高等数学-习题内容答案-方明亮-第一章.doc

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1、|习 题 1-11求下列函数的自然定义域：（1） ； 21yx解：依题意有 ，则函数定义域 0()|2x1Dx且（2） ；21arcos36xy解：依题意有 ，则函数定义域 20x()Dx（3） ；ln(3)y解：依题意有 ，则函数定义域 2 ()|12x（4） ；31x解：依题意有 ，则函数定义域 0()|x0,1D且（5） sin1,2;xy, ， 解：依题意有定义域 ()|Dx（6） .1arctn3yx解：依题意有 ，则函数定义域 0()|3x0Dx且2已知 定义域为 ，求()fx,12(, sin, ), ()()ffaffa( )的定义域0a解：因为 定义域为 ，所以当 时，得函数

2、 的定义域为f0,201x2fx；1,当 时，得函数 定义域为 ；sin1x(sin)fx,()k当 时，得函数 定义域为 ；0aaa当 时，得函数 定义域为：（1）若 ，()()ff 12a；（2）若 ， ；（3）若 ， ,1x12x2x3设 其中 求函数值 22() ,afx0,a(),1fa解：因为 ，则2221xf， 221()4afa20 ,11()1110时，不等式 成立971, 2|a|（3）要使 成立， 取 ，那么当 时， 2|3na13,9n139NnN2|na成立.2根据数列极限的定义证明：（1） ； （2） lim0!n23lim1n解：（1） ， 要使 ， 只要取 ，

3、所以，对任1|0|! N意 ，存在 ，当 时，总有 ，则 .01NnN|0|nli0!n(2) ,要使 , 即 ,只要取02 2233|1|()32,所以,对任意的 0,存在 , 当 , 总有 , 32nN|1|n则 .lim1n3若 证明 并举例说明：如果数列 有极限，但linxa， lim|nxa|nx数列 未必有极限n证明: 因为 , 所以 , , 当 时, 有 .不妨假lin01N1n|na设 a0, 由收敛数列的保号性可知: , 当 时, 有 , 取220x, 则对 , , 当 时 , 有 .故12maxN |nn. 同理可证 时, 成立.li|n0alim|nxa反之,如果数列 有

4、极限, 但数列 未必有极限.如：数列 , |nx|n 1nnx， 显然 , 但 不存在|1nxli1nlin4设数列 有界，又 证明： 0yli0nxy证明: 依题意,存在 M0, 对一切 n都有 ， 又 , 对 , |Mlimny0存在 , N当 时, , 因为对上述 , 当 时, ,由n|0|nyN|0|nnnxMy的任意性, 则 limnx5设数列 的一般项 ，求 1(3)cos2nxlin解: 因为 , , 所以 .1li0xn()|s|1(3)mcos02x6对于数列 ，若 ， ，证明：21kxA2(kA()nxA证明: 由于 , 所以, , , 当 时，有 , 21limk01N1

5、k21|kxA|同理, , , 当 时, 有 取 =max , , 02N2k2|kxAN120当 时, 成立, 故 n|nxA()nx习 题 1-31当 时， 问 等于多少，使当 时，x234yx|1|x？|4|0.y解：令 ，则 ，要使1|5|1|2，2 5|4|3|1|0.12yxxx只要 ，所以取 ，使当 时， 成立 |1|0.x0.4|4|y2当 时， 问 等于多少，使当 时，x213xyX|xX？|0.1y解：要使 M时,总有 ,故 .21x21Msin|xlim4用 或 语言，写出下列各函数极限的定义：X|（1） ； （2） ；lim()1xflim()xfa（3） ； （4）

6、ab 38解: (1) , 当 x-M时, 总有 ;0,M|()1|fx(2) , 当 , 总有 ;|xa(3) , 当 时, 总有 ;,a|fb(4) 当 时, 总有 3()8x5证明: .0lim|x证明: 由于 , ,所以 .0|lix00lim|li()xx0lim|x6证明：若 及 时，函数 的极限都存在且都等于 ，则f Ali()xfA证明: 由于 ,则对 , ,当 时,li()xfA1M1x有 又 ,则 ,当 ,有 .取|()|fli()xfA20M2x|()|fx那么对 ,当 时,总有 ,故有 .12max,M0| |()|flim()xfA习 题 1-41根据定义证明：（1）

7、21xy为当 时的无穷小；x（2） 为当 时的无穷小；sin（3） 为当 时的无穷大3xy0证明: (1) ,因为 ,取 ,则当 时, 总有 ,故021|xx0|1|x0x21limx(2) ,因为 ,取 , 则当 时, 总有011|sin0|sin|xx1M|x, 故 .1|sin|si|xxlmx(3) , ,当 时,总有 ,所以 0M130|131|3xMx.013limx2函数 在 内是否有界？该函数是否为 时的无穷大？sinyx(,)解答: 取 ,则 ,因此当 时, 故函20ny2nx0nnyx数|当 时,不是无穷大量sinyx下证该函数在 内是无界的. , 且 ,00M2nxnx，

8、取 , ,有2si22nn1N0(0)2N，所以 是无界的.0yNMsinyx3证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷1cox(0,1 0x大证明: 令 ,类似第 2题可得t习 题 1-51求下列极限：（1） ； （2） ；231lim4n11lim23()nn（3） ； （4） ； 22lin 1lin（5） ； （6） ；154x325x（7） ； （8） ；22lim1xx limx（9） ； （10） ；30()h 2134x（11） ； （12） ；31lixx 3li5x（13） ； （14） ；33limxlim21x（15） ； （16） (26)x 327xx解:

9、 (1) = 231lim4n231li04n(2) = li12(1)n 111lim()()()23n n = ()(3) = 221limnn 2()1li|(4) = 132limn21()3linn(5) = = 21li54x1()li4x12lim3x(6) = 32x32(7) =lim1xx22221lixxx= = 221limxx2lim1xx(8) = 21lim53x21li53x(9) = = 0()lih2230()lihxhx320lim()3hxh(10) = =31x31(mx21)(x= 2limx(11) = 3li51x23li015xx(12) 33

10、1lix=2 23 332 21333()(1)(1()1()lim)xxxxx= = 2 231li()x xx6(13) = 3lix2li1x(14) = 3lim(26)x3236li()xx(15) = 327x3 31m7limx x2设 问当 为何值时，极限 存在,0,()2.xefaa0li()xf解：因为 ，所以，当0000limli1,lim()li(2)xx xffa|，即 时， 存在00lim()li()xxff1a0lim()xf3求当 时，函数 的极限12xe解：因为12 11lili()0,xxxe1m,xxx e所以 不存在。21lixx4已知 ，其中 为常数，求 和 的值2li(5)1xabc,abcab解：因为222(5)(5) m limx xxxxcx，所以 ，则 2 2(2)(5)= li li 15x xcababcx015ab50ab5计算下列极限： （1） ； （2） ;01limsnx sin1lmlsi0xx（3） ； （4）arctliliarct0xxx6试问函数 在 处的左、右极限是否存在？当215sin,0,0(),.xfxx时， 的极限是否存在？ 0x()f解： ， ，因为 ，所200lim()li(5)xxf001lim()li(5sin)5xxfx(0)ff以 x习 题 1-61计算下列极限：