高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解.doc

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1、精品文档必修1第一章集合与函数根底知识点整理第1讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合set，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ 括起来，根本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，根本形式为，既要关注代表元

2、素x，也要把握其属性，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4. 元素与集合之间的关系是属于belong to与不属于not belong to，分别用符号、表示，例如，.例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示以下集合：1由方程的所有实数根组成的集合；2大于2且小于7的整数.解：1用描述法表示为：； 用列举法表示为.2用描述法表示为：； 用列举法表示为.【例2】用适当的符号填空：，那么有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】试选择适当的

3、方法表示以下集合：教材P6 练习题2， P13 A组题41一次函数与的图象的交点组成的集合； 2二次函数的函数值组成的集合；3反比例函数的自变量的值组成的集合.解：1.2.3.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意比照2与3中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】集合，试用列举法表示集合A解：化方程为：应分以下三种情况：方程有等根且不是：由 =0，得，此时的解为，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合综上可知，点评：运用分类讨论思想方

4、法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲 1.1.2 集合间的根本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集subset，记作或，读作“A含于B或“B包含A.2. 如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作. 3. 如果集合，但存在元素，且，那么称集合A是集合B的

5、真子集proper subset，记作AB或BA.4. 不含任何元素的集合叫作空集empty set，记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：；假设，那么； 假设，那么；假设，那么.例题精讲：【例1】用适当的符号填空：1菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边三角形.2 ； 0 0； 0； N 0.解：1， ；2=， ， ，.B A B C D【例2】设集合，那么以下图形能表示A与B关系的是 .解：简单列举两个集合的一些元素，易知BA，故答案选A另解：由，易知BA，故答案选A【例3】假设集合，且，求实数的值.解：由，因此，.i假设时，得，此时，；ii假设时，得. 假设,满足，解得.故所求实数

6、的值为或或.点评：在考察“这一关系时，不要忘记“ ，因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 假设A=B，求实数x的值.解：假设a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.假设2ax2-ax-a=0.因为a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.经检验，此时A=B成立. 综上所述.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确

7、定集合.第3讲 1.1.3 集合的根本运算一学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识要点：集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而到达掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种根本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集union set由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集intersection set对

8、于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集complementary set记号读作“A并B读作“A交B读作“A的补集符号图形表示UA例题精讲：【例1】设集合.AB-1359x解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：，【例2】设，求：1； 2.解：.1又，；2又，得. .【例3】集合，且，求实数m的取值范围.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】全集，求， ，并比拟它们的关系.

9、 解：由，那么. 由，那么 由，那么，.由计算结果可以知道，.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn图研究与 ，在理解的根底记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 1.1.3 集合的根本运算二学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.知识要点：1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：,.2. 集合元素个数公式：.3.

10、 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例1】设集合，假设，求实数的值.解：由于，且，那么有：当解得，此时，不合题意，故舍去；当时，解得.不合题意，故舍去；，合题意.所以，.【例2】设集合，求, .教材P14 B组题2解：.当时，那么，；当时，那么，；当时，那么，；当且且时，那么，.点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原那么.【例3】设集合A =|， B =|，假设AB=B，求实数的值解：先化简集合A=. 由AB=B，那么BA，可

11、知集合B可为，或为0，或4，或.(i)假设B=，那么，解得；(ii)假设B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B=0A，也符合题意(iii)假设4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B=12，4，不符合题意综上可得，=1或点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【例4】对集合A与B，假设定义，当集合

12、，集合时，有= . 由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为而拓展解：根据题意可知，由定义，那么.点评：运用新定义解题是学习能力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，那么也相当于.第5讲 1.2.1 函数的概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此根底上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.知识要点：1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数

13、，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数function，记作=，其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域domain，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域range.2. 设a、b是两个实数，且ab，那么：x|axba,b 叫闭区间； x|axb(a,b) 叫开区间；x|axb， x|a1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】画出以下函数的图象：1； 教材P26 练习题32. 解：1由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示.2，所以，函数的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的

14、方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，当时，写出的解析式，并作出函数的图象. 解：. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 1.3.1 函数的单调性学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增减函数的证明和判别.知识要点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x

15、2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数increasing function. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有严格的单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的如右图1，减函数的图象从左向右是下降的如右图2. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x、x给定区间，且xx；计算f(x)f(x) 判断符号下结论.例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间0，1上的单调性.解：任取(0,1)，且. 那么.

