高一数学必修一第一章考点与~习题讲解.doc-得力文库

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1、|必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来123,na表

2、示，基本形式为，既要关注代表元素 x，也要把握其属性，适用于无限集.|()xAP ()Px3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集 N，正整数集,BC或，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R.*N4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，例如， .32例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；2(3)0x（2）大于 2 且小于 7 的整数.解：（1）用描述法表示为：；2|(3)0xRx用列举法表示为 .,1（2）用描述法表示为

3、：；|7Z用列举法表示为 .3,456【例 2】用适当的符号填空：已知，，则有：|32,AxkZ|61,BxmZ17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；317kkZ17由，解得，所以；35由，解得，所以 .6m【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4）（1）一次函数与的图象的交点组成的集合； yx26yx（2）二次函数的函数值组成的集合；24（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.解：（1） .3(,)|(1,4)26yx（2） .2|4|y（3） .0xx点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.

4、在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比1,4（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合，试用列举法表示集合 A2|1xaA有唯一实数解解：化方程为：应分以下三种情况：21xa()02ABBAABABA B C D方程有等根且不是：由 =0，得，此时的解为，合294a12x方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合2xa12x方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合2 综上可知， 9,24A点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式

5、方程易造成增根的现象.第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset），记作（或），读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）B.2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（），且集合 B 是集合 A 的子集（），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记

6、作 . 3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset），记作xA B（或 B A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：；若，，则；CA若，则；若，则 .B例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形平行四边形；等腰三角形等边三角形.（2）； 0 0； 0； N 0.2|xR解：（1），；（2）=，，， .【例 2】设集合，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（ 1, ,22| |nxnZZ）.解：简单列举两个集合的一些元素，，

7、，313,0,2231,2易知 B A，故答案选 A另解：由，易知 B A，故答案选 A21,|nxZ【例 3】若集合，且，求实数的值.|60,|10MNxaNMa解：由，因此， .2603或 2,3M（i）若时，得，此时，；aN（ii）若时，得 . 若 ,满足，解得 .1aa或 123a或故所求实数的值为或或 .023|点评：在考察“ ”这一关系时，不要忘记 “ ” ，因为时存在 . 从而需要分情况讨ABAB论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax 2. 若 A=B，求实数 x 的值.解：若 a+

8、ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1.2abx当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去.若 2ax2-ax-a=0.b因为 a0，所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x +1)=0. 又 x1，所以只有 .12x经检验，此时 A=B 成立. 综上所述 .2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算（一）学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会

9、求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（union set）由属于集合 A 且属于集合 B的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集（intersection set）对于集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对于全集U 的补集（compl

11、可得 .B在数轴上表示集合 A 与集合 B，如右图所示：由图形可知， .4m点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例 4】已知全集，，，求，*|10,UxN且 2,458A1,358B()UCAB，，，并比较它们的关系. ()UCAB()CB()UCB解：由，则 .,2345,8)6,79由，则 ,3A由，，1,679U2U则，(),.34,CAB由计算结果可以知道，，()()UUCBA.()UA另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究与，在理

12、解的基础记()()C()()UUCBA住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算（二）学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.知识要点：1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：, .()()UUCABCB()()UUACB2. 集合元素个数公式： .(nnA3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也

13、常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例 1】设集合，若，求实数的值.24,1,9,51aa 9a解：由于，且，则有：2ABB当解得，此时，不合题意，故舍去；29 a 时， 5 =4, =9, 04A ，当时，解得 . 3 或不合题意，故舍去；3 =4, 9,2 时，，，合题意.7 8, ，，，所以， .a 【例 2】设集合，，求 , .（教材 P14 |(3)0,AxaR|(4)10BxABB 组题 2）解： .1,4当时，，则，；3a1,4BA当时，，则，；,31当时，，则，；A,4B当且且时，，则， .14aa,3

14、aAB点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.-2 4 m xB A 4 m x|【例 3】设集合 A = | ， B = | ，，若 A B=B，求实数x240x22(1)0axaR的值a解：先化简集合 A= . 由 A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为0 ，或 4，或 .,4,0(i)若 B= ，则，解得；2(1)()a(ii)若 B，代入得 =0 =1 或 = ，0a1当 =1 时，B=A，符合题意；a当 = 时，B=0 A，也符合题意1(iii)

15、若 4 B，代入得 =7 或 =1，2870a当 =1 时，已经讨论，符合题意；当 =7 时，B= 12，4，不符合题意综上可得， =1 或 1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【例 4】对集合 A 与 B，若定义，当集合，集合|,xAB且 *|8,AxN时，有 = . （由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补

16、|(2)5(6)0Bxx集为 ”而拓展）|,UC且解：根据题意可知，，1,2345,6780,256由定义，则|x且.1,3478A点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U，则也相当于 .AB()UCB第 5 讲 1.2.1 函数的概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.知识要点：1. 设 A、B 是非

