成人高考~专升本高数试题~.doc

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1、|(满分 150 分。考试时间 l20 分钟。)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的（1） 4()x的展开式中 2x的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）20（2）在等差数列 na中， 190，则 5a的值为（A）5 （B）6 （C）8 （D）10（3）若向量 (3,)m， (2,)b， bA，则实数 m的值为（A） 2 （B） 3（C）2 （D）6（4）函数 164xy的值域是（A） 0,) （B） 0,（C） 0,4) （D） (0,4)（5）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 2

2、50 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为（A）7 （B）15 （C）25 （D）35（6）下列函数中，周期为 ，且在 ,42上为减函数的是（A） sin(2)yx （B） cos(2)yx（C） （D ）（7）设变量 ,xy满足约束条件0,2,xy则 32zxy的最大值为（A）0 （B）2 （C）4 （D）6（8）若直线 yxb与曲线 cos,inxy（ 0,2)）有两个不同的公共点，则实数 的取值范围为（A） (2,1) （B） ,|（C） (,2)(2,) （D ） (2,)（9）到两互相垂直

3、的异面直线的距离相等的点（A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个（10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2人，每人值班 1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有（A）30 种 （B）36 种 （C）42 种 （D）48 种二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上（11）设 |10,|0xx，则 AB=_ .（12）已知 t，则函数241ty的最小值为_ .（13）已知过抛物线 2x的焦点 F的直线交该抛物线于 、

4、 两点， 2AF，则BF_ _ .（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为 170、 69、 8，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_ .（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在的圆经过同一点 P（点 不在上）且半径相等. 设第 i段弧所对的圆心角为 (1,23)i，则232311cossin_ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，

5、nS为 a的前 项和.（）求通项 及 nS；（）设 nb是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n|项和 nT.（17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2，6） ，求：（）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18） （本小题满分 13 分） ， （）小问 5 分， （）小问 8 分）设 ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3

6、2+3c-3 2a=4 bc .() 求 sinA 的值；()求2sin()si()441co2的值.|(19) (本小题满分 12 分), ()小问 5 分，() 小问 7 分.)已知函数 32fxabx(其中常数 a,bR), ()()gxfx是奇函数.()求 )的表达式 ;()讨论 (gx的单调性，并求 ()gx在区间上的最大值和最小值.（20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ）如题（20）图，四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， A底面 ， 2，点 E是棱PB的中点.（）证明： E平面 ；（）若 1D，求二面角 BECD的平面角的余弦值. （21

7、） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ）已知以原点 O为中心， (,0)F为右焦点的双曲线 C的离心率 52e.（）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点 1(,)Mxy的直线 1l：14xy与过点 2,N（其中 2）的直线 2l： 4y的交点 E在双曲线 C上，|直线 MN与双曲线的两条渐近线分别交于 G、 H两点，求 OA的值. 参考答案1-10 BADCB ACDDC二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上（11）解析： |1|0|10xxx（12）解析： ，当且仅当 时，2442()

8、tytt1tmin2y（13）解析：由抛物线的定义可知 1AFK故 2ABx轴 B（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率 69873100p（15）解析： 2321231cossincos又 ，所以12313co三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）解：（I）因为 是首项为 公差 的等差数列，na,912d所以 2)(219nS（II）由题意 所以,31nnab,1nb.20)1(2nnT（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个，有种等可能的结

9、果。3026A|（I）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则 A 包含的结果有 种，623故所求概率为 .510)(P（II）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则 表示甲、乙两单位序号相邻， 包含的结果有 种。B10!25从而 .3201)(1)(P（18）解：（I）由余弦定理得 ,3cos2bcaA又 .1sin,02A故（II）原式 Acos1)4i()4(2A2sin)()i(AA2si )cos2in)(co( .27sin2A（19）解：（）由题意得 .23)(bxaxf因此 是奇函数，)(.)2()1()( xgbxfxg 因 为 函 数所以 有,),(x即 对 任

10、意 实 数 ,)2()13()(213)( 222 bxabxax 从而 的 解 析 表 达 式 为因 此解 得 ,031,0xfab|.31)(2xxf（）由（）知，2,0)(,2)(,)( 12 xgxgxg 解 得令所 以 ),0,2 在 区 间从 而时或则 当 xx上是减函数；当 从而 在区间 上是增函数。2时 )(x)(x2由前面讨论知， ,2,12,1)( 时 取 得能 在上 的 最 大 值 与 最 小 值 只在 区 间 xxg而 因此.34)2(,)(,35g上 的 最 大 值 为在 区 间 2,1)(xg，最小值为34.34)2(g（20） （I）证明：如答（20）图 1，由

11、PA底面 ABCD，得 PAAB，由 PA=AB 知PAB为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AEPB由题意知 BCAB，又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影，由垂线定理得 BCPB ，从而 PC平面 PAB，因 AEBP ，AEBC ，所以 AE平面 PBC。（II）解：由（I）知 BC 平面 PAB，又 AD/BC，得 AD平面 PAB，故 ADAE 。在 中，PA=AB= ，PABRt2.112ABE从而在 ，2.,2CDECt 又中所以 为等边三角形，D取 CE 的中点 F，连接 DF，则 .DF因 BE=BC=1，且 BCBE，则 为等腰直角三角形，连接 BF

12、，则 BFCE，B|所以 为所求的二面角的平面角。BFD连接 BD，在 中，R .3,21,263sin 2 CDBCEBFC所以 .3coD故二面角 BECD 的平面角的余弦值为 .解法二：（I）如答（20）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、 AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系 Axyz.设 D（0，a，0） ，则 )0,2(),0(aCB.,2),(EP于是 )0,(),0,(aBCA2,aPC则 ，所以 AE平面 PBC.0PE（II）解：设平面 BEC 的法向量为 n，由（I）知，AE平面 BEC，故可取 )2,(1An设平面 DEC 的法向量

13、，则 ，,zyxn02DCn.02DEn由 =1，得|A)0,12(),C从而 ,02(EC|故 022,0zyx所以 .,0可取 ),1(22ny则从而 .3|,cos2121所以二面角 BECD 的平面角的余弦值为 .（21） （本题 12 分）解：（I）设 C 的标准方程是 ，)0,(12bayx则由题意 .5,ace因此 ,1,22baC 的标准方程为 .42yxC 的渐近线方程为 .02,1yxyx和即（II）解法一：如图（21）图，由题意点 在直线 和),(E4:1yxl上，因此有4:12yxl Exyx21142E故点 M、N 均在直线 上，因此直线 MN 的方程为yE.yxE设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 及 的交点，02yxyx由方程组 ,402,4yxEE及|解得 .24,2,4ENECyxyxy故 EyxOG24.412Eyx因为点 E 在双曲线 .4,122Eyxyx有上所以 .342ExOHG解法二：设 ，由方程组得),(y,421x解得 ,)( 121121 yxyxEE故直线 MN 的方程为 ).(411E注意到 因此直线 MN 的方程为 ，,411Eyx 4yxE下同解法一.