,求 和 .)(lim1xf23)(xf )(lim1f)(xf)(lim1f四.证明题(共 10 分)26.(10 分)设函数 , 均在闭区间 上连续,且有 ,()fxg,ab()fag,证明:存在
5、,使 成立.()fbg,( ) fg|答案:一. 选择题 15 BBDBC; 610 AABBD二填空题 11、无关条件; 12、3; 13、 0; 14、 1;15、3三计算题16. . nnn 222 1.1lim【解析】因为 ,),.(1222 ii所以 ,1.122222 nnn而 .limli22nn由两边夹逼准则可知, .1.21li 22 nnn17. .)1(li2xx【解析】原式 .21limli2 xxx18. .xex2sin1lim30【解析】原式 .16lim16li32lim8li 20200320 22 xxexexxx|19. .xxcot20)3sin1(li
6、m【解析】原式 xxxxxx xeetan32silmtan32si0tan32si32sin10 0l)si(li .2limsil32inlm2000 eeexxxx20. .x1lli0【解析】原式 .21lim1lnilnim0200 xxxxx21. .30taslix【解析】原式= .232000i 1s1coscollilicosxxx22. .201sinlimxxe【解析】原式= .21limli020xx23.(5 分) .x【解析】原式 .1li 01lim1lnilnimln0 2000 eeexxxxxx24.设 具有极限 ,求 的值.3214limxa l,al【解
7、析】因为 ,所以 ,li()0x321li(4)0xx因此 并将其代入原式4a|32114()(4)limlim10x xx25.若 存在,且 ,求 和 .)(lifx 23)(2f )(li1fx)(xf)(lim1f【解析】设 ,对等式 两边同时取极限 可得,A1 )(fli1x 1x,即 ,故 .li23li)(li 121xfxx AAx23li24)(li1Afx所以 .8四证明题26.设函数 , 均在闭区间 上连续,且有 , ,证明:()fxg,ab()fag()fbg存在 ,使 成立.,ab( ) f【证明】 构造函数 ,则函数 在闭区间 上连续,()()Fxgx()Fx,而 , , ()0Ffga0bfb显然 ab于是由连续函数的零点定理知, 使得 ,(,)()F即 存在 ,使 .,( ) fg