大学物理教案教程机械振动与~机械波.doc

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1、|教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强迫等各类简谐振动的特点和规律。2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振幅、相位和能量的空间分布，半波损失。3.学会建立波动方程。教学难点 多自由体系的小振动第十一章 机械振动振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等) 。物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种

2、微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动)虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。(振幅) 、 (初相位 )都是积分常数， 为倔强系数。2222, 0cos():itFkkxaxmdtxAei， 令特 征 方 程特 征 根 ： Ak在微分方程中所出现的未知函数的导

3、数的最高阶数称为这个方程的阶。形如 的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数 及其导数 都是()dxPtQx xdxt一次的。若 ，则 称为齐次的线性方程。0()0dPtx二阶常系数齐次线性微分方程的解法： 12121,212cosintttexitt 由 cos()sn()xAtvA按周期定义， ，同时满足以上两方程的i()itTt|的最小值应为 ，所以 ，于是 ， 称为圆频率或角频率。不像T2pw2T=1,2Tnwp=、 ，由初始条件决定， 由固有参量 和 决定，与初始条件无关，故称为振子的固Akm有频率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要 相同，振动的t状态就相同，所以

4、是决定振动状态的物理量，称为位相。 是位相的变化速率，t单位是弧度/秒。由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动。在相空间中，简谐振动由一条椭圆曲线所描述：位移和动量 cos(),sin()xAtpmvAt满足椭圆方程 221()举例：单摆的摆动弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统，称为谐振子。由于弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是 22221cos(),sin()in,1pkpkExkAtpmAtkm振动的合成与分解同方向、同频率的两简谐振动的合成(矢量法) 312123iiiitxxAeeI. 则 ，即当两分振动的相位差为

5、的偶数倍时，21,0,kjp-= 12=+p合振动的振幅为两分振动振幅之和。II. 则 ，即当两分振动的相位差为 的奇()21,j-+ 12-数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。III. 为一般值，则 。21j-1212AA-+同方向、不同频率的两简谐振动的合成(三角函数法) 参见拍|振动方向垂直的两谐振动的合成(三角法、计算机法)|()()2121212121122 2211221coscossincoscoscsinsocosinssincsixttAyxtyxytAAxtjwjjwjjjjjjjjjjjjjjwjjwj =-+-=-=()()()12212121122 2211221

6、2112niiossnsinicicossincosinco()ityxtAyxytAxxjjjjjjjjjjjjjjjwjjj-+-=- -若频率比为简单整数比，则合成曲线是稳定的封闭的，运动也具有周期性，其轨迹称为李萨如图形。I. 若 ，则210j-=21AyxII. 若 2211,jp-III. 若2211,xyAj-=+=IV. 若22113,pj-二、单自由度体系的小振动单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置。1. 自由振动势能 在平衡位置 附近展开得()Vq0q0 02201()()()qqdVdV1122 2cs(),cs()in, intyAtytj jjj+-=-|第一

7、项为常数，可取为势能的零点。因在稳定平衡位置势能取驻值(导数为 0 的点称为函数的驻点，在驻点取得的函数值为驻值，而极值点 是指函数在邻域 )内，0x,x是函数的最大值或最小值)，第 2 项中的一阶导数为零。记0fx 021qdVkx得 21Vk考虑到对稳定约束 ，根据 ，可得动能0triiiqtr22220111(),()ii ii iii i iiiTmqmqmqt ttTaqxaq 、rrr于是拉氏函数 。代入拉氏方程得21LTVmkx200x、其中 为振动频率。上述方程有自由振动解： 。 为振幅，k cosAtA为初相位。附注：拉格朗日方程(1-1)(1-2),22222211 1(,

8、)() ()iiiiii NNiiiimxyYzZTmxyzmxyz如果讨论是“保守力系”(指力学系统中的力所作之功，仅与起末位置有关，而与具体路径无关。具有此性质的力场，一定可以引入一位置函数 ，而此力所作之功为(,)Vz，按功与路径无关的性质， 应为一全微分xyzFddVd，两式比较得 ，由此得Vz,iiiiVYZxyziiiiidmdTxtxtt|到 (1-6)于是，由(1-1) 得 0,0,0iiiiiidTVdTVdTVtxtytz引入拉格朗日函数 ，可将11(,)NNLxzxyxyzTV (1-6)式写成(1-7)将方程(1-7) 的直角坐标 换成广义坐标，即得描述具有 个自由度系

