《高中数学竞赛》数系列.doc

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1、|竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列a n的第 n项 an 与项数( 下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1 ， 2，n) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一

2、、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。 等差数列a n的通项公式为： )1(1dnan前 n 项和公式为： 2()2)(11aSnn从(1)式可以看出， 是 的一次数函( )或常数函数 ( )，(n 0d0d)排在一条直线上，由(2)式知， 是 的二次函数( )或一次函na, nS数( )，且常数项为 0。在等差数列 中，等差中项： 0,1d na且任意两项 的关系为：21nn nma, m)(它可以看作等差数列广义的通项公式。 |从等差数列的定义、通项公式，前 项和公式还可推出：

3、nnkaaaknn 3,21,23121 若 qpnmqpmNqp:,*则 有且等 等或 等 差 数 列 , 1)()(23211 knkkknmSSaa二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 表示。等比数列 an的通项公式是： q 1nnqa前 项和公式是：n1,qnS1,1)(1qaqann在等比数列中，等比中项： 21nna且任意两项 的关系为nma, mq如果等比数列的公比 满足 0 1，这个数列就叫做无穷递缩等q比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：qaS1从等比数

4、列的定义、通项公式、前 项和公式可以推出： n|121212321* 123121 )(,)(:, ,3, nnnnn mqpknnnn aaaNqpma 则 有记 则 有若 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂 ，则 是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等naCna比数列与等差数列是“ 同构 ”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“ 倒排相加 ”(等差数列)， “错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是

5、求数列的通项公式，二是求数列的前 n 项和。 三、 范例 例 1 设 ap， aq， am， an 是等比数列 an中的第 p、 q、 m、 n 项，若p+q=m+n，求证： nqp证明：设等比数列 的首项为 ，公比为 q，则a1anmqp nmnmqpnnmqqppaaqa : ,212111故所 以说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a 1+kan-k=a1an|对于等差数列，同样有：在等差数列 中，距离两端等这的na两项之和等于首末两项之和。 即：a 1+k+an-k=a1+an例

6、2在等差数列 中，a 4+a6+a8+a10+a12=120，则 2a9-a10= nA.20 B.22 C.24 D28 解：由 a4+a12=2a8，a 6+a10 =2a8 及已知或得5a8=120，a 8=24而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数列a n满足 a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a 1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a 1+a2+a3+a101CaaaaS选 从 而故 ,0,001)( 193

7、210 例 4设 Sn 为等差数列 的前 项之各，nS9=18， ， Sn=336，则 为( ) )9(304aA.16 B.21 C.9 D8 |BnnaSan选故 而所 以 故由 于解 ,213612)( ,0,89:14555例 5设等差数列 满足 ，且 0， 为其前 项之和，n1385a1nS则中最大的是( )。 (1995 年全国高中联赛第 1 题) )(*NSn(A)S 10 (B)S11 (C)S20 (D)S2102,0:, )24(39)1()1(573:1138 nn aa nda时当则令 故解 所以:S 19=S20 最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例 6设等差

8、数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1997 年全国高中数学联赛第 3 题 解：设等差数列首项为 ，公差为 ，则依题意有：ad(*)972)1(2ndan因为 是不小于 3 的自然数，97 为素数，故数 的值必为n|2972 的约数(因数)，它只能是 97，297，97 2，297 2 四者之一。 若 ，则 由(*)式知 2972 故只可能有0d1)1()(ndn=97， (*)式化为： ，这时(*)有两组解：n9748da或 97an1297a若 ，则(*)式化为： ，这时(*)

9、也有两组解。0d2n或 97an197ad故符今题设条件的等差数列共 4 个，分别为：49，50，51，145，(共 97 项)1，3，5，193，(共 97 项)97，97，97，97，(共 97 项)1，1，1，1(共 972=9409 项)故选(C) 例 7将正奇数集合1，3，5， 由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组：1 ， 3，5，7， 9，11，13，15，17，(第一组) ( 第二组) (第三组 ) 则 1991 位于第 组中。 1991 年全国高中数学联赛第 3 题 |解：依题意，前 n 组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n 2 个 而 1991=2996-1

10、，它是第 996 个正奇数。 因为:31 2=9619961024=32 2所以:1991 应在第 31+1=32 组中。故填 32例 8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。 1989 年全国高中联赛试题第 4 题 解：设该数为 x，则其整数部分为x，小数部分为 x-x，由已知得：x(x-x=x2其中x0， 0x-x 1，解得：251251,0,251xxxx故 应 填例 9等比数列 的首项 ，公比 ，用 n 表示它的前na153621q项之积，则 n(nN*)最大的是( ) (A) 9 (B)11 (C)12 (D)13 1996 年全国高中数学联赛试题 解：等比

11、数列 的通项公式为na|前 n 项和191)2(5362)(1536nnna0)21(3 :)(591 1(92)1(因 为nnnnn 最 大故 123978131 942160812453689 ,3 选(C)例 10设 ，且两数列 和 均为等差数列，yxyax,321 43,21byx则 1988 年全国高中联赛试题 1234ab解：依题意，有 所以:)(412axy38)(1:3)12423212abxya所 以又例 11设 是实数， 成等比数列，且 成等差数列，zyx, zyx5,4zyx1,则 的值是 1992 年全国高中数学联赛试题 解：因为 成等比数列，所以有zyx5,43|:,

12、1,)1(56:)4(5322所 以 有成 等 差 数 列又 即zyxxzy)2(,:,zxyzx即xzxzyxz34)(15)2640,15(416:)(222得代 入将z例 12已知集合 M= 及 N= 并且 M=N，那么)lg(,xyyx,0( )的 值 等 于)1(1()1( 2032xy解：由 M=N 知 M 中应有一元素为 0，任由 lg( )有意义知 ，xy0xy从而 ，且 ，故只有 lg( )=0， xy=1，M= x,1,0；0xy若 y=1，则 x=1，M=N=0，1，1与集合中元素互异性相连，故 y1，从而x=1 ，x=1；由 x=1, y=1(含)，由 x=-1 y=-

13、1，M=N=0,1,-1 |此时, 21,21,21,12 kkk yxyxyxy从而 )()()( 2012注：数列 x， x2，x 3，x 2001； 以及201,y20132,1,1yy在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列，S 2n-1=-2，S 2n=0，故 2001 并不可怕。 例 13已知数列 满足 3an+1+an=4(n1)且 a1=9，其前 n 项之和为nSn，则满足不等式 Sn-n-6 的最小整数 n 是( ) 1994 年全25国高中数学联赛试题(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：由 3an+1+an=4(n1)3an+1-3=1-an81),(311 an故数列a n-1是以 8 为首项，以 为公比的等比数列，所以 31)3(8nna