17、空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个数，在集合 Bf x中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function ），记作 =yf y，其中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作定义域（domain），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，()f函数值的集合叫值域（range）.()|f2. 设 a、b 是两个实数，且 a1， 3 f( )=( )3+( )-3=2+ = ，即 ff(0)= .22552【例 3】画出下列函数的图象：（1）；（教材 P26 练习题 3）|yx（2） . 14|解：（1）由

18、绝对值的概念，有 .2,|xy所以，函数的图象如右图所示.|2|yx（2），3,1|1|4|52,x所以，函数的图象如右图所示. |yx点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如()fx，，当时，写出的解析式，并作出函数的3.52.1(2.5,3()f图象. 解： . 函数图象如右：3,.10(),123,xfxx点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.m第 7 讲 1.3.1 函数的单调性学习目标：通过已学过的

19、函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调区间上，

20、增函数的图象是从左向右是上升的（如右图 1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图 2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设 x 、x 给定区间，且 x x ；计算 f(x )f (x ) 判断符号下结论.121212例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.()f解：任取 (0,1)，且 . 则 .2,x12x2211211()xxx 8由于，，，，故，即 . 120x10x21x210x12()0fxf12()fxf所以，函数在（0，1）上是减函数. ()f【例 2】求二

21、次函数的单调区间及单调性.2()()fabca解：设任意，且 . 则 12,xR1x.21()ff x2112()()xbx1212()()axb若，当时，有，，即，从而0a12a10a0，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单12()fxf 2()fxf()fx,2()fx,)a调递减.【例 3】求下列函数的单调区间：（1）；（2） .|1|4|y2|3y解：（1），其图象如右. 3,1|5,xx由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.2,)(,2（2），其图象如右.22 3,0|3xxyx由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.(,10,1

22、,)点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作 y 轴右侧的图象，并把 y 轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由(|)fx图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知，指出的单调区间.31()2xf()fx解：，5x 把的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，()g得到的图象，如图所示.fx由图象得在单调递增，在上单调递增.()f,2)(,)点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律. ()fxab第 8

23、讲 1.3.1 函数最大（小）值学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.知识要点：1. 定义最大值：设函数的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有()yfxM ；存在 x0I ，使得 = M. 那么，称 M 是函数的最大值（Maximum Value）. 仿照最()fx0()fx ()yfx大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成20)abca后，当时，函数取最小值为；当时，函数

24、取最大值 .224()bacyaxa424acb3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.|4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲：【例 1】求函数的最大值.261yx解：配方为，由，得 .23()423()4x260813()4x所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定

25、为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为 x 元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为(10)x0()xA.(8)10(10)yxA即 . 当时， .2 264364max36y所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元.【例 3】求函数的最小值.yx解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，1,所以当时，，函数的最小值为 2.min2点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，yaxbcd也可以用换元法研究.【另解】令，则，，所以，1t021xt2215()48ytt在时

26、是增函数，当时，，故函数的最小值为 2.0tminy【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1）；（2） .2533,yx|1|2|yx解：（1）二次函数的对称轴为，即 .yxba1x画出函数的图象，由图可知，当时，；当时， . 1mx4y32min94y所以函数的最大值为 4,最小值为 .2533,yx9（2） .(2)|1|1x作出函数的图象，由图可知， . 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3.3,y点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图

27、象注意分段作出.第 9 讲 1.3.2 函数的奇偶性学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.知识要点：1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个 x，都有，那么函数叫偶函数()fx()fxf()fx（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有），那么函数叫奇函数（odd function） .2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于 y 轴轴对称.103. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法

28、、计算和差、比商法等判别与()fx的关系.()fx例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3） .3()fx()|1|fxx23()fx解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个 x，都有|0，所以为奇函数.331()()(f fx（2）原函数定义域为 R，对于定义域的每一个 x，都有，所以为偶函数.|1|)fx f（3）由于，所以原函数为非奇非偶函数 .23()()f【例 2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、 .fgx1()fxg()fxg解：是奇函数，是偶函数， ()x() ， . ff则，即 .1()gfxx 1()fxgx两式相减，解得

29、；两式相加，解得 .2(1f21()g【例 3】已知是偶函数，时，，求时的解析式.)04f0x()f解：作出函数的图象，其顶点为 .24(),0yxxx,2 是偶函数，其图象关于 y 轴对称. ()fx作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致，01, 时， .22()4fxx点评：此题中的函数实质就是 . 注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同. |y此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，，又由于是偶函数，则，0xx()fx()fx所以，当时， .22()44f【例 4】设函数是定义在 R 上的奇函数，且在区间上是减函数，实数 a 满足不等式,0，求实数 a 的取值范围.22(3)3fafa解：在区间上是减函数，的图象在 y 轴左侧递减.(x(,0)()fx又是奇函数， f 的图象关于原点中心对称，则在 y 轴右侧同样递减.)又，解得，所以的图象在 R 上递减.(0()ff()f()fx ， 2233aa ，解得 .1点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)

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