9、统的拉氏方程。,xyzs0(1,2)iidLitq2. 阻尼振动当速度不大时，阻力与速度的一次方成正比，方向相反，即 -bR=x运动方程变为 ，即m+kbx=-(1-8)20+ 其中 ，令 ，代入(1-8)，得 ，解出 ，其中btAe2i=(因为阻尼系数 通常很小) 。于是22=(1-9)2costxAet当存在阻尼时，解是随时间减小的。3. 受迫振动若系统除存在阻尼外，还有固有性外力(策动力) ， ，则运动方程变为()cosFtt=s+bkx即 (1-10)2ft其中 ，式(1-10)的通解可写成一个特解与相应的齐次方程的通解(1-9) 之和。后者随Ffm时间衰减，逐渐趋向于零。其特解试探形

10、式为 cosxAt代入(1-10) 得可解得2sininco0f0(,2)iidit|22 42222 2222 2222 22-cos-in -i-cos-sinsin-insinsin-css- -ffA 22-1*2 24- -122cosin0-,- -coscos-in0intan-jijiAfMtrape ffAAf 2art-当 时，发生共振，振幅为 。f举例 1：弦振动方程弦上取一段微元 ，在任一时刻 这一段弦所受诸力应当平衡，即张力+惯性,xt力+ 外力=0。惯性力： 22(,)(,)xutuxtd外力： (,)(,)xftft， 均为 中的点。张力：惯性力和外力均垂直于 轴

11、，故张力在 方向的投影的代数和为零。xx， 是张力 的方向与水平方向的夹角211 21222()cos()cs0|tancos |1txxTxTu1()Tx|张力在 轴方向的分量为u211122 2sinita|si|,xFTuututuFTTxtxxx于是22(,),(,)0xttft两端除以 ，并令 ，即得0222(,)uTafxtat 、举例 2：平面电磁波的波动方程麦克斯韦方程组及电流连续性方程。vv=+t0=-t BE-DHJJ同理第一个方程指时变磁场激发感应电场和自由电荷激发库仑电场。第二个方程指磁场强度 沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流 (传导电流的代数和)，对静态场HI

12、，它化为安培环路定律。此方程也表明磁场存在着漩涡源 。第三个方程的 包0tD JD括库仑电场，也包括感应电场，感应电场不是起源于电荷，取 ，从而得 ，00=是无散场。三、多自由度体系的小振动自由振动 2001()0VVVqqq()()()2222=t tttttttmmere-=+=+- EEBHDJJE22te- J|2011()2VkkqTaq将 在平衡位置展开，只保留零阶项，并记()aq 1(0)2maTmq于是体系的拉氏函数为 12LTVk代入拉氏方程 ，得0(,)iidistq(因为 是相互作用的)mkqq、写成矩阵形式为：(1-11)12112112 2212120 , ,s ss

13、ssssMKkkqMm 设(1-11)有形式解代入式(1-11)得 ，即12()ititsAqee2()0MKA(1-12)2221111122221 0sssssssssmkkmkA 这是一个关于 的线性齐次方程组，称为本证方程。它具有非零解的条件是系数,A行列式为零，即|(1-13)2det()0mk该方程称为本证值方程，从它可解出 个 ，可以证明它们全是正的。s对每个 ，存在 两个频率值，所以解可写成2或()ititqAe()cos)qAt考虑方程(1-13)解得 个非负 值就行了。将它们依次记为 ，并称之为简正频率。s 1,s对每一个简正频率 ，可从方程(1-12)解出一组振幅 ，它们对应于一组广l 1,lsl义坐标的解 1122cos()llllslslqAt或简记为(1-14)collllqAt如果把 看作是 维笛卡尔坐标空间中的矢量，则可以引入它们以 (或 )为(1,)lAs MK度规矩阵的内积 ,lmlmM和矢量 的长度lA,lllA与 对应的单位矢量为l llaA可以证明，总可适当选取矢量 ，使它们彼此正交，即l,lml相应的单位矢量是正交归一的，即 ,llma其中 为克龙尼克(Kroneck)记号。lm