16、由于，故，即. 所以，函数在0，1上是减函数. 【例2】求二次函数的单调区间及单调性.解：设任意，且. 那么 .假设，当时，有，即，从而，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单调递减.【例3】求以下函数的单调区间：1；2.解：1，其图象如右. 由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.2，其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】，指出的单调区间.解

17、： ， 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如下图.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律. 第8讲 1.3.1 函数最大小值学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大小值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大小值.知识要点：1. 定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值Maximum Value. 仿照最大值定义，可以给出最小值Minimum

18、 Value的定义.2. 配方法：研究二次函数的最大小值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比拟容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的方法增加利润，这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得

19、的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为x元，那么提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即. 当时，.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数的最小值. 解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，那么，所以，在时是增函数，当时，故函数的最小值为2.【例4】求以下函数的最大值和最小值：1； 2.解：1二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，. 所以函数的最大值为4,最小值为.2.作出函数的图

20、象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 1.3.2 函数的奇偶性学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.知识要点：1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数even function. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫奇函数odd function.

21、2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别与的关系.例题精讲：【例1】判别以下函数的奇偶性：1； 2；3.解：1原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有 ， 所以为奇函数.2原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有 ，所以为偶函数.3由于，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】是奇函数，是偶函数，且，求、.解： 是奇函数，是偶函数， ，. 那么，即.两式相减，解得；两式相加，解得.【例3】是偶函数，时，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为. 是偶函数

22、， 其图象关于y轴对称. 作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致， 时，.点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，那么二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，又由于是偶函数，那么，所以，当时，.【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.解： 在区间上是减函数， 的图象在y轴左侧递减.又 是奇函数， 的图象关于原点中心对称，那么在y轴右侧同样递减.又 ，解得， 所以的图象在R上递减. ， ，解得.点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在

23、关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数根底测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1函数yx26x10在区间2，4上是A递减函数B递增函数C先递减再递增D选递增再递减2方程组的解构成的集合是 A B C1，1 D3集合A=a，b，c,以下可以作为集合A的子集的是 A. a B. a，c C. a，e D.a，b，c，d4以下图形中，表示的是 MNDNMCMNBMNA5以下表述正确的选项是 A. B. C. D. 6、设集合Ax|x参加自由泳的运发动，Bx|x参加蛙泳的运发动，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运发动用集合运算表示

24、为 ( )A.ABBB B7.集合A=x ,B= ,C=又那么有 A. a+b A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8函数fxx22a1x2在，4上是增函数，那么a的范围是Aa5Ba3Ca3Da59.满足条件1,2,3M1,2,3,4,5,6的集合M的个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 510.全集U = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ， A= 3 ，4 ，5 ， B= 1 ，3 ，6 ，那么集合 2 ，7 ，8是 A. B. C. D. 11.以下函数中为偶函数的是 A B C D12. 如果集合A=x|ax22x1=0中只

25、有一个元素，那么a的值是 A0 B0 或1 C1 D不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13函数fx223x的单调减区间是_14函数y的单调区间为_15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，那么 .16.集合，那么集合 ， ， .三、解答题(共4小题，共44分17. 集合，集合，假设，求实数a的取值集合18. 设fx是定义在R上的增函数，fxyfxfy，f31，求解不等式fxfx2119. 函数fx是奇函数，且当x0时，fxx32x21，求fx在R上的表达式20. 二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、15 CABCB 610 ABACC 1112 cB二、13 0， 14 ，1，1， 15 -1 16 或； 或.三、17 .0.-1,1； 18. 解：由条件可得fxfx2fxx2，1f3所以fxx2f3，又fx是定义在R上的增函数，所以有xx23，可解得x3或x1答案：x3或x1 19. 解析：此题主要是培养学生理解概念的能力fxx32x21因fx为奇函数，f0-1当x0时，x0，fxx32x21x32x21，fxx32x21 20. 二次函数的图象关于轴对称， ，那么，函数的单调递增区间为.